Verskil tussen weergawes van "Parabool"

7 grepe bygevoeg ,  5 jaar gelede
k
Opruim
k (Opruim)
[[Lêer:Parabola.svg|rightregs|thumbduimnael|196px|'n Parabool]]
 
Die '''parabool''' (uit [[Grieks]]: ''παραβολή'') is 'n [[keëlsnit]] wat gegenereer word deur die snyding van 'n regtesirkelkeëloppervlak en 'n [[vlak (wiskunde)|vlak]] parallel aan 'n generator lyn van die keël. 'n Parabool kan ook gedefinieer word as die [[lokus (wiskunde)|lokus]] van [[Punt (meetkunde)|punte]] in 'n vlak wat ewe ver van 'n gegewe punt (die '''[[Brandpunt (meetkunde)|brandpunt]]''') en 'n gegewe lyn (die '''[[direktriks]]''') is. 'n Parabool word beskryf deur 'n [[kwadratiese vergelyking]].
 
== Definisies en oorsig ==
[[Lêer:Parabola_showing_focus_and_reflective_propertyParabola showing focus and reflective property.png|196px|thumbduimnael|leftlinks|'n Grafiek wat die weerkaatsing eienskap vertoon, die direktriks (groen), en die lyne wat die brandpunt en die direktriks aan die parabool verbind (blou)]]
 
[[Lêer:Parabola_showing_focus_and_reflective_property.png|196px|thumb|left|'n Grafiek wat die weerkaatsing eienskap vertoon, die direktriks (groen), en die lyne wat die brandpunt en die direktriks aan die parabool verbind (blou)]]
 
=== Analitiese meetkundige vergelykings ===
In [[Cartesiese koördinate]] het 'n parabool met 'n as parallel aan die ''y''-as met toppunt (of onderpunt)<!--vertex--> (''h'', ''k''), brandpunt (''h'', ''k'' + ''p''), en direktriks ''y'' = ''k'' - ''p'', waar ''p'' die afstand is van die toppunt (of onderpunt) na die brandpunt is, die vergelyking
 
:<math>(x - h)^2 = 4p(y - k) \,</math>
 
=== Ander meetkundige definisies ===
'n Parabool kan ook gedefinieer word as 'n keëlsnit met [[eksentrisiteit (wiskunde)|eksentrisiteit]] 1. As gevolg hiervan is allalle parabole soortgelyk. 'n Parabool kan ook verkry word as die [[Limiet (wiskunde)|limiet]] van 'n reeks [[ellips]]e waar een brandpunt by 'n vaste punt gehou word terwyl die ander toegelaat word om arbitrêr ver in een rigting te beweeg. In die sin kan 'n parabool beskou word as 'n ellips wat een brandpunt by [[oneindigheid]] het. Die parabool is 'n [[inverse meetkunde|inverse transformasie]] van 'n [[kardioïed]].
 
'n Parabool het 'n enkele as van reflektiewe [[simmetrie]] wat deur die brandpunt daarvan gaan en reghoekig tot die direktriks daarvan is. Die snydingspunt van die as en die parabool word die toppunt<!--vertex--> genoem. 'n Parabool wat in drie dimensies om die as gedraai word trek 'n vorm wat as 'n [[paraboloïed|omwentelingsparaboloïed]] bekend staan af.
 
Die parabool kom in talle omstandighede in die fisiese wêreld voor.
::<math>h = \frac{4ac - b^2}{4a}; \ \ k = \frac{-b}{2a}</math>.
 
:<math>x(t) = pt^2 + h; \ \ y(t) = 2pt + k \, </math>'''
 
==== Semi-latus rectum en poolkoördinate ====
 
In [[poolkoördinate]] word 'n parabool met brandpunt by die oorsprong en toppunt op die negatiewe ''x''-as, gegee deur die vergelyking
: <math>r (1 - \cos \theta) = l \,</math>
 
==== Gauss-kaart vorm<!--Gauss-mapped form--> ====
 
'n [[Gauss-kaart]] vorm:
<math>(\tan^2\phi,2\tan\phi)</math>
het die normaal
<math>(\cos\phi,\sin\phi)</math>.
 
== Bepaling van die brandpunt ==
Gegee 'n parabool parallel aan die ''y''-as met toppunt (0,0) en met vergelyking
:<math> y = a x^2, \qquad \qquad \qquad (1) </math>[[Lêer:Parabola.jpg|rightregs|thumbduimnael|400px|Paraboliese kromme wat die Direktriks vertoon. Die vergelyking daarvan is: <math>x^2 = 8y</math>]]
dan is daar 'n punt (0,''f'') — die brandpunt — sodat enige punt ''P'' op die parabool ewe ver van beide die brandpunt en die en 'n lyn reghoekig tot simmetrie-as van die parabool (die ''linea directrix''), in die geval parallel aan die ''x''-as. Aangesien die toppunt een van die moontlike punte P is, volg dit dat die linea directrix deur die punt (0,-''f'') gaan. Dus viurvir enige punt ''P=(x,y)'', sal dit ewe ver van (0,''f'') en (''x'',-''f'') wees. Die probleem is om die waarde van ''f'' te vind wat die eienskap het.
 
Laat ''F'' die brandpunt aandui, en laat ''Q''die punt by (''x'',-''f'') aandui. Lyn ''FP'' het die selfde lengte as lyn ''QP''.
Gegee 'n parabool parallel aan die ''y''-as met toppunt (0,0) en met vergelyking
:<math> y = a x^2, \qquad \qquad \qquad (1) </math>[[Lêer:Parabola.jpg|right|thumb|400px|Paraboliese kromme wat die Direktriks vertoon. Die vergelyking daarvan is: <math>x^2 = 8y</math>]]
dan is daar 'n punt (0,''f'') — die brandpunt — sodat enige punt ''P'' op die parabool ewe ver van beide die brandpunt en die en 'n lyn reghoekig tot simmetrie-as van die parabool (die ''linea directrix''), in die geval parallel aan die ''x''-as. Aangesien die toppunt een van die moontlike punte P is, volg dit dat die linea directrix deur die punt (0,-''f'') gaan. Dus viur enige punt ''P=(x,y)'', sal dit ewe ver van (0,''f'') en (''x'',-''f'') wees. Die probleem is om die waarde van ''f'' te vind wat die eienskap het.
 
Laat ''F'' die brandpunt aandui, en laat ''Q''die punt by (''x'',-''f'') aandui. Lyn ''FP'' het die selfde lengte as lyn ''QP''.
 
:<math> \| FP \| = \sqrt{ x^2 + (y - f)^2 }, </math>
 
== Weerkaatsingseienskap van die raaklyn ==
 
Die raaklyn van die parabool beskryf deur vergelyking (1) het helling
:<math> {dy \over dx} = 2 a x = {2 y \over x} </math>
Aangesien ''G'' die middelpunt van die lyn ''FQ'' is, beteken dit dat
:<math> \| FG \| \cong \| GQ \|, </math>
en dit is reedreeds bekend dat ''P'' ewe ver van beide ''F'' en ''Q'' is:
:<math> \| PF \| \cong \| PQ \|, </math>
en, derdens, lyn ''GP'' is gelyk aan ditself, daarom:
 
== Parabole in die fisiese wêreld ==
[[Lêer:Ponte Hercilio Luz - Dezembro 1996 - by Sérgio Schmiegelow.jpg|thumbduimnael|rightregs|200px|[[Ponte Hercilio Luz]], [[Florianópolis]], [[Brasilië]]. 'n Hangbrug vorm 'n paraboliese kromme nie 'n [[kettinglyn]] nie]]
 
In die natuur word benaderings van parabole en paraboloïede in 'n verskeidenheid van omstandighede aangetref. Die bekendste voorbeeld van die parabool in die geskiedenis van [[fisika]] is die [[trajek]] van 'n deeltjie of liggaam wat onder die invloed van 'n eenvormige [[gravitasie veld]] sonder [[lugweerstand]] beweeg (byvoorbeeld 'n [[krieket]]bal wat deur die lug trek as [[wrywing|lugwrywing]] weggelaat word). Die paraboliese trajek van projektiele is in die begin van die [[17de eeu]] eksperimenteel deur [[Galileo]], wat eksperimente met die rol van balle op skuins vlakke uitgevoer het, ontdek. Die paraboliese vorm van projektielbeweging is later [[wiskunde|wiskundig]] deur [[Isaac Newton]] bewys. Vir voorwerpe wat oor ruimte uitgestrek is, soos 'n duiker wat van 'n duikplank af spring, volg die voorwerp self 'n ingewikkelde pad terwyl dit roteer, maar die [[massamiddelpunt]] van die voorwerp volg steeds 'n paraboliese pad. Soos in alle gevalle in die fisiese wêreld is die trajek altyd 'n benadering van 'n parabool. Die teenwoordigheid van lug vervorm byvoorbeeld altyd die pad. Teen lae snelhede is die vorm egter 'n goeie benadering van 'n parabool. Teen hoër snelhede soos in ballistiek, is die pad hoogs vervorm en lyk dit nie soos 'n parabool nie.
 
[[Lêer:Coriolis effect11.jpg|300px|leftlinks|thumbduimnael|Paraboliese vorm gevorm deur die oppervlak van 'n vloeistof onder rotasie]]
 
'n Ander geval waar 'n parabool in die natuur kan voorkom is in twee-liggaam wentelbane, byvoorbeeld wanneer 'n klein planeetjie of ander voorwerp onder die invloed van die son beweeg. Sulke paraboliese wentelbane is spesiale gevalle wat selde in die natuur aangetref word. Wentelbane wat 'n [[hiperbool]] of 'n [[ellips]] vorm is baie meer alegemeenalgemeen. Om die waarheid te sê, die paraboliese wentelbaan is die grensgeval tussen die twee tipes bane.
 
Benaderings van parabole word ook aangetref in die vorm van kabels van [[hangbrug|hangbrûe]]. Vryhangende kabels beskryf nie parabole nie maar eerder [[kettinglyn]]e. Onder die invloed van 'n eenvormige lading (soos 'n brugdek byvoorbeeld), word dit egter tot 'n parabool vervorm.
 
Paraboloïede word ook in verskeie fisiese omstandighede aangetref. Die bekendste hier onder is die [[paraboliese weerkaatser]], wat 'n spieël of soortgelyke weerkaatsende toestel is wat lig of ander vorme van [[elektromagnetiese straling]] na 'n gemene [[brandpunt]] weerkaats. Die begeinselbeginsel van 'n paraboliese weerkaatser is in die [[3de eeu v.C.]] deur die meetkundige [[Archimedes]] ontdek. Volgens oorlewering <ref>{{cite journal | last = Middleton | first = W. E. Knowles | year = 1961 | month = December | title = Archimedes, Kircher, Buffon, and the Burning-Mirrors | journal = Isis | volume = 52 | issue = 4 | pages = 533–543 | url = http://www.jstor.org/view/00211753/ap010120/01a00020/0 | format = GIF | accessdate = 2006-08-08}}</ref> het hy paraboliese spieëls gebruik om [[Syracuse, Italië|Syracuse]] teen die [[Romeinse Ryk|Romeinse]] vloot te verdedig deur die son se strale te konsentreer om die Romeinse skepe aan die brand te steek. Die beginsel is van die [[17de eeu]] toegepas in [[teleskoop|teleskope]]. vandag word paraboliese weerkaatsers algemeen gebruik in mikrogolf antennasantennes, satellietskottels ens. Dit word ook omgekeerd in beligting gebruik om 'n punt bron soos 'n gloeilamp se uitstraling in 'n nou bundel te fokus.
 
Paraboloïedd word ook waargeneem in die oppervlak van 'n vloeistof beperk tot 'n houer en geroteer om 'n sentrale as. In die geval veroorsaak die [[middelpuntvlietende krag]] dat die vloeistof teen die wande van die houer op beweegom 'n paraboliese oppervlak te vromvorm. Dit is die beginsel agter die [[vloeistofspieëlteleskoop]].
 
== Kyk ook ==
* [[Paraboloïed]]
* [[Ellips]]
* [[Hiperbool]]
* [[Keëlsnit]]
* [[Kettinglyn]]
 
== Verwysings ==
{{Wikisource1911Enc|Parabola}}
<!-- See [[Wikipedia:Footnotes]] for instructions. -->
{{Verwysings}}
<references />
 
== Eksterne skakels ==