Kategorie (wiskunde)

'n Kategorie is in wiskunde 'n algebraïese struktuur wat uit objekte en die afbeeldings tussen hierdie objekte bestaan. 'n Kategorie het twee basiese eienskappe: die vermoë om die afbeeldings assosiatief te komponeer en die bestaan van 'n identiteitsafbeelding vir elke objek. 'n Eenvoudige voorbeeld is $\mathbf {Set}$, die kategorie van versamelings, wie se objekte versamelings en afbeeldingsfunksies is. Aan die ander kant kan enige monoïde, en so-ook enige preorde, as 'n spesiale soort kategorie beskou word. Oor die algemeen kan die objekte en afbeeldings abstrakte entiteite van enige aard wees, en die idee van kategorie voorsien 'n fundamentele en abstrakte manier waarop wiskundige entiteite en hul verhoudinge beskryf kan word. Dít is inderdaad die sentrale idee van kategorieteorie, daardie vertakking van wiskunde wat poog om die hele wiskunde te veralgemeen in terme van objekte en afbeeldings, onafhanklik van wat die objekte en afbeeldings in der werklikheid voorstel. Feitlik elke vertakking van moderne wiskunde kan in terme van kategorieë beskryf word, en sodoende kom diepe insigte en ooreenkomste tussen skynbaar verskillende areas van wiskunde na vore. Vir meer uitgebreide motiverende agtergrond en historiese notas, sien kategorieteorie en die lys van kategorieteorie-onderwerpe.

Twee kategorieë is dieselfde indien hulle dieselfde versameling objekte, dieselfde versameling afbeeldings, en dieselfde assosiatiewe metode van komposisie van enige twee afbeeldings het. Twee kategorie mag ook as "ekwivalent" beskou word vir die doeleindes van kategorieteorie, al is hulle nie presies dieselfde nie.

Bekende kategorie word deur 'n kort gekapitaliseerde woord of afkorting in vet- of skuinsteks aangedui: voorbeelde sluit in $\mathbf {Set}$, die kategorie van versamelings en funksies; $\mathbf {Ring}$, die kategorie van ringe en ringhomomorfismes; en $\mathbf {Top}$, die kategorie van topologiese ruimtes en kontinue funksies. Al die voorgenoemde kategorieë het die identiteitsfunksie as identiteitsafbeelding en komposisie as die assosiatiewe bewerking op afbeeldings.

Die standaard teks op kategorieteorie is Categories for the working mathematician deur Saunders Mac Lane. Ander verwysings word in die Verwysings hieronder aangegee. Die basiese definisies in hierdie artikel word in die eerste paar hoofstukke van enige van hierdie boeke bevat.

Sien ook

• Verrykte kategorie
• Hoër kategorieteorie
• Tabel van wiskundige simbole

Verwysings

• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990), Abstract and Concrete Categories, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-60922-6, http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf  (now free on-line edition, GNU FDL).
• Asperti, Andrea; Longo, Giuseppe (1991), Categories, Types and Structures, MIT Press, ISBN 0-262-01125-5, ftp://ftp.di.ens.fr/pub/users/longo/CategTypesStructures/book.pdf .
• Awodey, Steve (2006), Category theory, Oxford logic guides, 49, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-856861-2 .
• Barr, Michael; Wells, Charles (2002), Toposes, Triples and Theories, ISBN 0-387-96115-1, archived from the original on 21 Augustus 2010, https://web.archive.org/web/20100821021308/http://www.cwru.edu/artsci/math/wells/pub/ttt.html, besoek op 5 Junie 2012  (revised and corrected free online version of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (278) Springer-Verlag, 1983).
• Borceux, Francis (1994), "Handbook of Categorical Algebra", Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 50–52, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-06119-9 .
• Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1973), Category Theory, Allen and Bacon, Inc. Boston .
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7 .
• Lawvere, William; Schanuel, Steve (1997), Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-47249-0 .
• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8 .
• Marquis, Jean-Pierre (2006), "Category Theory", in Zalta, Edward N., Stanford Encyclopedia of Philosophy, http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/ .
• Sica, Giandomenico (2006), What is category theory?, Advanced studies in mathematics and logic, 3, Polimetrica, ISBN 978-88-7699-031-1 .