Chaosteorie
Chaosteorie is 'n tak van wiskunde te make met dinamiese stelsels. Klein verskille in die beginstoestande kan groot verandering in die afloop van die stelsels te weeg bring.
Kenmerke wysig
Chaosteorie beskryf die eienskappe van die punt waar stabiliteit in onstabiliteit of orde in wanorde oorgaan. Byvoorbeeld, anders as die gedrag van 'n slinger, wat aan 'n voorspelbare patroon voldoen, het 'n chaotiese stelsel as gevolg van sy nie-lineêre prosesse, nie 'n volledig voorspelbare patroon nie. Voorbeelde van chaotiese stelsels sluit in die gedrag van 'n vlaag rook, turbulensie of die weer. Chaotiese sisteme is kenmerkend sensitief vir aanvanklike toestande. Daarom kan 'n effense verandering in die aanvanklike toestand 'n groot impak op die uitkoms hê, soos geïllustreer deur die 'vlinder-effek' en in die werk van die meteoroloog, Edward Lorenz. Dit is slegs moontlik om sy toekoms vir 'n rukkie ongeveer te voorspel, soos die weersvoorspelling vir 'n paar dae of 'n week of twee, maar hoe langer die termyn hoe groter die onsekerheid van die voorspelling.[1]
Wiskunde wysig
Vooruitgang in chaosteorie en sy wiskunde is te danke aan die fisikus en wiskundige Jules Henri Poincare (1854–1912), wat topologiese tegnieke gebruik het om wiskunde te visualiseer. Chaos-wiskundiges in die 1960's het die bane van 'n eenvoudige slinger gekarteer. Hierdie kaart of uitbeelding word 'n faseruimte genoem. Dit stem gewoonlik ooreen met die posisie en snelheidskoördinate van die beweging. 'n Eenvoudige pendulumswaai sal 'n tweedimensionele faseruimte van snelheid en hoek hê. Sodra die beweging op die koördinate voorgestel of gekarteer is, verskyn 'n patroon. Hierdie patroon word 'n 'aantrekker' genoem. Die aantrekkers van chaotiese stelsels word 'vreemde aantrekkers' genoem.[1]
In die tyd dat René Thom (1923–2002) besig was om die verwante 'katastrofeteorie' te ontwikkel, het 'n Franse wiskundige Benoît Mandelbrot (gebore 1924) 'n meetkundige voorstelling ontwikkel van die vreemde aantrekkers van chaos deur 'fraktale meetkunde' te gebruik. Sommige opvallende kenmerke van fraktale sluit in hul merkwaardige ooreenkoms met patrone wat in die natuur voorkom, soos die kristalvorms van sneeuvlokkies, of die patrone in 'n varingblad. Nog 'n opvallende eienskap is dat die vorms wat in die fraktale patrone ingebed is, weer op kleiner en kleiner skale kan herhaal.[1]
Die skoenlapper-effek wysig
.gif)
Die tydevolusie van stelsels kan beskryf word met differensiaalvergelykings. In die geval van 'n slinger is dit 'n enkele taamlik eenvoudige vergelyking wat 'n oplossing het wat nie van die begintoestand afhang. Die tydevolusie strik periodiek en die stelsel bly periodiek deur dieselfde toestande beweeg, wat deur die sirkelvormige pad in die fasediagram weergegee word.
Maar komplekse stelsels het dikwels komplekse gekoppelde lineêre of nie-lineêre vergelykings en dit kan tot paaie lei wat amper maar nie heeltemal dieselfde toestande deurloop nie. 'n Goeie voorbeeld is 'n dubbelslinger (sien beeld). Die tydevolusie van hierdie nie-lineêre en komplekse lineêre stelsels is onreëlmatige en onvoorspelbaar. Chaos word die beste geïllustreer deur Lorentz se beroemde skoenlapper-effek: die idee dat 'n skoenlapper wat vandag die lug in Hong Kong roer, volgende maand stormstelsels in New York kan veroorsaak. Die definisie van deterministiese chaos impliseer dat 'n voorspelling in die vorm van 'n model, baie sensitief is vir klein verskille in die aanvanklike toestand. Die verskil tussen voorspellings met effens verskillende begintoestande groei eksponensieel:[2]
- t is die tyd
- a is 'n positiewe getal.
- d(0) is die verskil tussen twee voorspellings op tyd nul
- d(t) is die verskil soos dit op tyd t geword het
Indien die een beginsnelheid (van die wind bv.) v1=1,000 000 000 [m/h] en die ander een v2=1,000 000 001 [m/h], dan is d(0)=v2-v1 slegs 0,000 000 001 [m/h]. Omdat die noukeurigheid van metings altyd beperk is, kan dit onmoontlik wees om hierdie verskil te meet.
Maar na voldoende tyd kan die verskil d(t) tot 1 000[km/h] aangegroei het. Dit is die verskil tussen amper windstil en 'n orkaan. Dit veroorsaak dat die toekoms slegs op korte termyn ongeveer voorspelbaar is, maar nie op langer termyn nie.
| Wikimedia Commons bevat media in verband met Chaosteorie. |
Verwysings wysig
- ↑ 1,0 1,1 1,2 D. Straussfogel, C. von Schilling (2009). Systems Theory; in: International Encyclopedia of Human Geography. Elsevier. pp. 151–158. doi:10.1016/B978-008044910-4.00754-9. ISBN 9780080449104.
{{cite book}}: AS1-onderhoud: gebruik authors-parameter (link) - ↑ S.E. Jørgensen (2008). Chaos; in: Encyclopedia of Ecology. Academic Press. pp. 550–551. doi:10.1016/B978-008045405-4.00148-8. ISBN 9780080454054.