Groep (wiskunde): Verskil tussen weergawes

'n '''[[Sikliese groep]]''' is 'n groep waarvan al die elemente gegenereer kan word deur opeenvolgende [[funksie komposisie|komposisie]] van 'n operasie, wat die groep definieer toedeur tetoepassing pas opvan 'n enkele element van die groep. Byvoorbeeld, in die geval van 'n sikliese siklies-vermenigvuldigende groep, word al die elemente van die groep deur die versameling van alle heelgetal magteheelgetalmagte van 'n [[primitiewe element]] van die groep gedefinieer, ''G'' = < ''a'' > = { ''a''^''n'' | ''n'' <math>\scriptstyle \in</math> '''Z''' mod m | m <math>\scriptstyle \in</math> '''Z'''}. Indien opeenvolgende [[funksie komposisie|komposisie]] van die operasie wat die groep definieer op 'n nie-primitiewe element van die groep toegepas word, word 'n sikliese deelgroep gegenereer waarvan die orde die orde van die groep verdeel. Dus indienIndien die orde van 'n groep dan 'n priem getalpriemgetal is, is al die elemente daarvan, behalwe die identiteit, primitiewe elemente van die groep. Dit is belangrik om daarop te let dat 'n groep al die sikliese [[deelgroep]]e wat deur elk van die elemente van ''G'' genereer word bevat. 'n Groep wat opgestel word vanuit sikliese deelgroepe is nie self noodwendig 'n sikliese deelgroep nie, b.v., 'n [[Klein-vier-groep|Kleingroep]] is nie 'n sikliese groep nie selfs al word dit opgestel uit twee kopiëkopieë van die sikliese groep van orde 2.

* Vermenigvuldigende groepe gebruik ''*'' om vermenigvuldiging aan te dui, en die boskrif ''^-1'' om inverses aan te dui. Byvoorbeeld, ''a * a^-1 = 1''. Dit is baie algemeen om die ''*'' weg te laat en in plaas daarvan ''aa^-1'' te skryf.

Die weglaat van 'n simbool vir 'n operasie is in die algemeen aanvaarbaar en dit word dan aan die leser gelaatoorgelaat om te weet wat die konteks van die groep-operasie is.

Wanneer groepe gedefinieer word is dit [[standaard notasie]] om hakkies te gebruik om die groep en die groep se operasie te definieer. Byvoorbeeld, (H,+) dui aan dat die versameling H 'n groep onder optelling is. Vir groepe soos (Z<sub>n</sup>,+) en (F_n*, *) is dit normaal om die hakkieshakies en die operasie weg te laat, b.v. Z<sub>n</sup> en F_n*. Dit is ook korrek om na 'n groep te verwys deur die versameling identifiseerder b.v. ''H'' of '''Z''' te gebruik.

Die identiteitselement ''e'' is staan soms bekend as die "neutrale element," en word soms aangedui deur 'n ander simbool afhangende van die groep:

* In invertiblereguliere matriks groepematriksgroepe word die identiteitselement gewoonlik deur I aangedui.

* '''AssosiativiteitAssosiatiwiteit''': Indien ''a'', ''b'', en ''c'' heelgetalle is, dan is (''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c'').

In teenstelling met bogenoemde geval is die heelgetalle vet die vermedigvuldigingvermenigvuldiging operasie, ('''Z''',·), nie 'n groep nie. Dit bevredig meeste van die aksiomas, maar dit faal in terme van inverses:

* '''IdentiteitslementIdentiteitselement''': 1 is 'n heelgetal en vir enige heelgetal ''a'', 1 · ''a'' = ''a'' · 1 = ''a''.

* '''Geslotenheid''', '''Assosiatiwiteit''', en '''Identiteitselement''' aksiomas kan maklik nagegaan word en word bevredig as gevolg vandanksy die eienskappe van heelgetalle.

Vir 'n meer konkrete voorbeeld, beskou die drie gekleurde blokke (rooi, groen, en blou), wat aanvanklik in die volgorde RGB geplaas word. Laat ''a'' die aksie wees: "ruil die eerste blok en die tweede blok om", en laat ''b'' die aksie wees: "ruildruil die tweede blok en die derde blok om".

[[Image:Group diagram d6.svg|thumb|[[Siklusdiagram]] vir S₃. 'n Lus spesifiseer 'n reeks magte van enige element verbind aan die identiteitselement (1). Byvoorbeeld, die e-ba-ab lus reflekteer die feit dat (ba)²=ab en (ba)³=e, so wel asbenewens die feit dat (ab)²=ba en (ab)³=e Die ander "lusse" is wortels van eenheid sodat, byvoorbeeld a²=e.]]

In vermenigvuldigende vorm, skryf ons tradisioneel ''xy'' vir die gekombineerde aksie "doen eers ''y'', en doen dan ''x''"; sodat ''ab'' die aksie RGB → RBG → BRG is, id.ei., "neem die laaste blok en skuif dit na die voorkant".

* '''[[Kwosiënt groepKwosiëntgroep]]''': Gegee 'n groep ''G'' en 'n [[normale deelgroep]] ''N'', die kwosiënt groep is die versameling [[coset]]te van ''G/N'' saam met die operasie (''gN'')(''hN'')=''ghN''.

* '''[[Semidirekte produk]]''': Indien ''N'' en ''H'' groepe is en &phi; : ''H'' &rarr; Aut(''N'') 'n [[groep homomorphismhomomorphisme]] is, dan is die semidirekte produk van ''N'' en ''H'' ten opsigte van &phi; is die groep (''N'' &times; ''H'', *), met * gedefinieer as

* Die uitdrukking "''a''₁ * ''a''₂ * ··· * ''a''_''n''" is ondubbelsinnig, omdat die resultaat dieslfdedieselfde sal wees ongeag van waar die hakkieshakies geplaas word.

Daar is twee hoof metodeshoofmetodes wat gebruikaangewend kan word om te bewys dat 'n versameling 'n groep is:

* Die versameling H is 'n [[nie-leë-deelversameling]] van G (id.ei. dit bevat die ''identiteitselement'')

Vir [[eindig]]e groepe hoef mens slegs te bewys dat 'n deelgroep nie-leeg neen geslote is onder die omringende<!--ambient--> groep se operasie.

* Alternatiewelik as die operasie [[assosiatief]] moet wees verslap word terwyl lang delinglangdeling steeds vereis word, word 'n [[lus (algebra)|lus]] verkry.

[[Groupoïede]]s, wat soortgelyk is aan groepe behalwe dat die komposisie ''a'' * ''b'' nie vir alle ''a'' en ''b'' gedefinieer hoef te wees nie, kom voor in die studie van meer ingewikkelde soorte simmetrië, baie keerdikwels in topologiestopologiese en analitiese strukture. Hulle is spesiale tipes [[kategorie teorie|kategorië]].