'n Abelse kategorie is in wiskunde 'n kategorie waarin morfismes en objekte bymekaar gevoeg kan word en waarin kerne en kokerne bestaan en gewenste eienskappe besit. Die motiverende prototipe voorbeeld van 'n abelse kategorie is , die kategorie van abelse groepe. Die teorie het sy oorsprong in 'n tentatiewe poging deur Alexander Grothendieck om vele kohomologieteorieë te verenig. Abelse kategorieë is baie stabiel as kategorieë; hulle is byvoorbeeld reëlmatig en hulle bevredig die slangelemma. Die klas van abelse kategorieë is geslote onder 'n aantal kategoriese konstruksies; die kategorie van kettingkomplekse van 'n abelse kategorie, of die kategorie van funktors van 'n klein kategorie tot 'n abelse kategorie is byvoorbeeld ook abels. Hierdie stabiliteitseienskappe maak hulle onvermydelik in onder andere homologiese algebra; die teorie het belangrike toepassings in algebraïese geometrie, kohomologie en suiwere kategorieteorie. Abelse kategorieë is vernoem na die Noorse wiskundige Niels Henrik Abel

DefinisiesWysig

'n Kategorie is abels wanneer:

Hierdie definisie is ekwivalent[1] aan die volgende stuksgewyse definisie:

Let wel dat die verrykte struktuur op hom-versamelings 'n gevolg is van die drie aksiome van die eerste definisie. Dít beklemtoon die fundamentele relevansie van die kategorie van abelse groepe in die teorie en sy kanonieke aard.

Die konsep van presiese reeks kom natuurlik in hierdie opset na vore en dit blyk dat presiese funktors, d.i. die funktors wat presiese reeks in verskeie opsigte preserveer, is die relevante funktors tussen abelse kategorieë. Hierdie konsep van presiesheid is in die teorie van presiese kategorieë geaksiomatiseer, wat dit 'n spesiale geval van reëlmatige kategorieë maak.

VoorbeeldeWysig

  • Soos hierbo genoem, is die kategorie van alle abelse groepe 'n abelse kategorie. Die kategorie van alle eindig gegenereerde abelse groepe is ook 'n abelse kategorie; so-ook is die kategorie van alle eindige abelse groepe.
  • Indien   'n ring is, dan is die kategorie van alle links- of regsmodule oor   'n abelse kategorie. Trouens, dit kan gewys word dat enige klein abelse kategorie ekwivalent is aan 'n volle subkategorie van só 'n kategorie van module (Mitchell se insluitingsstelling).
  • Indien   'n links-noetherse ring is, dan is die kategorie van eindig gegenereerde linksmodule oor   abels. In die besonder is die kategorie van eindig gegenereerde module oor 'n noetherse kommutatiewe ring abels; op hierdie wyse verskyn abelse kategorieë in kommutatiewe algebra.
  • As spesiale gevalle van die twee vorige voorbeelde: die kategorie van wektorruimtes oor 'n vasgemaakte veld   is abels; so-ook is die kategorie van eindig dimensionele wektorruimtes oor  .
  • Indien   'n topologiese ruimte is, dan is die kategorie van alle (reële of komplekse) wektorbundels op   nie noodwendig 'n abelse kategorie nie, aangesien daar monomorfismes kan wees wat nie kerne is nie.
  • Indien   'n topologiese ruimte is, dan is die kategorie van alle gerwe van abelse groepe op   'n abelse kategorie. In die algemeen is die kategorie van gerwe van abelse groepe op 'n Grothendiek-gebied 'n abelse kategorie. Op hierdie wyse verskyn abelse kategorieë in algebraïese topologie en algebraïese geometrie.
  • Indien   'n klein kategorie en   'n abelse kategorie is, dan is die kategorie van alle funktors van   na   'n abelse kategorie. Indien   klein en preadditief is, dan is die kategorie van alle additiewe funktors van   na   ook 'n abelse kategorie. Laasgenoemde is 'n veralgemening van die  -moduulvoorbeeld, aangesien 'n ring as 'n preadditiewe kategorie met 'n enkele objek beskou kan word.

Grothendieck se aksiomeWysig

In sy Tôhoku-artikel lys Grothendieck vier bykomende aksiome (en hul duale) wat 'n abelse kategorie   mog veragsaam. Hierdie aksiome is vandag nog in algemene gebruik. Hulle is die volgende:

  • (AB3) Vir elke versameling   van objekte van   bestaan die koproduk   in   (d.i.   is kovolledig).
  • (AB4)   bevredig (AB3) en die koproduk van 'n familie van monomorfismes is 'n monomorfisme.
  • (AB5)   bevredig (AB3) en gefiltreerde kolimiete van presiese reekse is presies,

en hul duale:

  • (AB3*) Vir elke versameling   van objekte in   bestaan die produk   in   (d.i.   is volledig).
  • (AB4*)   bevredig (AB3*) en die produk van 'n familie van epimorfismes is 'n epimorfisme.
  • (AB5*)   bevredig (AB3*) en gefiltreerde limiete van presiese reekse is presies.

Aksiome (AB1) en (AB2) is ook gegee. Dit is hulle wat 'n additiewe kategorie abels maak. Spesifiek:

  • (AB1) Elke morfisme het 'n kern en 'n kokern.
  • (AB2) Vir elke morfisme   is die kanonieke morfisme   'n isomorfisme.

Grothendieck het ook aksiome (AB6) en (AB6*) aangegee.

Elementêre eienskappeWysig

Gegewe enige paar  ,   van objekte in 'n abelse kategorie is daar 'n spesiale nulmorfisme van   na  . Dít kan gedefinieer word as die nulelement van die hom-versameling  , aangesien dit 'n abelse groep is. Dit kan alternatief as die unieke komposisie   gedefinieer word, waar   die nulobjek van die abelse kategorie is.

In 'n abelse kategorie kan elke morfisme   as die komposisie van 'n epimorfisme gevolg deur 'n monomorfisme geskryf word. Hierdie epimorfisme word die kobeeld van   genoem, terwyl die monomorfisme die beeld van   genoem word.

Subobjekte en kwosiëntobjekte is goed gedraend in abelse kategorieë. Die parsiële geordende versameling van subjobekte van enige gegewe objek   is byvoorbeeld 'n begrensde rooster.

Elke abelse kategorie   is 'n moduul oor die monoïdale kategorie van eindig gegenereerde abelse groepe; dit is, ons kan 'n tensorproduk van 'n eindig gegenereerde abelse groep   en enige objek   van   vorm. Die abelse kategorie is ook 'n komoduul;   kan as 'n objek van   geïnterpreteer word. Indien   volledig is, kan ons die vereiste dan   eindig gegenereerd is, verwyder; ons kan in die algemeen finitêre verrykte limiete in   vorm.

Verwante konsepteWysig

Abelse kategorieë is die algemeenste opset vir homologiese algebra. Al die konstruksies wat in daardie veld gebruik word, soos presiese reekse en veral kort presiese reekse en afgeleide funktors, is relevant. Belangrike stellings wat in alle abelse kategorie van toepassing is, sluit in die vyflemma (en die kort vyflemma as spesiale geval), asook die slangelemma (en die negelemma as 'n spesiale geval).

GeskiedenisWysig

Abelse kategorieë is deur Buchsbaum (1955, onder die naam "presiese kategorie") en Grothendieck (1957) bekendgestel om verskeie kohomologieteorieë te verenig. Ter tyde was daar 'n kohomologieteorie vir gerwe en 'n komologieteorie vir groepe. Die twee is verskillend gedefinieer, maar hulle het eenderse eienskappe besit. Trouens, 'n groot gedeelte van kategorieteorie is ontwikkel as 'n taal om hierdie ooreenkomste te bestudeer. Grothendieck het die twee teorieë verenig: hulle beide verskyn as afgeleide funktors op abelse kategorieë, as die abelse kategorie van gerwe van abelse groepe op 'n topologiese ruimte, en as die abelse kategorie van  -module vir 'n gegewe groep  .

VerwysingsWysig

  1. Peter Freyd, Abelian Categories