Waarskynlikheidsleer: Verskil tussen weergawes

'''Waarskynlikheidsleer''' is 'n tak van [[wiskunde]] wat handel oor die analise van [[Statistiese lukraakheid|lukrake]] verskynsels.<ref>[http://www.britannica.com/ebc/article-9375936 Probability theory, Encyclopaedia Britannica]</ref> Die sentrale konsepte in waarskynlikheidsleer is [[lukrakestogastiese veranderlike]]s, [[stogastiese proses]]se, en [[gebeurtenis (waarskynlikheidsleer)|gebeurtenisse]]: wiskundige abstraksies van [[determinisme|nie-deterministiese]] gebeurtenisse of gemete hoeveelhede wat óf eenmalig plaasvind óf oor 'n tydperk klaarblyklik lukraak ontwikkel. Alhoewel 'n enkele gooi van 'n munt of 'n dobbelsteen 'n lukrakestogastiese gebeurtenis is, toon herhaalde gooi pogings sekere statistiese patrone, wat bestudeer en voorspel kan word. Twee verteenwoordigende wiskundige resultate wat sulke patrone beskryf, is die [[wet van groot getalle]] en die [[sentrale limiet stelling]].

As die proefsteekruimte die [[reële getalle]] (<math>\mathbb{R}</math>) is, word dit aangeneem dat 'n sogenaamde '''[[kumulatiewe verdelingsfunksie]]''' <math>F\,</math> bestaan, wat van so aard is dat <math>P(X\le x) = F(x)\,</math> geld vir 'n [[lukrakestogastiese veranderlike]] <math>X</math>. D.w.s. dat <math>F(x)</math> die waarskynlikheid dat <math>X</math> minder of gelyk aan <math>x</math> sal wees, bereken.

As <math>F\,</math> [[differensieerbaar]] is, sê mens dat die lukrakestogastiese veranderlike <math>X</math> 'n '''[[waarskynlikheidsdigtheidsfunksie]]''' of net '''digtheid''' <math>f(x)=\frac{dF(x)}{dx}\,</math> het.

Vir 'n versameling <math>E \subseteq \mathbb{R}</math>, is die waarskynlikheid dat die lukrakestogastiese veranderlike <math>X</math> in <math>E\,</math> is gedefinieer as:

Waar die waarskynlikheidsdigtheidsfunksie slegs vir kontinue lukrakestogastiese veranderlikes bestaan, bestaan die kumulatiewe verdelingsfunksie vir alle lukrakestogastiese veranderlikes (inkluis diskrete lukrakestogastiese veranderlikes) wat waardes oor <math>\mathbb{R}</math> aanneem.

Die bestaansrede van die maatteoretiese behandeling van waarskynlikheidsleer is dat dit die diskrete en die kontinue verenig, en die verskil laat afhang van die gekose maat. Verder dek dit verdelings wat nóg diskreet nóg kontinu is. 'n Voorbeeld van so 'n verdeling kan 'n mengsel van diskrete en kontinue verdelings wees, b.v. die sommasie van 'n diskrete en 'n kontinue lukrakestogastiese veranderlike sal nóg 'n waarskynlikheidsmassafunksie nóg 'n waarskynlikheidsverdelingsfunksie hê. Ander verdelings sal moontlik nie eers mengsels wees nie; b.v. die [[Cantor-verdeling]] het geen punt massa en geen digtheid nie. Die moderne waarskynlikheidsleer benadering oorkom hierdie probleme deur die gebruik van [[maatteorie]] om die [[steekproefruimte]] te definieer:

Sommige lukrakestogastiese veranderlikes kom gereeld in waarskynlikheidsleer voor omdat hulle talle natuurlike of fisiese prosesse goed beskryf. Hul verdelings het daarom ''spesiale belangrikheid'' in waarskynlikheidsleer verwerf. Enkele grondliggende ''diskrete verdelings'' is die [[uniforme verdeling (diskreet)|diskrete uniforme]], [[Bernoulli-verdeling|Bernoulli-]], [[binomiaalverdeling|binomiaal]], [[negatiewe binomiaalverdeling|negatiewe binomiaal-]], [[Poisson-verdeling|Poisson-]] en [[meetkundige verdeling|meetkundige]] verdelings. Belangrike ''kontinue verdelings'' sluit die [[uniforme verdeling (kontinu)|kontinue uniforme]], [[normaalverdeling|normaal-]], [[eksoponensiaalverdeling|eksponensiaal-]], [[gammaverdeling|gamma-]] en [[betaverdeling|beta-]] verdelings in.

== Konvergensie van lukrakestogastiese veranderlikes ==

In waarskynlikheidsleer is daar talle begrippe m.b.t. die konvergensie van [[lukrakestogastiese veranderlike]]s. Hulle word hier onder in die orde van hul krag verskaf - dit is, elke opvolgende begrip van konvergensie in die lys impliseer konvergensie in ooreenstemming met al die voorafgaande begrippe.

:'''Konvergensie in verdeling:''' Soos die insinueer, konvergeer 'n reeks lukrakestogastiese veranderlikes <math>X_1,X_2,\dots,\,</math> na 'n lukrakestogastiese veranderlike <math>X\,</math> '''i.t.v. verdeling''' as hul onderskeidelike kumulatiewe '''verdelingsfunksies''' <math>F_1,F_2,\dots\,</math> konvergeer na 'n kumulatiewe verdelingsfunksie <math>F\,</math> van <math>X\,</math>, orals waar <math>F\,</math> [[kontinu]] is.

:'''Swak konvergensie:''' Mens sê dat die reeks lukrakestogastiese veranderlikes <math>X_1,X_2,\dots\,</math> ''swak'' konvergeer na 'n lukrakestogastiese veranderlike <math>X\,</math> as <math>\lim_{n\rightarrow\infty}P\left(\left|X_n-X\right|\geq\varepsilon\right)=0</math> vir elke &epsilon; > 0. Swak konvergensie staan ook bekend as '''konvergensie in waarskynlikheid'''.

:'''Sterk konvergensie:''' Mens sê dat die reeks lukrakestogastiese veranderlikes ''sterk'' <math>X_1,X_2,\dots\,</math> na 'n lukrakestogastiese veranderlike <math>X\,</math> konvergeer as <math>P(\lim_{n\rightarrow\infty} X_n=X)=1.</math> Sterk konvergensie staan ook bekend as '''byna sekere konvergensie'''.

Intuïtiewelik is ''strek'' konvergensie 'n sterker weergawe van die ''swak'' konvergensie, en in beide gevalle toon die lukrakestogastiese veranderlikes <math>X_1,X_2,\dots\,</math> toenemende korrelasies met <math>X\,</math>. Nogtans, in die geval van ''konvergensie in waarskynlikheid'', hoef die verwesenlikte waardes nie te konvergeer nie, en is enige moontlike korrelasie tussen hulle onbelangrik.

Die '''wet van groot getalle''' (WGG; LLN in Engels) voer aan dat die steekproefgemiddelde <math>\overline{X}_n=\tfrac1n{\sum X_n}</math> van <math>X_1,X_2,...\,</math> (onafhanklik en identies verdeelde lukrakestogastiese veranderlikes met eindige verwagtinge <math>\mu</math>) na die teoretiese verwagting <math>\mu</math> konvergeer.

Dit is die verskillende vorms van die [[konvergensie van lukrakestogastiese veranderlikes]] wat die ''swak'' en ''sterk'' wette van groot getalle onderskei.

Om hierdie uit te druk i.t.v. lukrakestogastiese veranderlikes en die WGG, is <math>Y_1,Y_2,...\,</math> onafhanklike [[Bernoulli-verdeling|Bernoulli lukrakestogastiese veranderlikes]] wat gelyk aan 1 is met 'n waarskynlikheid ''p'' en gelyk aan 0 is met 'n waarskynlikheid 1-''p''. <math>\textrm{E}(Y_i)=p</math> vir alle ''i'' en dit volg van die LLN dat <math>\frac{\sum Y_n}{n}\,</math> [[byna sekerlik]] na ''p'' toe konvergeer.

Die stelling voer aan dat die [[gemiddelde]] van talle onafhanklike en identies verdeelde lukrakestogastiese veranderlikes na 'n [[normaalverdeling]] streef, ''ongeag'' die verdeling wat deur die oorspronklike lukrakestogastiese veranderlikes gevolg is. Meer formeel, laat <math>X_1,X_2,\dots\,</math> onafhanklike lukrakestogastiese veranderlikes met [[gemiddelde]]s <math>\mu_1,\mu_2,\dots\,</math>, en [[variansie]]s <math>\sigma_1^2,\sigma_2^2,\dots\,</math> wees. Dan konvergeer die reeks lukrakestogastiese veranderlikes

volgens verdeling na 'n [[standaard normaal]] lukrakestogastiese veranderlike.