Waarskynlikheidsleer: Verskil tussen weergawes

Die meeste inleidings tot waarskynlikheidsleer hanteer diskrete waarskynlikheidsverpreidings en kontinue waarskynlikheidsverspreidingswaarskynlikheidsverdelings afsonderlik. Die meer wiskundig gevorderde maatteorie hanteer beide diskrete en kontinue waarskynlikheidsverspreidingswaarskynlikheidsverdelings, enige mengsel van hierdie twee en ook ander konsepte.

===Diskrete waarskynlikheidsverspreidingswaarskynlikheidsverdelings===

===Kontinue waarskynlikheidsverspreidingswaarskynlikheidsverdelings===

As die proefsteekruimte die [[reële getalle]] (<math>\mathbb{R}</math>) is, word dit aangeneem dat 'n sogenaamde '''[[kumulatiewe verspreidingsfunksieverdelingsfunksie]]''' <math>F\,</math> bestaan, wat van so aard is dat <math>P(X\le x) = F(x)\,</math> geld vir 'n [[lukrake veranderlike]] <math>X</math>. D.w.s. dat <math>F(x)</math> die waarskynlikheid dat <math>X</math> minder of gelyk aan <math>x</math> sal wees, bereken.

Die kumulatiewe verspreidingsfunksieverdelingsfunksie moet die volgende eienskappe bevredig:

Waar die waarskynlikheidsdigtheidsfunksie slegs vir kontinue lukrake veranderlikes bestaan, bestaan die kumulatiewe verspreidingsfunksieverdelingsfunksie vir alle lukrake veranderlikes (inkluis diskrete lukrake veranderlikes) wat waardes oor <math>\mathbb{R}</math> aanneem.

Die bestaansrede van die maatteoretiese behandeling van waarskynlikheidsleer is dat dit die diskrete en die kontinue verenig, en die verskil laat afhang van die gekose maat. Verder dek dit verspreidingsverdelings wat nóg diskreet nóg kontinu is. 'n Voorbeeld van so 'n verspreidingverdeling kan 'n mengsel van diskrete en kontinue verspreidingsverdelings wees, b.v. die sommasie van 'n diskrete en 'n kontinue lukrake veranderlike sal nóg 'n waarskynlikheidsmassafunksie nóg 'n waarskynlikheidsverspreidingsfunksiewaarskynlikheidsverdelingsfunksie hê. Ander verspreidingsverdelings sal moontlik nie eers mengsels wees nie; b.v. die [[Cantor verspreiding-verdeling]] het geen punt massa en geen digtheid nie. Die moderne waarskynlikheidsleer benadering oorkom hierdie probleme deur die gebruik van [[maatteorie]] om die [[steekproefruimte]] te definieer:

As <math>\mathcal{F}\,</math> 'n [[Borel algebra|Borel σ-algebra]] is, dan bestaan daar 'n unieke waarskynlikheidsmaat op <math>\mathcal{F}\,</math> vir enige kontinue verspreidingsfunksieverdelingsfunksie, en omgekeerd. Mens sê dat die maat wat ooreenstem met 'n kontinue verspreidingsfunksieverdelingsfunksie '''geïnduseer''' word deur dié verspreidingsfunksieverdelingsfunksie. Hierdie maat val saam met die waarskynlikheidsmassafunksie vir diskrete veranderlikers en die waarskynlikheidsdigtheidsfunksie vir kontinue veranderlikes, wat die maatteoretiese benadering bevry van teenstrydighede.

Sommige lukrake veranderlikes kom gereeld in waarskynlikheidsleer voor omdat hulle talle natuurlike of fisiese prosesse goed beskryf. Hul verspreidingsverdelings het daarom ''spesiale belangrikheid'' in waarskynlikheidsleer verwerf. Enkele grondliggende ''diskrete verspreidingsverdelings'' is die [[uniforme verspreidingverdeling (diskreet)|diskrete uniforme]], [[Bernoulli verspreiding-verdeling|Bernoulli-]], [[binomiaal verspreidingbinomiaalverdeling|binomiaal]], [[negatiewe binomiaal verspreidingbinomiaalverdeling|negatiewe binomiaal-]], [[Poisson verspreiding-verdeling|Poisson-]] en [[geometriesemeetkundige verspreidingverdeling|geometriesemeetkundige]] verspreidingsverdelings. Belangrike ''kontinue verspreidingsverdelings'' sluit die [[uniforme verspreidingverdeling (kontinu)|kontinue uniforme]], [[normaal verspreidingnormaalverdeling|normaal-]], [[eksoponensiële verspreidingeksoponensiaalverdeling|eksponensiëleeksponensiaal-]], [[gamma verspreidinggammaverdeling|gamma-]] en [[beta verspreidingbetaverdeling|beta-]] verspreidingsverdelings in.

:'''Konvergensie in verspreidingverdeling:''' Soos die insinueer, konvergeer 'n reeks lukrake veranderlikes <math>X_1,X_2,\dots,\,</math> na 'n lukrake veranderlike <math>X\,</math> '''i.t.v. verspreidingverdeling''' as hul onderskeidelike kumulatiewe '''verspreidingsfunksiesverdelingsfunksies''' <math>F_1,F_2,\dots\,</math> konvergeer na 'n kumulatiewe verspreidingsfunksieverdelingsfunksie <math>F\,</math> van <math>X\,</math>, orals waar <math>F\,</math> [[kontinu]] is.

Die '''wet van groot getalle''' (WGG; LLN in Engels) voer aan dat die steekproefgemiddelde <math>\overline{X}_n=\tfrac1n{\sum X_n}</math> van <math>X_1,X_2,...\,</math> (onafhanklik en identies verspreideverdeelde lukrake veranderlikes met eindige verwagtinge <math>\mu</math>) na die teoretiese verwagting <math>\mu</math> konvergeer.

Om hierdie uit te druk i.t.v. lukrake veranderlikes en die WGG, is <math>Y_1,Y_2,...\,</math> onafhanklike [[Bernoulli verspreiding-verdeling|Bernoulli lukrake veranderlikes]] wat gelyk aan 1 is met 'n waarskynlikheid ''p'' en gelyk aan 0 is met 'n waarskynlikheid 1-''p''. <math>\textrm{E}(Y_i)=p</math> vir alle ''i'' en dit volg van die LLN dat <math>\frac{\sum Y_n}{n}\,</math> [[byna sekerlik]] na ''p'' toe konvergeer.

Die '''sentrale limietstelling''' verduidelik die gereelde voorkoms van die [[normaal verspreidingnormaalverdeling]] in die natuur; dit is een van die mees beroemde stellings in die waarskynlikheidsleer en statistiek.{{Feit|datum=November 2007}}

Die stelling voer aan dat die [[gemiddelde]] van talle onafhanklike en identies verspreideverdeelde lukrake veranderlikes na 'n [[normall verspreidingnormaalverdeling]] streef, ''ongeag'' die verspreidingverdeling wat deur die oorspronklike lukrake veranderlikes gevolg is. Meer formeel, laat <math>X_1,X_2,\dots\,</math> onafhanklike lukrake veranderlikes met [[gemiddelde]]s <math>\mu_1,\mu_2,\dots\,</math>, en [[variansie]]s <math>\sigma_1^2,\sigma_2^2,\dots\,</math> wees. Dan konvergeer die reeks lukrake veranderlikes

volgens verspreidingverdeling na 'n [[standaard normaal]] lukrake veranderlike.