Wysiging soos op 00:40, 1 Maart 2008 wysig Byeboer (besprekings \| bydraes) 808 edits Skakels ← Ouer wysiging		Wysiging soos op 15:41, 1 Maart 2008 wysig maak ongedaan Alias (besprekings \| bydraes) 12 729 edits +inleiding, proeflees Nuwer wysiging →
Lyn 1: 'n '''Kwaternioon''' is 'n hiperkomplekse [[getal]] wat bestaan uit vier dele. Dit is 'n uitbreiding van [[komplekse getal]]le sonder die eienskap van kommutatiwiteit. Hulle is eerste beskryf in [[1843]] deur Sir William Rowan Hamilton en toegepas in drie-dimensionele meganika. Aanvanklik is kwaternione gesien as 'n problematies aangesien dit nie voldoen het aan die kommutatiewe wet nie, dit wil sê, <math>ab \neq ba</math>. Alhoewel hul gebruik in meeste velde vervang is met vektore, word dit steeds gebruik in teoretiese en toegepaste wiskunde, veral vir berekeninge wat rotasies in drie-dimensionele ruimte bevat, soos byvoorbeeld in drie-dimensionele [[rekenaargrafika]]. ~~'n '''Kwaternion''' is 'n hiperkomplekse [[getal]] wat bestaan uit vier dele.~~ Mens kan 'n ~~kwaternion~~kwaternioon beskou as 'n reële getal saam met drie imaginêre getalle of as 'n paar van twee ~~kompleks~~komplekse getalle. In die eerste opvatting kan ons skryf: ::q= a + b.'''i''' + c.'''j''' + d.'''k''' Dit maak 'n ~~kwaternion~~kwaternioon 'n vier-dimensionale objek. Die drie imaginêre eenhede '''i''', '''j''' en '''k''' het 'n selfde kwadraat: '''i'''<sup>2</sup>= '''j'''<sup>2</sup>= '''k'''<sup>2</sup>= -1. Lyn 19: ::q<sub>1</sub>+q<sub>2</sub>=(a<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>)+(b<sub>1</sub>+b<sub>2</sub>).'''i''' +(c<sub>1</sub>+c<sub>2</sub>).'''j'''+ (d<sub>1</sub>+ d<sub>2</sub>).'''k''' Die produk word gedefinieer deur die [[Maxwell se vergelykings\|Maxwell ~~reels~~-reëls]]: :'''i'''.'''j''' = '''k''' Lyn 30: :'''i'''.'''j'''.'''k'''= -1 Die gevolg is dat vermenigvuldiging nie kommuteer nie: q<sub>1</sub>.q<sub>2</sub> is nie gelyk aan q<sub>2</sub>.q<sub>1</sub> nie. Kwaternione het lang baie onbekend gebly, maar is nou in gebruik in programmatuur vir speletjies en vlugsimulasie. Draaiing in drie dimensies iskan gemaklik te beskryf word met kwaternione sonder die probleem wat ''Gimball lock'' genoem word. ~~Díe~~Dié probleem kan ~~optree~~na vore kom as draaiing beskryf word met Euler -hoeke en kan die programmatuur laat faal. As mens met kwaternione 'n rotasie wil uitvoer moet eers die ~~rotatie~~rotasie as (hkl) ingevoer word in die vektordeel van 'n ~~kwaternion~~kwaternioon: ::q<sub>rotasie</sub>= 0 + h.'''i''' + k.'''j''' + l.'''k''' Hierdie ~~kwaternion~~kwaternioon word genormaliseer deur te deel deur (h<sup>2</sup>+k<sup>2</sup>+l<sup>2</sup>)<sup>½</sup>. ::q<sub>rotasie</sub>= 0 + '''q''' = 0 + (h.'''i''' + k.'''j''' + l.'''k''')/(h<sup>2</sup>+k<sup>2</sup>+l<sup>2</sup>)<sup>½</sup>. Die rotasiehoek α word rond die as (hkl) ingevoer deur die sinus en cosinus van die ''halwe'' hoek te neem en in te voeg in 'n ~~uitdukking~~uitdrukking wat analoog is aan die Euler -uitdrukking vir komplekse getalle: ::q<sub>rotasie</sub><sup>α</sup>= cos½α + sin½α. '''q''' Lyn 48: ::q<sub>rotasie</sub><sup>α</sup>= cos½α - sin½α. '''q''' 'n Punt (xyz) in drie dimensies kan ook geskryf word as 'n ('~~suiwere~~suiwer') ~~kwaternion~~kwaternioon: ::q<sub>punt</sub>= 0 + x.'''i''' + y.'''j''' + z.'''k''' Lyn 56: ::q'<sub>punt</sub>= q<sub>rotasie</sub>q<sub>punt</sub>q<sub>rotasie</sub> Die resultaat q'<sub>punt</sub> is 'n punt in drie en nie vier dimensies nie: q'<sub>punt</sub> 0 + x'.'''i''' + y'.'''j''' + z'.'''k''' en is ook 'n suiwere ~~kwaternion~~kwaternioon met a=0 (of in 'n rekenaar 'n afrondingsgetal soos 10<sup>-14</sup>). Mens kan die draaiing in drie dimensies sien as twee spieëlinge wat die punt in en weer uit die vierde dimensie ~~breng~~bring. [[Kategorie:Wiskunde]]

Kwaternioon: Verskil tussen weergawes