Paaiementberekening

Die volgende formules word vir paaiementberekening gebruik in die finansiële wêreld:

Saamgestelde rente

$S=P\left(1+i\right)^{n}$            of            $P=S\left(1+i\right)^{-n}$            of            $i=\left({\frac {S}{P}}\right)^{1/n}-1$            of            $n={\frac {log\left({\frac {S}{P}}\right)}{log(1+i)}}$

Waar:

• $S$ = Toekomstige waarde
• $P$ = Huidige waarde
• $i$ = Rentekoers per periode
• $n$ = Aantal periodes

In Excel word dit soos volg bereken:

• S = FV(i,n,0,-P)

Voorbeeld

Indien ek R100 belê teen 12% maandeliks saamgesteld, wat is die waarde daarvan oor een jaar?

• $P$ = 100
• $i$ = 12%/12 = 1% = 0.01
• $n$ = 1 × 12 = 12

$S=P\left(1+i\right)^{n}=100\left(1+0.01\right)^{12}=R112.68$

Berekening van paaiement

Om die maandelikse paaiement of verband uit te werk, kan die volgende formule gebruik word:

$R={\frac {iP}{1-(1+i)^{-n}}}$            of            $n={\frac {log\left(1-{\frac {iP}{R}}\right)}{log(1+i)}}$            of            $P={\frac {R}{i}}\left(1-(1+i)^{-n}\right)$

Waar:

• $R$ = Paaiement
• $P$ = Huidige waarde
• $i$ = Rentekoers per periode
• $n$ = Aantal periodes

In Excel word dit soos volg bereken:

• P = -PV(i,n,R)
• i = RATE(n,R-P)
• n = NPER(i,R,-P)
• R = -PMT(i,n,P)

Voorbeeld 1

Gestel ek leen R1 000 000 teen 12% per jaar en ek moet dit oor 20 jaar (240 maande) in gelyke maandelikse paaiemente afbetaal, wat is die maandelikse paaiement?

• $P$ = 1 500 000
• $i$ = 12% / 12 = 1%
• $n$ = 20 × 12 = 240

$R={\frac {iP}{1-(1+i)^{-n}}}={\frac {0.01\times 1\ 000\ 000}{1-(1+0.01)^{-240}}}=R11\ 010$

Voorbeeld 2

Gestel ek wil die lening vinniger afbetaal deur elke maand R15 000 af te betaal in plaas van R11 010, hoe lank gaan dit neem en hoeveel gaan die laaste paaiement wees?

Hoe lank gaan dit neem:

• $P$ = 1 000 000
• $i$ = 12% / 12 = 1%
• $R$ = 15 000

• $n={\frac {log\left(1-{\frac {iP}{R}}\right)}{log(1+i)}}={\frac {log\left(1-{\frac {0.01\times 1\ 000\ 000}{15\ 000}}\right)}{log(1+0.01)}}=110.41$

Dit gaan dus 111 in plaas van 240 maande neem. Die laaste maand gaan egter nie 'n volle paaiement wees nie. Die laaste paaiement is bloot 15000 × 0.41 = R6114

Grootte van laaste betaling:

Bepaal hoeveel geleen kan word as dit in 110 maande afbetaal gaan word.

• $R$ = 15 000
• $i$ = 12% / 12 = 1%
• $n$ = 110

$P={\frac {R}{i}}\left(1-(1+i)^{-n}\right)={\frac {15\ 000}{0.01}}\left(1-(1+0.01)^{-110}\right)=997\ 958$

Die laaste betaling se huidige waarde is dus 1 000 000 – 997 958 = 2 042

Die toekomstige waarde is dus:

$S=P\left(1+i\right)^{n}=2\ 042\left(1+0.01\right)^{110+1}=6\ 162$

Manipulering van formule

$R={\frac {iP}{1-(1+i)^{-n}}}$

$1-(1+i)^{-n}={\frac {iP}{R}}$

$(1+i)^{-n}=1-{\frac {iP}{R}}$

$log(1+i)^{-n}=log\left(1-{\frac {iP}{R}}\right)$

Volgens Logaritme is $\log x^{y}=y\log x$. Dus:

$-n\cdot log(1+i)=log\left(1-{\frac {iP}{R}}\right)$

$n=-{\frac {log\left(1-{\frac {iP}{R}}\right)}{log(1+i)}}$

Kyk ook

• Rente