Wiskundige analise: Verskil tussen weergawes
Content deleted Content added
→Differensiaalanalise: Skakel |
Uitbreiding van Calculus |
||
Lyn 1:
'''Analise''', ook algemeen bekend as '''calculus''' (van die Latynse word ''calculus'' wat letterlik “klein klippie wat gebruik word om op te tel” beteken) is die wiskundige studie van aanhoudende verandering, in dieselfde manier wat geometrie die studie van vorm is en algebra die studie van die veralgemenings van rekeningkundige berekeninge is. Dit het twee hoof vertakkings, naamlik: differensiale calculus (wat die tempo van verandering en die helling van kurwes meet) en integrale calculus (wat die akkumulasie van hoeveelhede en die areas onder en tussen kurwes meet). Hierdie twee vertakkings is verwant aan mekaar deur die fundamentele teorie van calculus. Beide vertakkings maak gebruik van die fundamentele notasies van konvergensie van die oneindigende reekse tot ʼn goed- gedefinieerde limiet. Oor die algemeen word aanvaar dat moderne calculus in die 17de eeu ontwikkel is deur [[Isaac Newton]] en [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Leibniz]]. Vandag word calculus in ’n wye verskeidenheid velde gebruik; soos die [[wetenskap]], [[ingenieurswese]] en [[ekonomie]].
Calculus is deel van moderne wiskundige opvoeding. ʼn Kursus in calculus word beskou as die begin tot ander, meer gevorderde kursusse in wiskunde (soos die studie van limiete, funksies wat breedweg verwys word na wiskundige analise). Calculus het histories bekend gestaan as “die calculus van infinitesimale”, of “infinitesimale calculus”. ''Calculus'' (meervoud ''calculi'') is ook gebruik vir die benaming van sommige metodes van berekeninge soos variasie calculus, lambda calculus en proses calculus'''.'''
== Geskiedenis ==
Moderne calculus is in die [[17de eeu]] in [[Europa]] ontwikkel deur Isaac Newton en Gottfried Wilhelm Leibniz (onafhanklik van mekaar, maar het kort na mekaar hul werke oor calculus gepubliseer). Maar elemente daarvan het reeds in [[antieke Griekeland]] en later ook in [[China]], die [[Midde-Ooste|Middel Ooste]], weer in Europa in die Middeleeue en in [[Indië]] verskyn.
=== Antieke tydperk ===
Die antieke periode het sommige idees bekendgestel wat tot integrale calculus gelei het, maar dit wil voorkom of hierdie idees in ʼn rigiede en sistematiese wyse ontwikkel is nie. Berekeninge van volume en area, een doelwit van integrale calculus, kan aangetref word in die Egiptiese Moskou papirusse (1820 v.c.) maar die formules is eenvoudig met belangrike komponente wat nie daar is nie en daar is ook geen definitiewe metode ten opsigte van die gebruik van die formules nie. Sedert die eeu van Griekse wiskundiges (408-355 v.c.) het Eudoxus die metode van uitputting gebruik (wat die voorloper van die konsep van die limiet was) om areas en oppervlakte te bereken. [[Archimedes]] (287-212 v.c.) het hierdie idee verder ontwikkel en het heuristiek, wat dieselfde metodes van integrale calculus bevat ontwikkel. Die metode van uitputting was later ook op ʼn onafhanklike wyse in China deur Liu Hui in die 3de eeu na Christus ondek en is gebruik om die area van ʼn sirkel te bepaal. In die 5de eeu na Christus het Zu Gengzhi, die seun van Zu Chongzhi ʼn metode ontwikkel wat later bekend sou staan as die Cavalieri prinsiep- om die volume van ʼn sfeer te bepaal.
=== Middeleeue ===
In die Midde-Ooste het [[Alhazen]] (965-1040 n.c.) ʼn formule ontwikkel om die som van die vierde kragte te bepaal. Hy het die resultate gebruik om om wat nou bekend staan as integrasie van die funksie, waar die formule vir die som van die integrale vierkante en vierde magte hom toegelaat het om die volume van ʼn parabool te bereken. In die 14de eeu het Indiese wiskundiges nie-rigiede metodes van ʼn soort van differensiasie van sommige trigotomies funksies gegee. Madhava van Sangamagrama en die Kerala skool van astronomie en wiskunde het daarvolgens die komponente van calculus bepaal. ʼn Volledige teorie wat hierdie komponente bevat is nou wel bekend in die Westerse wêreld as die Taylor-reeks of die nimmereindigende reeks aannames. Tog kon hierdie wiskundiges nie die verskillende idees kombineer om die twee onderliggende temas van afleiding en integrasie te wys, te konnekteer en in die wonderlike probleemoplossing metodes wat ons vandag het verander het nie.
=== Moderne tye ===
<blockquote> “Die calculus was die eerste bereiking van die moderne wiskunde en dit is moeilik om die belangrikheid daarvan te oorskat. Ek dink dit definieer meer onomwonde as enige iets anders die aanvangs van die moderne wiskunde en sistematiese wiskundige analiste wat die logiese ontwikkeling daarvan is. Dit bewys die grootste tegniese vooruitgang in presiese denke.” –John von Neumann.</blockquote>In Europa is die fundamentele werk geboekstaaf as gevolg van [[Bonaventura Cavalieri]] wat geargumenteer het dat volumes en areas as die som van die volumes en areas van infinitesimale dun kruis-lyne bereken moet word. Hierdie idees was eenders aan die van Archimedes in sy ''The Method''. Hierdie werk het egter verlore geraak in die [[13de eeu]] en is eers weer in die [[20ste eeu v.C.|20ste]] eeu herontdek en was gevolglik onbekend aan Cavalieri. Cavalieri se werk word nie op ag geslaan nie, omdat sy metodes tot verkeerde resultate kan lei en die infinitesimale hoeveelhede wat hy voorgestel het, debatteerbaar was.
Die formele studie van calculus het Cavalieri se infinitesimales met die calculus van finiete veranderinge wat in ongeveer die selfde tyd in Europa ontwikkel is, bymekaar gebring. [[Pierre de Fermat]] het voorgehou dat hy idees van Diophantus geleen het toe hy die konsep van ''adequality'' (wat die konsep van gelykheid tot ʼn infinitesimale fout-terme) ontwikkel het. John Wallis, Isaac Newton en [[James Gregory]] het daarin geslaag om die kombinasie wat die tweede fundamentele teorie van calculus gevorm het, bymekaar te voeg. Die produksiereël en kettingreël, die notasie van hoër afleiers, Taylor-reeks en analitiese funksies is deur Isaac Newton in ʼn idiosinkratiese notasie bekend gestel wat hy gebruik het om probleme van wiskundige fisika op te los. In sy werke het Newton sy idees omskryf om by die wiskundige idiome van die tyd aan te pas. Hy het sy metodes van calculus gebruik om oplossings tot verskeie probleme te kry, byvoorbeeld: Beweging van planete, die vorm van die oppervlak ʼn roterende vloeistof, die vorm van die Aarde en die beweging van ʼn gewig wat binne ʼn silinder beweeg. Dit word volledig in sy werk ''Principia Mathematica'' ([[1687]]) omskryf.
Isaac Newton se idees is verder ontwikkel tot ʼn volledige calculus van infinitesimales deur Gottfried Wilhelm Leibniz (wat eers deur Newton van plagiaat beskuldig is). Leibniz word nou beskou as ʼn onafhanklike ontwikkelaar en medewerker tot calculus. Sy grootste bydrae tot calculus was om ʼn definitiewe stel reëls te ontwikkel. Anders as Newton het Leibniz ook baie aandag aan formalisasie geskenk en het baie tyd daaraan spandeer om die regte simbole vir die regte konsepte te ontwikkel.
Leibniz en Newton word gevolglik beide gekrediteer met die ontwikkeling van calculus. Newton was die eerste wat calculus op fisika toegepas het terwyl Leibniz baie meer van die notasie wat ons in moderne calculus gebruik ontwikkel het.
Tydens die publikasie van Newton en Leibniz se werke was daar baie kontroversie oor watter wiskundige (en gevolglik watter land) die eer moet verdien. Hoewel Newton eerste sy resultate ontwikkel het, het Leibniz eerste gepubliseer en Newton het gevolglik gesê dat Leibniz idees uit sy ongepubliseerde notas gesteel het. Dit het tot jarelange onmin tussen [[Engelse]]- en Kontinentale Europese wiskundiges gelei. ʼn Ondersoek in die werke van hierdie twee wiskundiges wys egter dat al twee op ʼn onafhanklike wyse hul resultate verkry het. Leibniz het eerste met integrasie begin terwyl Newton eerste met differensiasie begin het. Vandag word beide erken as die ontwikkelaars van calculus, maar dit is Leibniz wat die nuwe dissipline sy naam gegee het aangesien Newton dit die “Studie van fluktuasies” genoem het.
Na Leibniz en Newton het verskeie wiskundiges bydraes gelewer tot die studie van calculus. Een van die eerste en mees volledige werke oor beide infinitesimale en integrale wiskunde is geskryf deur Maria Gaetana Agnesi in [[1748]]
== Fondasies ==
In calculus verwys fondasie na die rigiede ontwikkeling van die onderwerp van aksiome en definisies. In vroeë calculus is daar geglo dat die gebruik van infinitesimale hoeveelhede nie rigied was nie, en is hewig deur verskeie outeurs gekritiseer. Michelle Rolle en Bishop Berkeley is twee van die outeurs. Berkeley het infinitesimales beskryf as die “spoke van verdwynende kwantiteite” is sy ''The Analyst'' (1734). Om ʼn rigiede fondasie vir calculus te ontwikkel het baie wiskundiges vir die grootste gedeelte van die eeu na Leibniz en Newton besig gehou. Dit is tot vandag nog ʼn aktiewe deel van calculus-navorsing.
Verskeie wiskundiges, insluitend Maclaurin het probeer om die stabiliteit in die gebruik van infinitesimales te onwikkel, maar dit sal nie tot 150 jaar later met die verskyning van die werk van Cauchy en Weierstrass wees wat daar ʼn manier gevind is om die notasies van klein hoeveelhede te vermy nie.
== Beginsels ==
| |||