Parabool: Verskil tussen weergawes
Content deleted Content added
k robot Bygevoeg: eu:Parabola |
Xqbot (besprekings | bydraes) k robot Bygevoeg: pms:Paràbola; cosmetic changes |
||
Lyn 1:
[[
Die '''parabool''' (uit [[Grieks]]: ''παραβολή'') is 'n [[keëlsnit]] wat gegenereer word deur die snyding van 'n regtesirkelkeëloppervlak en 'n [[vlak (wiskunde)|vlak]] parallel aan 'n generator lyn van die keël. 'n Parabool kan ook gedefinieer word as die [[lokus (wiskunde)|lokus]] van [[Punt (meetkunde)|
'n Besondere geval kom voor wanneer die vlak 'n raakvlak tot die keëlvlak is. In die geval is die snyding 'n ontaarde parabool wat bestaan uit 'n [[lyn (wiskunde)|reguit lyn]].
== Definisies en oorsig ==
[[
=== Analitiese meetkundige vergelykings ===
In [[Cartesiese koördinate]] het 'n parabool met 'n as parallel aan die ''y''-as met topunt<!--vertex--> (''h'', ''k''), brandpunt (''h'', ''k'' + ''p''), en direktriks ''y'' = ''k'' - ''p'', waar ''p'' die afstand is van die toppunt na die brandpunt is, die vergelyking
Lyn 22:
sodat <math>B^2 = 4 AC</math>, waar al die koëffisiënte reël is, waar A en/of C nie-nul is, en waar meer as een oplossing bestaan wat die punte paar (x, y) op die parabool definieer. Met die onverminderbaarheid van die vergelyking word bedoel dat dit nie na die produk van twee nie noodwendig verskillende lineêre faktore gefaktoriseer kan word nie.
=== Ander meetkundige definisies ===
'n Parabool kan ook gedefinieer word as 'n këlsnit met [[eksentrisiteit (wiskunde)|eksentrisiteit]] 1.
'n Parabool het 'n enkele as van reflektiewe [[simmetrie]] wat deur die brandpunt daarvan gaan en reghoekig tot die direktriks daarvan is. Die snydings punt van die as en die parabool word die toppunt<!--vertex--> genoem. 'n Parabool wat in drei dimensies om die as gedraai word trek 'n vorm wat as 'n[[paraboloïed|omwentelingsparaboloïed]]
Die parabool kom in talle omstandighede in die fisiese wêreld voor.
=== Vergelykings ===
(met toppunt (''h'', ''k'') en afstand ''p'' tussen die toppunt en die brandpunt – let wel dat indien die toppunt onder die brandpunt is, of ekwivalentsgewys bo die direktriks, is p positief, andersins is p is negatief; op soortgelyke manier is p met horisontale simmetrieas positief as die toppunt links van die brandpunt is of ekwivalentsgewys regs van die direktriks)
==== Cartesies ====
===== Vertikale simmetrieas =====
:<math>(x - h)^2 = 4p(y - k) \,</math>
Lyn 44:
:<math>x(t) = 2pt + h; \ \ y(t) = pt^2 + k \, </math>
===== Horisontale simmetrieas =====
:<math>(y - k)^2 = 4p(x - h) \,</math>
Lyn 55:
:<math>x(t) = pt^2 + h; \ \ y(t) = 2pt + k \, </math>'''
==== Semi-latus rectum en poolkoördinate ====
In [[poolkoördinate]] word 'n parabool met brandpunt by die oorsprong en toppunt op die negatiewe ''x''-as, gegee deur die vergelyking
Lyn 62:
waar ''l'' die ''[[semi-]][[latus rectum]]'' is: die afstand van die brandpunt na die parabool self, gemeet langs 'n lyn loodreg tot die as. Let wel dat dit dubbel die afstand van die brandpunt tot by die toppunt van die parabool is of die reghoekige afstand van die brandpunt tot by die latus rectum.
==== Gauss-kaart vorm<!--Gauss-mapped form--> ====
'n [[Gauss-kaart]] vorm:
Lyn 69:
<math>(\cos\phi,\sin\phi)</math>.
== Bepaling van die brandpunt ==
Gegee 'n parabool parallel aan die ''y''-as met toppunt (0,0) en met vergelyking
:<math> y = a x^2, \qquad \qquad \qquad (1) </math>[[
dan is daar 'n punt (0,''f'')
Laat ''F'' die brandpunt aandui, en laat ''Q''die punt by (''x'',-''f'') aandui.
:<math> \| FP \| = \sqrt{ x^2 + (y - f)^2 }, </math>
Lyn 88:
:<math> x^2 - 2 a x^2 f = 2 a x^2 f, \quad </math>
:<math> x^2 = 4 a x^2 f. \quad </math>
Cancel out the ''x<sup>2</sup>''
:<math> 1 = 4 a f \quad </math>
:<math> f = {1 \over 4 a } </math>
Lyn 95:
[[Q.E.D.]]
== Weerkaatsingseienskap van die raaklyn ==
Die raaklyn van die parabool beskryf deur vergelyking (1) het helling
:<math> {dy \over dx} = 2 a x = {2 y \over x} </math>
Die lyn sny die ''y''-as by die punt (0,-''y'') = (0, - ''a x<sup>2</sup>''), en die ''x''-as by die punt (''x/2'',0).
:<math> F = (0,f), \quad </math>
:<math> Q = (x,-f), \quad </math>
Lyn 105:
Aangesien ''G'' die middelpunt van die lyn ''FQ'' is, beteken dit dat
:<math> \| FG \| \cong \| GQ \|, </math>
en dit is reed bekend dat
:<math> \| PF \| \cong \| PQ \|, </math>
en, derdens, lyn ''GP'' is gelyk aan ditself, daarom:
Lyn 113:
<math> \angle FPG \cong \angle GPQ </math>.
Lyn ''QP'' kan verby ''P'' verleng word na 'n punt ''T'', en lyn ''GP'' kan verleng word verby
Die lyn ''RG'' is 'n raaklyn aan die parabool by ''P'', dus sal enige ligstraal wat van punt ''P'' weerkaats word optree asof ''RG'' 'n spieël is en van die spieël weerkaats word.
Laat 'n ligstraal langs die vertikale lyn ''TP'' beweeg en van 'n punt ''P'' weerkaats word.
Gevolgtrekking: Enige ligstraal wat vertikaal afwaarts in die holte van die parabool beweeg (parallel aan die simmetrie-as) sal direk na die branpunt van die parabool af weerkaats word.
== Parabole in die fisiese wêreld ==
[[
In die natuur word benaderings van parabole en paraboloïede in 'n verskeidenheid van omstandighede aangetref. Die bekendste voorbeeld van die parabool in die geskiedenis van [[fisika]] is die [[trajek]] van 'n deeltjie of liggaam wat onder die invloed van 'n eenvormige [[gravitasie veld]] sonder [[lugweerstand]] beweeg (byvoorbeeld 'n [[krieket]]bal wat deur die lug trek as [[wrywing|lugwrywing]] weggelaat word). Die paraboliese trajek van projektiele is
[[
'n Ander geval waar 'n parabool in die natuur kan voorkom is in twee-liggaam wentelbane, byvoorbeeld wanneer 'n klein planeetjie of ander voorwerp onder die invloed van die son beweeg. Sulke paraboliese wentelbane is spesiale gevalle wat selde in die natuur aangetref word. Wentelbane wat 'n [[hiperbool]] of 'n [[ellips]] vorm is baie meer alegemeen. Om die waarheid te sê, die paraboliese wentelbaan is die grensgeval tussen die twee tipes bane.
Lyn 136:
Paraboloïedd word ook waargeneem in die oppervlak van 'n vloeistof beperk tot 'n houer en geroteer om 'n sentrale as. In die geval veroorsaak die [[middelpuntvlietende krag]] dat die vloeistof teen die wande van die houer op beweegom 'n paraboliese oppervlak te vrom. Dit is die beginsel agter die [[vloeistofspieëlteleskoop]].
== Kyk ook ==
*[[Paraboloïed]]
*[[Ellips]]
Lyn 143:
*[[Kettinglyn]]
== Verwysings ==
{{Wikisource1911Enc|Parabola}}
<!-- See [[Wikipedia:Footnotes]] for instructions. -->
<references />
== Eksterne skakels ==
* {{MathWorld|title=Parabola|urlname=Parabola}}
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ArchimedesTriangle.shtml Archimedes Triangle and Squaring of Parabola] at [[cut-the-knot]]
Lyn 193:
[[no:Parabel]]
[[pl:Parabola (matematyka)]]
[[pms:Paràbola]]
[[pt:Parábola]]
[[ro:Parabolă]]
|