|
[[Image:Clock_group.svg|thumb|right|300px|Die prent illustreer hoe die ure op 'n horlosie 'n groep vorm.]]
In [[abstrakte algebra]] is 'n '''groep''' 'n [[versameling]] met 'n [[binêre operasie]] wat sekersekere aksiomas, soos hieronderonder uiteen gesetuiteengesit, bevredig. Die versameling heelgetalle met optelling is byvoorbeeld 'n groep. Die takvertakking van wiskunde wat groepe bestudeer staan bekend as [[groepteorie]].
Dit blyk dat baie strukture wat in wiskunde ondersoek word groepe is. Dit sluit die bekende getallestelsels in, soos die [[heelgetal]]lle, die [[rasionale getal]]le, die [[reële gestalgetal]]le, en die [[komplekse getal]]le onder optelling, so wel asbenewens die nie-nul rasionale-, reële-, en komplekse getalle, onder vermenigvuldiging in. Ander belangrike voorbeelde is die groep nie-singuliere [[matriks (wiskunde)|matrikse]] onder vermenigvuldiging, en die groep [[Inverse funksie|omkeerbare<!--invertible--> funksies]] onder [[Funksie komposisie|komposisie]]. Groepteorie maakfasiliteer die studie van die eienskappe van sulke struktuere in die algemeen moontlik.
Groepteorie word op groot skaal in wiskunde, wetenskap, en ingenieurswese toegepas. Baie [[algebraïese struktuur|algebraïese strukture]] soos [[veld (algebra)|velde]] en [[vektor ruimte]]s kan bondig in terme van groepe gedefinieer word, en groepteorie verskaf belangrike gereedskap vir die studie van [[simmetrie]], aangesien die simmetriësimmetrieë van enige voorwerp 'n groep vorm. Groepe is dus noodsaaklike abstraksies in takkevertakkings van [[fisika]] wat op simmetriebeginsels berus soos relatiwiteit, kwantum meganika,kwantummeganika en deeltjie-fisika. Verder word hulle vermoeëvermoë om meetkundige transformasies voor te stel in [[chemie]], rekenaargrafika en ander velde toegepas.
== Geskiedenis ==
== Definisies ==
'n Groep ''(G, *)'' is 'n [[versameling]] ''G'' met 'n [[binêre operasie]] * : ''G'' × ''G'' → ''G'' (een wat aan elke [[orderedgeordende pairpaar]] (a,b) in G 'n [[element]] in G aangedui deur a*b toeken) wat die volgende drie [[aksioma]]s bevredig:
* ''[[AssosiatiewiteitAssosiatiwiteit]]'': Vir alle ''a'', ''b'' en ''c'' in ''G'', (''a'' * ''b'') * ''c'' = ''a'' * (''b'' * ''c'').
* ''[[Identiteitselement]]'': Daar is 'n element ''e'' in ''G'' sodat vir alle ''a'' in ''G'', ''e'' * ''a'' = ''a'' * ''e'' = ''a''.
* ''[[Inverse element]]'': Vir elke ''a'' in ''G'', is daar 'n element ''b'' in ''G'' sodat ''a'' * ''b'' = ''b'' * ''a'' = ''e'', waar ''e'' die Identiteitselement is.
Deur die definisie van 'n binêre operasie is die groep geslote onder die operasie daarvan (dit wil sê, vir enige ''a'' en ''b'' in ''G'', is die produk ''a'' * ''b'' ook in ''G'').
DaarDit kan maklik aangetoon word dat elke groep slegsoor presies een identiteitselement hetbeskik.
Daar kan ook aangetoon word dat die inverse van 'n element uniek is, en dat die linker- en regter-inverses van 'n element dieselfde is. Sommige definisies is dus effens bondiger<!--more narrow-->, deur die vervanging van die tweede en derde aksiomas met die konsep van 'n "linker- (of regter-) identiteitselement" en 'n "linker- (of regter-) inverse element."
Let ook daarop dat 'n groep ''(G,*)'' baie keerdikwels ook eenvoudig deur ''G'' aangedui word waar daar geen dubbelsinnigheid isbestaan aangaande watoor die operasiesoort isoperasie nie.
== Basiese konsepte in groepteorie ==
=== Orde van groepe en elemente ===
Die '''orde van 'n groep ''G''''', aangedui met |''G'' |, is die aantalgetal elemente in die versameling ''G''. As die orde nie eindig is nie, dan is die groep 'n ''oneindige groep'', aangedui deur |''G'' | = ∞.
Die '''orde van 'n element ''a''''' in 'n groep ''G'' is die mins-negetiewenegatiewe heelgetal ''n'' sodat ''a<sup>n</sup>=e'', waar ''a<sup>n</sup>'' n keer met dit self vermenigvuldig word.
===Subgroepe===
'n Versameling ''H'' is 'n '''[[deelgroep]]''' van 'n groep ''G'' as dit 'n deelversameling is van ''G'', en dit 'n groep is wat die operasie waarmee ''G'' gedefinieer is gebruik. Met ander woorde, ''H'' is 'n deelgroep van (''G'', *) as die beperking van * op ''H'' 'n groep operasie op ''H'' is.
As ''G'' is 'n eindige groep is, dan is ''H'' ook een. Verder deel die orde van ''H'' die orde van ''G''.
===Sikliese groepe===
'n '''[[Sikliese groep]]''' is 'n groep waarvan al die elemente gegenereer kan word deur opeenvolgende [[funksie komposisie|komposisie]] van 'n operasie, wat die groep definieer toe te pas op 'n enkele element van die groep. Byvoorbeeld, in die geval van 'n sikliese vermenigvuldigende groep word al die elemente van die groep deur die versameling van alle heelgetal magte van 'n [[primitiewe element]] van die groep gedefinieer, ''G'' = < ''a'' > = { ''a''<sup>''n''</sup> | ''n'' <math>\scriptstyle \in</math> '''Z''' mod m | m <math>\scriptstyle \in</math> '''Z'''}. Indien opeenvolgende [[funksie komposisie|komposisie]] van die operasie wat die groep definieer op 'n nie-primitiewe element van die groep toegepas word, word 'n sikliese deelgroep gegenereer waarvan die orde die orde van die groep verdeel. Dus indien die orde van 'n groep 'n priem getal is, is al die elemente daarvan, behalwe identiteit, primitiewe elemente van die groep. Dit is belangrik om daarop te let dat 'n groep al die sikliese [[deelgroep]]e wat deur elk van die elemente van ''G'' genereer word bevat. 'n Groep wat opgestel word van sikliese deelgroepe is nie self noodwendig 'n sikliese deelgroep nie, b.v., 'n [[Klein-vier-groep|Kleingroep]] is nie 'n sikliese groep nie selfs al word dit opgestel uit twee kopië van die sikliese groep van orde 2.
== Notasie vir groepe ==
| 