Groep (wiskunde): Verskil tussen weergawes

In [[abstrakte algebra]] is 'n '''groep''' 'n [[versameling]] met 'n [[binêre operasie]] wat sekere aksiomas, soos onder uiteengesit, bevredig. Die versameling heelgetalle met optelling is byvoorbeeld 'n groep. Die vertakking van wiskunde wat groepe bestudeer staan bekend as [[groepteorie]].

 

Die '''orde van 'n element ''a''''' in 'n groep ''G'' is die mins-negatiewe heelgetal ''n'' sodat ''aⁿ=e'', waar ''aⁿ'' n keer met dit self vermenigvuldig word.

 

'n Versameling ''H'' is 'n '''[[deelgroep]]''' van 'n groep ''G'' as dit 'n deelversameling is van ''G'', en dit 'n groep is wat die operasie waarmee ''G'' gedefinieer is gebruik. Met ander woorde, ''H'' is 'n deelgroep van (''G'', *) as die beperking van * op ''H'' 'n groep operasie op ''H'' is.

 

As ''G'' is 'n eindige groep is, dan is ''H'' ook een. Verder deel die orde van ''H'' die orde van ''G''.

 

'n Groep ''G'' is 'n '''[[abelse groep]]''' (of '''kommutatiewe groep''') as die operasie kommutatief is, dit wil sê, vir alle ''a'', ''b'' in ''G'', ''a'' * ''b'' = ''b'' * ''a''. 'n '''Nie-abelse''' groep is 'n groep wat nie abels is nie. Die term "abels" is vernoem na die wiskundige [[Niels Abel]].

 

'n '''[[Sikliese groep]]''' is 'n groep waarvan al die elemente gegenereer kan word deur opeenvolgende [[funksie komposisie|komposisie]] van 'n operasie, wat die groep definieer deur toepassing van 'n enkele element van die groep. Byvoorbeeld, in die geval van 'n siklies-vermenigvuldigende groep, word al die elemente van die groep deur die versameling van alle heelgetalmagte van 'n [[primitiewe element]] van die groep gedefinieer, ''G'' = < ''a'' > = { ''a''^''n'' | ''n'' <math>\scriptstyle \in</math> '''Z''' mod m | m <math>\scriptstyle \in</math> '''Z'''}. Indien opeenvolgende [[funksie komposisie|komposisie]] van die operasie wat die groep definieer op 'n nie-primitiewe element van die groep toegepas word, word 'n sikliese deelgroep gegenereer waarvan die orde die orde van die groep verdeel. Indien die orde van 'n groep dan 'n priemgetal is, is al die elemente daarvan, behalwe die identiteit, primitiewe elemente van die groep. Dit is belangrik om daarop te let dat 'n groep al die sikliese [[deelgroep]]e wat deur elk van die elemente van ''G'' genereer word bevat. 'n Groep wat opgestel word uit sikliese deelgroepe is nie self noodwendig 'n sikliese deelgroep nie, b.v., 'n [[Klein-vier-groep|Kleingroep]] is nie 'n sikliese groep nie selfs al word dit opgestel uit twee kopieë van die sikliese groep van orde 2.

 

Vir 'n meer konkrete voorbeeld, beskou die drie gekleurde blokke (rooi, groen en blou), wat aanvanklik in die volgorde RGB geplaas word. Laat ''a'' die aksie wees: "ruil die eerste blok en die tweede blok om", en laat ''b'' die aksie wees: "ruil die tweede blok en die derde blok om".

 

 

In vermenigvuldigende vorm, skryf ons tradisioneel ''xy'' vir die gekombineerde aksie "doen eers ''y'', en doen dan ''x''"; sodat ''ab'' die aksie RGB → RBG → BRG is, d.i., "neem die laaste blok en skuif dit na die voorkant".

Vir [[eindig]]e groepe hoef mens slegs te bewys dat 'n deelgroep nie-leeg en geslote is onder die omringende<!--ambient--> groep se operasie.

 

In [[abstrakte algebra]] is daar verwante strukture wat soortgelyk is aan groepe deur sommige van die aksiomas bo te verslap.

 

 

[[Kategorie:Wiskunde]]

{{Link FA|en}}