Afgeleide: Verskil tussen weergawes

en bowendien ''h''(''x'') / ''x'' naar 0 gaan as ''x''→0, dan is ''a'' die afgeleide van ''f'' in ''x''₀.

 

 

<math>f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^2-(x^2)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{x^2+2 x \Delta x +(\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{2 x \Delta x +(\Delta x)^2}{\Delta x}</math><math>=\lim_{\Delta x\to 0}(2 x +\Delta x)=2x</math>

 

 

Ons kan

<math>x^n</math> skryf as <math> x {}x^{n-1}</math>, en daar die produkreël toepas: <math>f'(x)=x^{n-1}+x (n-1) x^{n-2}=n x^{n-1}</math>. Verder weet ons dat <math>f'(x^2)=2x</math> (basisstap).

Op hierdie manier kan ons met behulp van [[induksie]] aflei dat die afgeleide <math>n x^{n-1}</math> is

 

<math>f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\exp(x+\Delta x)-\exp(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\exp(x) \exp(\Delta x)-\exp(x)}{\Delta x}=\exp(x) \lim_{\Delta x\to 0}\frac{ \exp(\Delta x)-1}{\Delta x}=\exp(x)</math>,

 

want <math>\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\exp(\Delta x)-1}{\Delta x}=1</math>, uit die somdefinisie van <math>\exp(x)</math>.

 

Ons stip vooraleers die nuttige formules in verband met afleides aan:

 

 

 

<math>\sin(x)=\cos(\pi-x)</math>, uit die [[Kettingreël]] volg dan: <math>(\sin(x))'=-(\cos(\pi-x))'=\sin(\pi-x)=\cos(x)</math>

<math>\sin(x)=\sqrt(1-\cos(x)^2)</math>...

 

 

<math>\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}</math>, uit die quotiëntregel volg dan <math>f'(x)=\frac{\sin'(x) \cos(x)-\sin(x) \cos'(x)}{\cos(x)^2}=\frac{cos(x)^2+sin(x)^2}{\cos(x)^2}=\frac{1}{\cos(x)^2}</math>

 

 

Ons kan dit aantoon met behulp van die [[kettingreël]]:

 

<math>\frac{}{}(\exp(\ln(x))' =x \ln'(x)=1</math>, of die afgeleide van ln(''x'') is <math>\frac{1}{x}</math>

 

Net soos by die cosinus, kan ons gebruik maak van die someiëskap van die cosinus hyperbolicus: <math>\cosh(a+b)=\cosh(a)\cosh(b)+\sinh(a)\sinh(b)</math>; of ons gebruik die eiëskap <math>\cosh(x)=\cos(\imath x)</math>.

 

 

[[Kategorie:Wiskunde]]

{{Link FA|ca}}