Wysiging soos op 10:43, 13 Januarie 2016 wysig AHB (besprekings \| bydraes) 610 edits No edit summary Etiket: Visuele teksverwerker ← Ouer wysiging		Wysiging soos op 13:27, 6 Augustus 2016 wysig maak ongedaan Naudefj (besprekings \| bydraes) Burokrate, Administrateurs 71 386 edits No edit summary Nuwer wysiging →
Lyn 1: In die [[wiskunde]]~~<nowiki/>ien~~ en veral die [[differensiaalrekening]] is die '''afgeleide''' van 'n [[funksie (wiskunde)\|funksie]] by 'n punt die helling van die raaklyn aan die grafiek van die funksie op die punt. Die woord 'afgeleide' is hier om die waarheid te sê 'n afgekorte term vir die begrip 'afgeleide waarde'. Dit is 'n ''waarde'' wat ''afgelei'' is uit die oorspronklike funksie. Bepaling van die afgeleide van 'n funksie word '''differensieer''' genoem. As die afgeleide van 'n funksie ''f'' vir alle punte in die domein van ''f'' gedefinieer is, word die daardeur bepaalde funksie die ''afgeleide funksie'' of kortweg die ''afgeleide'' genoem. Die afgeleide van 'n funksie ''f'' word dikwels genoteer as ''f' '' ("''f''-aksent") of as <math>\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}</math>. Die konsep van 'n afgeleide is in die [[17de eeu]] byna tegelykertyd deur [[Isaac Newton]] en [[Gottfried Wilhelm Leibniz\|Gottfried Leibniz]] uitgevind. == Voorbeeld == 'n Fietsryer ry langs 'n reguit pad. Die afstand wat hy afgelê het in die tyd ''t'' sedert hy begin ry het, noem ons ''s''(''t''). Hoe vinnig het hy op die tydstip ''t''<sub>''0''</sub> gery? Sy [[snelheid]] <!--taamlik -– vermoed die moet taamlik maklik of so iets wees--> kan bepaal word deur te kyk watter afstand hy afgelê het in die tyd Δ''t'' ná die tydstip ''t''<sub>''0''</sub>. Hierdie afstand is: : <math>\Delta s = s(t_0+\Delta t)-s(t_0)\!</math> Sy gemiddelde snelheid in hierdie periode was dus: : <math>\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}</math>. Hoe kleiner ons die periode Δ''t'' neem, hoe meer benader die gemiddelde snelheid die snelheid ''v''(''t''<sub>''0''</sub>) op die tydstip ''t''<sub>''0''</sub>. Die snelheid is die limiet vir Δ''t'' na 0 en word die afgeleide van ''s''(''t'') na ''t'' genoem: : <math>v(t_0)=s'(t_0)=\frac{ds}{dt}(t_0)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}</math>. == Definisie == Laat ''f'': '''R'''~~→~~→'''R''' 'n [[kontinu]]e funksie wees. Ons beskou 'n lyn deur twee naby mekaar liggende punte op die [[Grafiek (wiskunde)\|Grafiek]] van ''f'': die punt (''x'', ''f''(''x'')) en die punt (''x'' + Δ''x'', ''f''(''x'' + Δ''x'')). Die verskil tussen die ''x''-koördinate van hierdie punte is Δ''x'' en die verskil tussen hun ''y''-koördinate is Δ''f'' = Δ''y'' = ''f''(''x'' + Δ''x'') -– ''f''(''x''). Die helling van die lyn deur hierdie twee punte is : <math>\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.</math> <!--- (Hier moet 'n plaatjie komen vir verduidelyking van die uitleg.) --> As die [[limiet]] van hierdie uitdrukking vir Δ''x''~~→0~~→0 bestaan, is die afgeleide van ''f'' in ''x'' gedefinieer as hierdie limiet: : <math>f'(x)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.</math> As hierdie limiet bestaan, noem ons ''f'' [[differensieerbaar]] in ''x''. 'n gelykwaardige definisie, wat eenvoudiger veralgemeen kan word na funksies van meer ~~veraderlikes~~veranderlikes, is die volgende: Laat ''x''<sub>0</sub> 'n [[reëele getal]] wees. As daar 'n reëele getal ''a'' en 'n funksie ''h'' bestaan sodat vir alle ''x'' geld : <math>f(x)=f(x_0)+a\cdot(x-x_0)+h(x-x_0)</math> en bowendien ''h''(''x'') / ''x'' naar 0 gaan as ''x''~~→0~~→0, dan is ''a'' die afgeleide van ''f'' in ''x''<sub>0</sub>. == Afgeleide van funksie == Lyn 35: * afgeleide van <math>f(x)=x^2</math> <math>f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^2-(x^2)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{x^2+2 x \Delta x +(\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{2 x \Delta x +(\Delta x)^2}{\Delta x}</math><math>=\lim_{\Delta x\to 0}(2 x +\Delta x)=2x</math> * afgeleide van <math>f(x)=x^n</math> Ons kan <math>x^n</math> skryf as <math> x {}x^{n-1}</math>, en daar die produkreël toepas: <math>f'(x)=x^{n-1}+x (n-1) x^{n-2}=n x^{n-1}</math>. Verder weet ons dat <math>f'(x^2)=2x</math> (basisstap). Line 44 ⟶ 43: * afgeleide van <math>f(x)=exp(x)</math> <math>f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\exp(x+\Delta x)-\exp(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\exp(x) \exp(\Delta x)-\exp(x)}{\Delta x}=\exp(x) \lim_{\Delta x\to 0}\frac{ \exp(\Delta x)-1}{\Delta x}=\exp(x)</math>, want <math>\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\exp(\Delta x)-1}{\Delta x}=1</math>, uit die somdefinisie van <math>\exp(x)</math>. Line 54 ⟶ 53: * Produkreël: as <math>\,\!(fg)'=f'g+fg'</math> * Kwotiëntreël: as <math>f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}</math>, dan <math>f'(x)=\frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{h(x)^2}</math> * afgeleide van f(''x'')=sin(''x'') Line 60 ⟶ 58: <math>\sin(x)=\cos(\pi-x)</math>, uit die [[Kettingreël]] volg dan: <math>(\sin(x))'=-(\cos(\pi-x))'=\sin(\pi-x)=\cos(x)</math> ** uit <math>\cos(x)^2 + \sin(x)^2 = 1</math> <math>\sin(x)=\sqrt(1-\cos(x)^2)</math>~~...~~… * afgeleide van f(''x'')=tan(''x'') <math>\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}</math>, uit die quotiëntregel volg dan <math>f'(x)=\frac{\sin'(x) \cos(x)-\sin(x) \cos'(x)}{\cos(x)^2}=\frac{cos(x)^2+sin(x)^2}{\cos(x)^2}=\frac{1}{\cos(x)^2}</math> * afgeleide van ln(x) Line 71 ⟶ 67: <math>\frac{}{}(\exp(\ln(x))' = \exp'(\ln(x)) \ln'(x)= \exp(\ln(x)) \ln'(x) =x \ln'(x)</math>, want <math>\exp(x)=\exp'(x)</math>. Eintlik is exp(ln(''x'')) gelyk aan ''x'' (uit die definisie van [[logaritme]]), en is die afgeleide aldus gelyk aan 1. Uiteraard bly die kettingreël geldig: Line 77 ⟶ 72: * afgeleide van cosh(''x'')) en sinh(''x'') Net soos by die cosinus, kan ons gebruik maak van die someiëskap van die cosinus hyperbolicus: <math>\cosh(a+b)=\cosh(a)\cosh(b)+\sinh(a)\sinh(b)</math>; of ons gebruik die eiëskap <math>\cosh(x)=\cos(\imath x)</math>. Beide resulteer in: <math>\cosh'(x)=\sinh'(x)</math>, en omgekeer: <math>\sinh'(x)=\cosh'(x)</math> == Hoërorde afgeleides == As ''f' '' ook differensieerbaar is, dan is dit moontlik om hiervan die afgeleide ''f'''' te bepaal. Dié word dan die tweede orde afgeleide genoem, of kortweg [[tweede afgeleide]] van ''f''. Selfs hoërorde afgeleides kom voor. Die ''n''<sup>e</sup> afgeleide word dikwels ~~aangeduid~~aangedui met ''f <sup>(n)</sup>''. == Toepassings == Die afgeleide het veelvuldige belangrike toepassings in die wiskunde. So kan 'n [[maksimum]] of [[minimum]] van 'n funksie gevind word deur die afgeleide te bepaal. Indien 'n funksie in 'n bepaalde punt 'n (lokaal) maksimum of 'n (lokaal) minimum bereik, is die afgeleide van die funksie in die punt gelyk aan nul (indien die afgeleide bestaan). Om 'n grafiek van 'n funksie met die hand te teken is dit daarom sinvol om eers die uiteindelike maksima en minima te bepaal. Om te bepaal of die punte waarin die afgeleide gelyk is aan nul maksima or minima is, word soms gebruik gemaak van die [[Hessiaan]]. Baie toepassings het die afgeleide ook in die [[natuurkunde]]. So is ~~byvoorbeel~~byvoorbeeld [[snelheid]] die afgeleide volgens die tyd van die plek (posisie). [[Versnelling]] is dan weer die afgeleide van snelheid. [[Kategorie:Wiskunde]]

Afgeleide: Verskil tussen weergawes