Permutasie

'n Permutasie is 'n rangskikking van voorwerpe in 'n sekere/spesifieke orde (anders as 'n kombinasie). Met ander woorde permutasies is geordende rangskikkings. Kyk ook kombinasies.

Die 6 moontlike permutasies van 3 voorwerpe.

Die hoeveelheid maniere om k items in die regte volgorde te kies uit 'n stel van n items is:

$n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots (n-k+1)$

wat nul is wanneer k > n, anders is dit ook gelyk aan:

${\frac {n!}{(n-k)!}}$

In MS Excel is:            $={\text{PERMUT}}(n,k)={\frac {n!}{(n-k)!}}$

LW: Hierdie geld slegs wanneer unieke items gekies word uit 'n eindige stel. Dus, indien die item gekies is, dan is dit nie meer beskikbaar om weer gekies te word nie. Wanneer dieselfde items weer en weer gekies kan word, is die aantal permutasies bloot n^x, waar x die aantal raaiskote is (kyk aap-voorbeeld hier onder).

Voorbeelde

Wat is die waarskynlikheid dat die letters A, B, C en D ewekansig in die volgorde B, C, D, A gerangskik sal word?

Antwoord:

Opsie 1:

Met die eerste raaiskoot, moet jy uit 4 letters kies, met die tweede raaiskoot uit 3, met die 3de raaiskoot uit 2 en die laaste een is nie 'n raaiskoot nie. Dus is die aantal permutasies = 4×3×2×1 = 4! = 24.

Die waarskynlikheid om die eerste een reg te raai is 1/4. Die waarskynlikheid om die tweede een reg te raai is 1/3. Vir die derde letter is dit 1/2 en vir die laaste een is dit 1/1.

Die kans om almal reg te raai is dus: 1/4 x 1/3 x 1/2 x 1/1 = 1/24 = 0.0416667

of:

Letters	1	2	3	4	Totaal
Kans om reg te raai	${\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{1}}$	${\frac {1}{24}}=0.041667$

Opsie 2:

Alternatiewelik is n = 4 en k = 4. Dus is die aantal permutasies:

n×(n-1)×(n-2)×...×(n-k+1) = 4×3×...×(4-4+1) = 4×3×....×1 = 24.

Opsie 3:

${\frac {n!}{(n-k)!}}={\frac {4!}{0!}}=24$

Die waarskynlikheid dat dit sal gebeur is dus 1/24 = 0.04166667 = 4.17%

As ek 'n aap voor 'n telefoon sit, wat is die kans dat die aap die getalle 2, 4, 6, 8, 0 in hierdie volgorde sal kies?

Antwoord:

Aanvaar dat die aap slegs die getalle 0 tot 9 op die telefoon sal druk en dat wat hy druk, heeltemal ewekansig is.

Met elke druk van 'n knoppie kan die aap dus 1 uit enige van 10 getalle kies. Dus kan een item meer as een keer gekies word en dus is die hoeveelheid kombinasies: 10×10×10×10×10 = 10⁵

Dus is die waarskynlikheid dat dit sal gebeur = 1/10⁵ = 0.001%

Terloops, as die aap die getalle in enige volgorde kon kies, dan is die waarskynlikheid:

${5 \over 10}\times {4 \over 10}\times {3 \over 10}\times {2 \over 10}\times {1 \over 10}={5! \over 10^{5}}=0.0012=0.12\%$

Of dit is die permutasie gedeel deur 5! Dus is die aantal verskillende kombinasies 10⁵/5! = 833.3 en die waarskynlikheid is 1/(10⁵/5!) = 5!/10⁵ = 0.0012 = 0.12%

As 9 vriende vir jou kom kuier, wat is die waarskynlikheid dat Ben, Koos, Gert en Jan, in hierdie volgorde, eerste by jou sal opdaag?

Omdat die volgorde belangrik is, werk ons met 'n permutasie. Dieselfde vriend kan nie meer as een keer opdaag nie (dieselfde item kan dus nie meer as een keer gekies word nie).

Opsie 1: Eerste beginsels

Die eerste vriend kan een van 9 wees, die tweede een van 8, ens. Dus is die aantal moontlike permutasies: 9×8×7×6 = 3024

Opsie 2: Gebruik die formule vir permutasies

n = 9 en k = 4:

Aantal permutasies = n×(n-1)×(n-2)×...×(n-k+1) = 9×8×...×(9-4+1) = 9×8×7×6 = 3024

Opsie 3: Gebruik die alternatiewe formule vir permutasies.

${\frac {n!}{(n-k)!}}={\frac {9!}{(9-4)!}}={\frac {9!}{5!}}=3024$

Die waarskynlikheid daarvan is die resiprook en is dus 1/3024 = 0.003307 = 0.33%

As 9 vriende vir jou kom kuier, wat is die waarskynlikheid dat Ben, Koos, Gert en Jan, eerste by jou sal opdaag, maar nie noodwendig in hierdie volgorde nie?

Omdat die volgorde nie belangrik is nie, werk ons met 'n kombinasie. Dieselfde vriend kan nie meer as een keer opdaag nie (dieselfde item kan dus nie meer as een keer gekies word nie).

Opsie 1: Gebruik die formule vir kombinasies.

n = 9 en k = 4:

Aantal kombinasies = ${\frac {n!}{k!(n-k)!}}={\frac {9!}{4!5!}}=126$

Opsie 2: Bepaal die aantal permutasies en deel deur 4!

Permutasies: Die eerste vriend kan een van 9 wees, die tweede een van 8, ens. Dus is die aantal moontlike permutasies: 9×8×7×6 = 3024. Die vier vriende kan egter op 4! verskillende maniere by my aankom, dus is die aantal kombinasies 3024/4! = 126

Die waarskynlikheid daarvan is die resiprook en is dus 1/126 = 0.007937 = 0.794%

Opsie 3: Moet nooit aanvaar dat die volgorde belangrik is nie.

Dus is die waarskynlikheid dat een van die vier vriende eerste opdaag 4/9, die waarskynlikheid dat een van die 3 oorblywende vriende tweede gaan opdaag is dus 3/8 ens. Dus is die waarskynlikheid:

${4 \over 9}\times {3 \over 8}\times {2 \over 7}\times {1 \over 6}={4! \over 9!}\times {5! \over 1}=0.007937=0.794\%$

Kyk ook

• Kombinasie
• Waarskynlikheid