Magsverheffing

Hierdie artikel bevat nie ’n bronnelys nie, wat beteken dat die inhoud nie geverifieer kan word nie. Enige bevraagtekende inligting mag dus ook mettertyd verwyder word. Help Wikipedia deur betroubare bronne tot die artikel by te voeg.

Magsverheffing is 'n wiskundige bewerking, waarby 'n getal (die faktor of die grondtal van die magsverheffing) herhaaldelik met homself vermenigvuldig word. Die grondtal x verhef tot die mag n word genoteer as xⁿ wat beteken:

${\begin{matrix}x^{n}=&\underbrace {x\cdot x\cdot \ldots \cdot x} \\&{n\ \mathrm {faktore} }\end{matrix}}$

Mens sê: x tot die mag n, of ook kortweg x tot die n-de.

So is 2 tot die mag 3, of 2 tot die derde: 2³ = 2×2×2 = 8, waar 2 die grondtal en 3 die eksponent van die mag 2³ is. Moenie die mag met die eksponent met mekaar verwar nie.

Voorbeelde:

• $5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
• $x^{2}=x\cdot {}x$
• $1^{x}=1$ vir enige getal x

Definisie

Die n^de mag van die grondtal x, genoteerd as $x^{n}$, is gedefinieer as die produk van n faktore x (met ander woorde: x*x*...; n keer).

Die gebruiklike notasie is om die eksponent n, wat die aantal faktore aangee, hoër te skryf (boskrif).

Deur die uitbreiding van die definisie met:

$x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}$

kan negatiewe eksponente aangedui word.

'n Verdere uitbreiding is:

$x^{\frac {m}{n}}=\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)^{m}$,

waarmee gebroke eksponente voorgestel word.

Meer algemeen gedefinieer deur gebruik te maak van 'n logaritme en eksponensiële funksie:

$a^{x}=\exp \left(x\cdot \log(a)\right)$

Omgekeerde bewerkinge

Omdat magsverheffing nie kommutatief is nie,

$\mathbf {2^{3}=8}$ terwyl $\mathbf {3^{2}=9}$,

is twee omkeer bewerkings nodig: worteltrek en logaritme

$\mathbf {{\sqrt[{3}]{8}}=2}$ en $\mathbf {^{2}\!\log 8=3}$ t.o.v. $\mathbf {{\sqrt[{2}]{9}}=3}$ en $\mathbf {^{3}\!\log 9=2}$.

Mag hou verband met het begrip graad by polinome en vergelykings. 'n Tweedegraadse vergelyking is 'n vergelyking waarin die hoogste mag 2 is.

Berekeninge met magte

Die onderstaande reëls kan gebruik word tydens berekeninge met magte:

• $x^{a}.x^{b}=x^{a+b}$
• ${\frac {x^{a}}{x^{b}}}=x^{a-b}$
• $\left(x^{a}\right)^{b}=x^{ab}$
• $\left(xy\right)^{a}=x^{a}y^{a}$
• $x^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{x}}$
• ${\frac {1}{\left(x/y\right)^{a}}}=\left({\frac {x}{y}}\right)^{-a}=\left({\frac {y}{x}}\right)^{a}$

Enkele spesiale gevalle word hieronder genoem:

Vir a≠ 0 is:

• $a^{0}=1\,$
• $a^{-1}={\frac {1}{a}}\,$

Vir a>0 is:

• $0^{a}=0\,$

Afgeleides

Stel die a-de mag van x op as funksie van x, dus vir sekere eksponent a:

$f\left(x\right)=x^{a}$

dan word die afgeleide gegee deur:

$f'\left(x\right)=ax^{a-1}$

Stel die mag op as funksie van die eksponent, dus vir sekere grondtal a:

$g\left(x\right)=a^{x}$

dan word die afgeleide gegee deur:

$g'\left(x\right)=a^{x}\ln(a)$

Sien ook

• Kwadraat
• Logaritme