Kommutatiewe algebra

Hierdie artikel handel om die studieveld. Vir algebras wat kommutatief is, sien Abelse algebra.

Kommutatiewe algebra is die vertakking van abstrakte algebra wat kommutatiewe ringe, hul ideale, en module oor sulke ringe bestudeer. Beide algebraïese geometrie en algebraïese getalleteorie bou op kommutatiewe algebra. Prominente voorbeelde van kommutatiewe ringe sluit in polinomiese ringe, ring van algebraïese heelgetalle, insluitende die gewone heelgetalle $\mathbb {Z}$, en p-adiese heelgetalle.

Kommutatiewe algebra is die hoof tegniese nutsmiddel in die lokale studie van skemas.

Die studie van ringe wat nie noodwendig kommutatief is nie, staan bekend as nie-kommutatiewe algebra; dit sluit in ringteorie, voorstellingsteorie, en die teorie van Banach-algebras.

Geskiedenis

Die onderwerp, wat eers as ideaalteorie bekend gestaan het, het begin met Richard Dedekind se werk aan ideale, ditself gebaseer op die vroeëre werk van Ernst Kummer en Leopold Kronecker. Later het David Hilbert die term ring begin gebruik om die vroeëre term getalring te veralgemeen. Hilbert het 'n abstrakter benadering ingelei om die konkreter en meer rekenbaarheid geörienteerde metodes wat op bv. komplekse analise en klassieke invarianteteorie gebaseer is, te vervang. Op sy beurt het Hilbert Emmy Noether sterk beïnvloed, aan wie ons baie van die abstrakte aksiomatiese benadering tot die onderwerp te danke is. Nog 'n belangrike mylpaal was die werk van Hilbert se student Emanuel Lasker wat primêre ideale ingelei het en die eerste weergawe van die Lasker-Noether-stelling bewys het.

Veel van die moderne ontwikkeling van kommutatiewe algebra beklemtoon module. Beide ideale van 'n ring $R$ en $R$-algebras is spesiale gevalle van $R$-module, sodat moduulteorie beide ideaalteorie en die teorie van ringuitbreidings omvat. Alhoewel dit reeds in Kronecker se werk begin het, word die moderne benadering tot kommutatiewe algebra deur gebruik te maak van moduulteorie gewoonlik aan Emmy Noether toegeskryf.

Verwysings

• Michael Atiyah & Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Massachusetts : Addison-Wesley Publishing, 1969.
• Bourbaki, Nicolas, Commutative algebra. Chapters 1--7. Translated from the French. Reprint of the 1989 English translation. Elements of Mathematics (Berlin). Springer-Verlag, Berlin, 1998. xxiv+625 pp. ISBN 3-540-64239-0
• Bourbaki, Nicolas, Éléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitres 8 et 9. (Elements of mathematics. Commutative algebra. Chapters 8 and 9) Reprint of the 1983 original. Springer, Berlin, 2006. ii+200 pp. ISBN 978-3-540-33942-7
• David Eisenbud, Commutative Algebra With a View Toward Algebraic Geometry, New York : Springer-Verlag, 1999.
• Rémi Goblot, "Algèbre commutative, cours et exercices corrigés", 2e édition, Dunod 2001, ISBN 2-10-005779-0
• Ernst Kunz, "Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry", Birkhauser 1985, ISBN 0-8176-3065-1
• Matsumura, Hideyuki, Commutative algebra. Second edition. Mathematics Lecture Note Series, 56. Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1980. xv+313 pp. ISBN 0-8053-7026-9
• Matsumura, Hideyuki, Commutative Ring Theory. Second edition. Translated from the Japanese. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge, UK : Cambridge University Press, 1989. ISBN 0-521-36764-6
• Nagata, Masayoshi, Local rings. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 13. Interscience Publishers a division of John Wiley and Sons, New York-London 1962 xiii+234 pp.
• Miles Reid, Undergraduate Commutative Algebra (London Mathematical Society Student Texts), Cambridge, UK : Cambridge University Press, 1996.
• Jean-Pierre Serre, Local algebra. Translated from the French by CheeWhye Chin and revised by the author. (Original title: Algèbre locale, multiplicités) Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2000. xiv+128 pp. ISBN 3-540-66641-9
• Sharp, R. Y., Steps in commutative algebra. Second edition. London Mathematical Society Student Texts, 51. Cambridge University Press, Cambridge, 2000. xii+355 pp. ISBN 0-521-64623-5
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre, Commutative algebra. Vol. 1, 2. With the cooperation of I. S. Cohen. Corrected reprinting of the 1958, 1960 edition. Graduate Texts in Mathematics, No. 28, 29. Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1975.