Chapman-Kolmogorov-vergelyking

In wiskunde, veral in waarskynlikheidsleer en in die besonder die teorie van Markoviaanse stogastiese prosesse, is die Chapman-Kolmogorov-vergelyking 'n identiteit van die gesamentlike waarskynlikheidsverdelings van die verskillende stelle van die koördinate op 'n stogastiese proses. Die vergelyking is onafhanklik deur beide die Britse wiskundige Sydney Chapman en die Russiese wiskundige Andrey Kolmogorov aangekom.

Stogastiese proses { f_i } is 'n geïndekseerde versameling van ewekansige veranderlikes, dit is, 'n stogastiese proses. Laat

$p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})$

die gesamentlike waarskynlikheidsdigtheidsfunksie funksie van die waardes van die ewekansige veranderlikes f₁ to f_n. Dan is die Chapman-Kolmogorovvergelyking

$p_{i_{1},\ldots ,i_{n-1}}(f_{1},\ldots ,f_{n-1})=\int _{-\infty }^{\infty }p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})\,df_{n}$

dit wil sê 'n eenvoudige marginalisering oor die oorlas veranderlike.

(Let daarop dat ons nog nie veronderstel om iets oor die temporale (of enige ander) bestel van die ewekansige veranderlikes die bogenoemde vergelyking van toepassing is gelyk aan die marginalisering van enige van hulle.)

Aansoek om Markov-kettings

Wanneer die stogastiese onder oorweging Markoviaanse is, is die Chapman-Kolmogorov-vergelyking gelykstaande aan 'n identiteit op die oorgangdigthede. In die Markovketting omgewing, veronderstel dat i₁ < ... < i_n. Dan, asgevolg van die Markov eiendom,

$p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})=p_{i_{1}}(f_{1})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})\cdots p_{i_{n};i_{n-1}}(f_{n}\mid f_{n-1}),$

waar die voorwaardelike waarskynlikheid $p_{i;j}(f_{i}\mid f_{j})$ tussen die tye $i>j$. So, die Chapman-Kolmogorov-vergelyking neem die vorm

$p_{i_{3};i_{1}}(f_{3}\mid f_{1})=\int _{-\infty }^{\infty }p_{i_{3};i_{2}}(f_{3}\mid f_{2})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})\,df_{2}.$

In eenvoudige terme, en informeel, sê dat die waarskynlikheid van die staat 1 om 3 van die waarskynlikheid van 1 tot 'n intermediêre staat 2 en dan 2-3 kan gevind word deur die byvoeging van oor al die moontlike intermediêrestate 2.

Wanneer die waarskynlikheid verspreiding oor die stand van die ruimte van 'n Markov-ketting is diskrete en die Markov-ketting homogeen is, kan die Chapman-Kolmogorov-vergelykings uitgedruk word in terme van (moontlikbeperkte dimensionele) matriksvermenigvuldiging, dus:

$P(t+s)=P(t)P(s)\,$

waar P(t) is die oorgang matriks van spring t, met ander woorde, P(t) is die matriks van so 'n aard dat die inskrywing (i,j) die waarskynlikheid van die ketting beweeg van die staat i j in t stappe te stel bevat.

As 'n uitvloeisel is, volg dit dat die oorgang matriks van spring t te bereken, is dit voldoende om die oorgang matriks van spring een in te samel om die krag van t, dit is

$P(t)=P^{t}.\,$

Verwysings

• The Legacy of Andrei Nikolaevich Kolmogorov Curriculum Vitae and Biography. Kolmogorov School. Ph.D. students and descendants of A.N. Kolmogorov. A.N. Kolmogorov works, books, papers, articles. Photographs and Portraits of A.N. Kolmogorov.
• Weisstein, Eric W., Chapman–Kolmogorov Equation at MathWorld.