Verskil tussen weergawes van "Parabool"

17 grepe bygevoeg ,  11 jaar gelede
k
robot Bygevoeg: pms:Paràbola; cosmetic changes
k (robot Bygevoeg: eu:Parabola)
k (robot Bygevoeg: pms:Paràbola; cosmetic changes)
[[ImageLêer:Parabola.svg|right|thumb|196px|'n Parabool]]
 
Die '''parabool''' (uit [[Grieks]]: ''παραβολή'') is 'n [[keëlsnit]] wat gegenereer word deur die snyding van 'n regtesirkelkeëloppervlak en 'n [[vlak (wiskunde)|vlak]] parallel aan 'n generator lyn van die keël. 'n Parabool kan ook gedefinieer word as die [[lokus (wiskunde)|lokus]] van [[Punt (meetkunde)|puntpunte]]e in 'n vlak wat ewe ver van 'n gegewe punt (die '''[[Brandpunt (meetkunde)|brandpunt]]''') en 'n gegewe lyn (die '''[[direktriks]]''') is.
 
'n Besondere geval kom voor wanneer die vlak 'n raakvlak tot die keëlvlak is. In die geval is die snyding 'n ontaarde parabool wat bestaan uit 'n [[lyn (wiskunde)|reguit lyn]].
 
== Definisies en oorsig ==
 
[[ImageLêer:Parabola_showing_focus_and_reflective_property.png|196px|thumb|left|'n Grafiek wat die weerkaatsing eienskap vertoon, die direktriks (groen), en die lyne wat die brandpunt en die direktriks aan die parabool verbind (blou)]]
 
=== Analitiese meetkundige vergelykings ===
In [[Cartesiese koördinate]] het 'n parabool met 'n as parallel aan die ''y''-as met topunt<!--vertex--> (''h'', ''k''), brandpunt (''h'', ''k'' + ''p''), en direktriks ''y'' = ''k'' - ''p'', waar ''p'' die afstand is van die toppunt na die brandpunt is, die vergelyking
 
sodat <math>B^2 = 4 AC</math>, waar al die koëffisiënte reël is, waar A en/of C nie-nul is, en waar meer as een oplossing bestaan wat die punte paar (x, y) op die parabool definieer. Met die onverminderbaarheid van die vergelyking word bedoel dat dit nie na die produk van twee nie noodwendig verskillende lineêre faktore gefaktoriseer kan word nie.
 
=== Ander meetkundige definisies ===
'n Parabool kan ook gedefinieer word as 'n këlsnit met [[eksentrisiteit (wiskunde)|eksentrisiteit]] 1. As gevolg hiervan is all parabole soortgelyk. 'n Parabool kan ook verkry word as die [[Limiet (wiskunde)|limiet]] van 'n reeks [[ellips]]e waar een brandpunt by 'n vaste punt gehou word terwyl die ander toegelaat word om arbitrêr ver in een rigting te beweeg. In die sin kan 'n parabool beskou word as 'n ellips wat een brandpunt by [[oneindigheid]] het. Die parabool is 'n [[inverse meetkunde|inverse transformasie]] van 'n [[kardioïed]].
 
'n Parabool het 'n enkele as van reflektiewe [[simmetrie]] wat deur die brandpunt daarvan gaan en reghoekig tot die direktriks daarvan is. Die snydings punt van die as en die parabool word die toppunt<!--vertex--> genoem. 'n Parabool wat in drei dimensies om die as gedraai word trek 'n vorm wat as 'n[[paraboloïed|omwentelingsparaboloïed]] bekend staan af.
 
Die parabool kom in talle omstandighede in die fisiese wêreld voor.
 
=== Vergelykings ===
(met toppunt (''h'', ''k'') en afstand ''p'' tussen die toppunt en die brandpunt – let wel dat indien die toppunt onder die brandpunt is, of ekwivalentsgewys bo die direktriks, is p positief, andersins is p is negatief; op soortgelyke manier is p met horisontale simmetrieas positief as die toppunt links van die brandpunt is of ekwivalentsgewys regs van die direktriks)
 
==== Cartesies ====
===== Vertikale simmetrieas =====
:<math>(x - h)^2 = 4p(y - k) \,</math>
 
:<math>x(t) = 2pt + h; \ \ y(t) = pt^2 + k \, </math>
 
===== Horisontale simmetrieas =====
:<math>(y - k)^2 = 4p(x - h) \,</math>
 
:<math>x(t) = pt^2 + h; \ \ y(t) = 2pt + k \, </math>'''
 
==== Semi-latus rectum en poolkoördinate ====
 
In [[poolkoördinate]] word 'n parabool met brandpunt by die oorsprong en toppunt op die negatiewe ''x''-as, gegee deur die vergelyking
waar ''l'' die ''[[semi-]][[latus rectum]]'' is: die afstand van die brandpunt na die parabool self, gemeet langs 'n lyn loodreg tot die as. Let wel dat dit dubbel die afstand van die brandpunt tot by die toppunt van die parabool is of die reghoekige afstand van die brandpunt tot by die latus rectum.
 
==== Gauss-kaart vorm<!--Gauss-mapped form--> ====
 
'n [[Gauss-kaart]] vorm:
<math>(\cos\phi,\sin\phi)</math>.
 
== Bepaling van die brandpunt ==
 
Gegee 'n parabool parallel aan die ''y''-as met toppunt (0,0) en met vergelyking
:<math> y = a x^2, \qquad \qquad \qquad (1) </math>[[BeeldLêer:Parabola.jpg|right|thumb|400px|Paraboliese kromme wat die Direktriks vertoon. Die vergelyking daarvan is: <math>x^2 = 8y</math>]]
dan is daar 'n punt (0,''f'') &mdash; die brandpunt &mdash; sodat enige punt ''P'' op die parabool ewe ver van beide die brandpunt en die en 'n lyn reghoekig tot simmetrie-as van die parabool (die ''linea directrix''), in die geval parallel aan die ''x''-as. Aangesien die toppunt een van die moontlike punte P is, volg dit dat die linea directrix deur die punt (0,-''f'') gaan. Dus viur enige punt ''P=(x,y)'', sal dit ewe ver van (0,''f'') en (''x'',-''f'') wees. Die probleem is om die waarde van ''f'' te vind wat die eienskap het.
 
Laat ''F'' die brandpunt aandui, en laat ''Q''die punt by (''x'',-''f'') aandui. Lyn ''FP'' het die selfde lengte as lyn ''QP''.
 
:<math> \| FP \| = \sqrt{ x^2 + (y - f)^2 }, </math>
:<math> x^2 - 2 a x^2 f = 2 a x^2 f, \quad </math>
:<math> x^2 = 4 a x^2 f. \quad </math>
Cancel out the ''x<sup>2</sup>'' from both sides (''x'' is generally not zero),
:<math> 1 = 4 a f \quad </math>
:<math> f = {1 \over 4 a } </math>
[[Q.E.D.]]
 
== Weerkaatsingseienskap van die raaklyn ==
 
Die raaklyn van die parabool beskryf deur vergelyking (1) het helling
:<math> {dy \over dx} = 2 a x = {2 y \over x} </math>
Die lyn sny die ''y''-as by die punt (0,-''y'') = (0, - ''a x<sup>2</sup>''), en die ''x''-as by die punt (''x/2'',0). Laat die punt ''G'' genoem word. Punt ''G'' is ook die middelpunt van punte ''F'' en ''Q'':
:<math> F = (0,f), \quad </math>
:<math> Q = (x,-f), \quad </math>
Aangesien ''G'' die middelpunt van die lyn ''FQ'' is, beteken dit dat
:<math> \| FG \| \cong \| GQ \|, </math>
en dit is reed bekend dat ''P'' ewe ver van beide ''F'' en ''Q'' is:
:<math> \| PF \| \cong \| PQ \|, </math>
en, derdens, lyn ''GP'' is gelyk aan ditself, daarom:
<math> \angle FPG \cong \angle GPQ </math>.
 
Lyn ''QP'' kan verby ''P'' verleng word na 'n punt ''T'', en lyn ''GP'' kan verleng word verby ''P'' na 'n punt ''R''. Dan is <math> \angle RPT </math> en <math> \angle GPQ </math> [[vertikaal]], dus is hulle gelyk (kongruent). Maar <math> \angle GPQ </math> is gelyk aan <math> \angle FPG </math>. Daarom is <math> \angle RPT </math> gelyk aan <math> \angle FPG </math>.
 
Die lyn ''RG'' is 'n raaklyn aan die parabool by ''P'', dus sal enige ligstraal wat van punt ''P'' weerkaats word optree asof ''RG'' 'n spieël is en van die spieël weerkaats word.
 
Laat 'n ligstraal langs die vertikale lyn ''TP'' beweeg en van 'n punt ''P'' weerkaats word. Die straal se invalshoek op die spieël is <math> \angle RPT </math>, dus wanneer dit weerkaats word moet die invalshoek gelyk wees aan <math> \angle RPT </math>. Maar daar is reeds gewys dat <math> \angle FPG </math> gelyk is aan <math> \angle RPT </math>. Daarom weerkaats die straal langs die lyn ''FP'': direk in die na die brandpunt.
 
Gevolgtrekking: Enige ligstraal wat vertikaal afwaarts in die holte van die parabool beweeg (parallel aan die simmetrie-as) sal direk na die branpunt van die parabool af weerkaats word. (Kyk [[paraboliese weerkaatser]].)
 
== Parabole in die fisiese wêreld ==
[[ImageLêer:Ponte Hercilio Luz - Dezembro 1996 - by Sérgio Schmiegelow.jpg|thumb|right|200px|[[Ponte Hercilio Luz]], [[Florianópolis]], [[Brasilië]]. 'n Hangbrug vorm 'n paraboliese kromme nie 'n [[kettinglyn]] nie]]
 
In die natuur word benaderings van parabole en paraboloïede in 'n verskeidenheid van omstandighede aangetref. Die bekendste voorbeeld van die parabool in die geskiedenis van [[fisika]] is die [[trajek]] van 'n deeltjie of liggaam wat onder die invloed van 'n eenvormige [[gravitasie veld]] sonder [[lugweerstand]] beweeg (byvoorbeeld 'n [[krieket]]bal wat deur die lug trek as [[wrywing|lugwrywing]] weggelaat word). Die paraboliese trajek van projektiele is in die begin van die [[17de eeu]] eksperimenteel deur [[Galileo]], wat eksperimente met die rol van balle op skuins vlakke uitgevoer het, ontdek. Die paraboliese vorm van projektielbeweging is later [[wiskunde|wiskundig]] deur [[Isaac Newton]] bewys. Vir voorwerpe wat oor ruimte uitgestrek is, soos 'n duiker wat van 'n duikplank af spring, volg die voorwerp self 'n ingewikkelde pad terwyl dit roteer, maar die [[massamiddelpunt]] van die voorwerp volg steeds 'n paraboliese pad. Soos in alle gevalle in die fisiese wêreld is die trajek altyd 'n benadering van 'n parabool. Die teenwoordigheid van lug vervorm byvoorbeeld altyd die pad. Teen lae snelhede is die vorm egter 'n goeie benadering van 'n parabool. Teen hoër snelhede soos in ballistiek, is die pad hoogs vervorm en lyk dit nie soos 'n parabool nie.
 
[[ImageLêer:Coriolis effect11.jpg|300px|left|thumb|Paraboliese vorm gevorm deur die oppervlak van 'n vloeistof onder rotasie]]
 
'n Ander geval waar 'n parabool in die natuur kan voorkom is in twee-liggaam wentelbane, byvoorbeeld wanneer 'n klein planeetjie of ander voorwerp onder die invloed van die son beweeg. Sulke paraboliese wentelbane is spesiale gevalle wat selde in die natuur aangetref word. Wentelbane wat 'n [[hiperbool]] of 'n [[ellips]] vorm is baie meer alegemeen. Om die waarheid te sê, die paraboliese wentelbaan is die grensgeval tussen die twee tipes bane.
Paraboloïedd word ook waargeneem in die oppervlak van 'n vloeistof beperk tot 'n houer en geroteer om 'n sentrale as. In die geval veroorsaak die [[middelpuntvlietende krag]] dat die vloeistof teen die wande van die houer op beweegom 'n paraboliese oppervlak te vrom. Dit is die beginsel agter die [[vloeistofspieëlteleskoop]].
 
== Kyk ook ==
*[[Paraboloïed]]
*[[Ellips]]
*[[Kettinglyn]]
 
== Verwysings ==
{{Wikisource1911Enc|Parabola}}
<!-- See [[Wikipedia:Footnotes]] for instructions. -->
<references />
 
== Eksterne skakels ==
* {{MathWorld|title=Parabola|urlname=Parabola}}
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ArchimedesTriangle.shtml Archimedes Triangle and Squaring of Parabola] at [[cut-the-knot]]
[[no:Parabel]]
[[pl:Parabola (matematyka)]]
[[pms:Paràbola]]
[[pt:Parábola]]
[[ro:Parabolă]]
47 701

wysigings