Verskil tussen weergawes van "Bewys deur oneindige afkoms"

geen wysigingsopsomming nie
 
Veronderstel dat √2 rasioneel was. Dan kan dit geskryf word as
: <math>\sqrt{2} = \frac{p}{q}</math>
Vir twee natuurlike getalle, {{math|''p''}} en {{math|''q''}}. Dan sal kwadrate gee
: <math>2 = \frac{p^2}{q^2}, </math>
: <math>2q^2 = p^2, </math>
.So 2 moet p2 verdeel. Omdat 2 'n priemgetal is, moet dit ook p, deur Euclid se lemma, verdeel. So p = 2r, vir 'n paar heelgetalle r
 
Maar dan
: <math>2q^2 = (2r)^2 = 4r^2, </math>
: <math>q^2 = 2r^2, </math>
Wat toon dat 2 ook q moet verdeel. Dus q = 2s vir sommige heelgetalle s.
 
Dit gee
: <math>\frac{p}{q}=\frac{2r}{2s}=\frac{r}{s}</math>.
: <math />.
 
Dus, as √2 as 'n rasionale getal geskryf kan word, kan dit altyd as 'n natuurlike getal met kleiner dele geskryf word, wat self met kleiner dele, ad infinitum, geskryf kan word. Maar dit is onmoontlik in die stel natuurlike getalle. Aangesien √2 'n reële getal is, wat rasioneel of irrasioneel kan wees, is die enigste opsie wat oorbly, √2 om irrasioneel te wees.
 
=== Irrasionaliteit van √k as dit nie 'n heelgetal is nie ===
Vir positiewe heelgetal k, veronderstel dat √k nie 'n heelgetal is nie, maar is rasioneel en kan uitgedruk word as m / n vir natuurlike getalle m en n, en laat q die grootste getal wees wat nie groter is as √k nie. dan
 
: <math />
: <math>\begin{align}
\sqrt k &=\frac mn\\
[8pt] &=\frac{m(\sqrt k-q)}{n(\sqrt k-q)}\\
[8pt] &=\frac{m\sqrt k-mq}{n\sqrt k-nq}\\
[8pt] &=\frac{(n \sqrt k)\sqrt k-mq}{n (\frac{m}{n}) -nq}\\
[8pt] &=\frac{nk-mq}{m-nq}
\end{align}</math>
 
Die teller en noemer word elk vermenigvuldig met die uitdrukking (√k – q) – wat positief is maar minder as 1 – en dan onafhanklik vereenvoudig. So twee gevolglike produkte, sê m 'en n', is hulself heelgetalle, wat minder as m en n onderskeidelik is. Daarom maak nie saak watter natuurlike getalle m en n gebruik word om uit te druk nie. Daar bestaan kleiner natuurlike getalle m en 'n wat dieselfde verhouding het. Maar oneindige afkoms op die natuurlike getalle is onmoontlik, dus dis die oorspronklike aanname dat √k uitgedruk kan word as 'n verhouding van natuurlike getalle.
<ref>{{Citation|title=What Pythagoras could have done|last=Sagher|first=Yoram|date=February 1988|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=95|page=117|doi=10.2307/2323064|DOI=10.2307/2323064}}</ref>
 
=== Nie-oplosbaarheid van r2''r''<sup>2</sup> + s4''s''<sup>4</sup> = t4''t''<sup>4</sup> ===
Die nie-oplosbaarheid van <math>r ^ {2} + s ^ {4} = t ^ {4}</math> in heelgetalle is voldoende om die nie-oplosbaarheid van <math>q ^ {4} + s ^ {4} = t ^ {4}</math> In heelgetalle, wat 'n spesiale geval is van Fermat se Laaste Stelling, en die historiese bewyse van laasgenoemde het voortgegaan deur meer algemeen te bewys dat die voormalige die oneindige afkoms gebruik. Die volgende meer onlangse bewys toon albei hierdie onmoontlikhede deur nog meer breedvoerig te bewys dat 'n Pythagorese driehoek nie twee van sy kante kan hê nie, óf 'n vierkant of twee keer 'n vierkant, aangesien daar nie 'n kleinste driehoek is nie:<ref>Dolan, Stan, "Fermat's method of ''descente infinie''", ''[[:en:Mathematical Gazette|Mathematical Gazette]]'' 95, July 2011, 269–271.</ref>
 
Gestel daar bestaan so 'n Pythagoreaanse driehoek. Dan kan dit afgekap word om 'n primitiewe (dws sonder gemeenskaplike faktore) te gee. Pythagorese driehoek met dieselfde eienskap. Primitiewe Pythagorese driehoeke se kante kan geskryf word as <math>x = 2ab,</math> <math>y = a ^ {2} -b ^ {2},</math> <math>z = a ^ {2} + b ^ {2}</math>, met a en b relatief primapriem en met 'n 'a+b'' B vreemdoneven en dus ''y'' en ''z'' albei vreemdoneven. De eigenschap dat ''y'' en ''z'' beide oneven zijn, betekent dat noch ''y'' noch ''z'' tweemaal een kwadraat kan zijn. Verder, indien ''x'' een kwadraat of tweemaal een kwadraat is, dan zijn zowel ''a'' als ''b'' een kwadraat of tweemaal een kwadraat. Daar is drie gevalle, afhangende van watter twee kante geposuleer word, is elkeen 'n vierkantkwadraat of twee keer 'n vierkantkwadraat:
* <nowiki>Yy en z: Nie y of Z nie, kan twee keer 'n vierkant wees; As hulle albei vierkantig is, sal die regte driehoek met bene {<math>\ sqrt {yz}}</math> en <math>b ^ {2}</math> en skuinssy <math>a ^ {2}</math> ook heelgetalle hê, insluitend 'n vierkantige been (b ^ {2}) en 'n vierkant Hipotese (a ^ {2}), en sou 'n kleiner skuinssy hê (a ^ {2} in vergelyking met z = a ^ {2} + b ^ {2}).</nowiki>
* <nowiki> Yy en x: As y 'n vierkant is en x is 'n vierkant of twee keer 'n vierkant, dan is elkeen van a en b 'n vierkant of twee keer 'n vierkant en die heelgetal regte driehoek met bene b en {\ sqrt {y}} en skuinssy A sal twee kante hê (b en a) waarvan elkeen 'n vierkant of twee keer 'n vierkant is, met 'n kleiner skuinssyfer as die oorspronklike driehoek (a vergelyk met z = a ^ {2} + b ^ {2}). </nowiki>
* Zy en x: As z 'n vierkant is en x is 'n vierkant of twee keer 'n vierkant, dan is elkeen van a en b 'n vierkant of twee keer 'n vierkant en die heelgetal regte driehoek met bene a en b en skuinssy \ sqrt {z} ook Sal twee kante hê (a en b), elkeen is 'n vierkant of twee keer 'n vierkant, en 'n kleiner skuinssy (\ sqrt {z} in vergelyking met z).
In een van hierdie gevalle het een Pythagoreaanse driehoek met twee sye wat elk 'n vierkant of twee keer 'n vierkant het, tot 'n kleiner een gelei, wat op sy beurt tot 'n kleiner een sou lei. Aangesien so 'n ry nie oneindig kan voortgaan nie, moet die oorspronklike veronderstelling dat so 'n driehoek bestaan, verkeerd wees.
 
Dit impliseer dat die vergelykings
: <math>r^2 + s^4 = t^4,</math>
: <math>r^4 + s^2 =t^4,</math> enand
: <math>r^4 + s^4 =t^2</math>
Kan nie nie-triviale oplossings hê nie, aangesien nie-triviale oplossings Pythagorea-driehoeke met twee kante sal gee.
 
1 440

wysigings