Cassini ovaal

In wiskunde is 'n Cassini ovaal 'n versameling (of lokus) van punte in die vlak sodat elke punt p op die ovaal 'n spesiale verhouding het met twee ander vaste punte q₁ en q₂: die produk van die afstand van p na q₁ en die afstand van p na q₂ is konstant. Dit wil së as die funksie dist(a,b) gedefinieer word om die afstand van 'n punt a na 'n punt b te wees, dan bevredig al die punteop 'n Cassini ovaal die vergelyking

'n Paar Cassini ovale. Die brandpunte is (-1, 0) en (1, 0). Die krommes is gemerk met die waarde van b².

${\mbox{dist}}(q_{1},p){\mbox{dist}}(q_{2},p)=b^{2}\,$

waar b 'n konstante is.

Die punte q₁ en q₂ word die brandpunte van die ovaal genoem.

Cassini ovale is vernoem na die sterrekundige Giovanni Domenico Cassini.

Vergelykings en vorm

Veronderstel q₁ is die punt (a,0), en q₂ is die punt (-a,0). Dan bevredig die punte op die kromme die vergelyking

$((x-a)^{2}+y^{2})((x+a)^{2}+y^{2})=b^{4}$

Ekwivalente vergelykings sluit in

$(x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})+a^{4}=b^{4}$

en

$(x^{2}+y^{2}+a^{2})^{2}-4a^{2}x^{2}=b^{4}$

Die ekwivalente Poolvergelyking is

$r^{4}-2a^{2}r^{2}\cos 2\theta =b^{4}-a^{4}$

Die vorm van die ovaal hang af van die verhouding b/a. As b/a groter is as 1 is die lokus 'n enkele verbinde lus. As b/a kleiner is as 1 bestaan die lokus uit twee onverbinde lusse. As b/a gelyk is aan 1 is die lokus 'n lemniskaat.

As a = b is dir kromme rasioneel, maar in die algemeen het die kromme 'n paar dubbele punte by oneindigheid in die kompleks afgebeelde vlak, by x = ±i, y = 1, z = 0 en geen ander singulariteite nie, en is dit 'n algebraïese vlakkromme van genus een, en daarom birasionaal ekwivalent aan 'n elliptiese kromme.

As geherskalleer word deur x met ax te vervan en y met ay word 'n een-parameter familie verkry

$(x^{2}+y^{2}+1)^{2}-4x^{2}=b^{4}\,$

wat j-invariant het

$j=16{\frac {(b^{8}-16b^{4}+16)^{3}}{b^{16}(1-b^{4})}}.$

Let daarop dat die definisie van die kromme analoog is aan die van die ellips, waarin die som

${\mbox{dist}}(q_{1},p)+{\mbox{dist}}(q_{2},p)\,$

eerder as die produk konstant is.

Eksterne skakels

• MacTutor beskrywing
• Weisstein, Eric W., Cassini Ovals op MathWorld.
• 2Dcurves.com beskrywing