Krommepassing

Krommepassing is die vind van 'n kromme wat die beste pas by 'n reeks datapunte en ander moontlike voorwaardes. Hierdie artikel kan beskou word as 'n inleiding tot interpolasie (waar 'n presiese passing tot voorwaardes verwag word) en regressie-analise. Beide tegnieke word soms gebruik vir ekstrapolasie. Regressie-analise maak dit moontlik om 'n benaderde passing te verkry deur die verskil tussen datapunte en die kromme te minimeer.

Passing van lyn- en polinoomkrommes tot datapunte

Beskou 'n eerste orde polinoomvergelyking:

$y=ax+b\;.$

Dit verteenwoordig 'n lyn met helling a. Ons weet dat 'n lyn enige twee punte kan verbind. Dus is 'n eerste orde polinoomvergelyk 'n eksakte passing deur enige twee punte.

As ons die orde van die vergelyking verhoog na 'n tweede orde polinoom, kry ons:

$y=ax^{2}+bx+c\;.$

Dit sal 'n eksakte passing deur enige drie punte lewer:

As ons nou die orde van die vergelyking verhoog tot 'n derde orde polinoom, kry ons:

$y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\;.$

Dit sal 'n eksakte passing deur vier punte lewer.

'n Meer algemeen stelling sal wees om te sê dat dit vier voorwaardes presies sal pas. Elke beperking kan 'n punt wees, 'n hoek of 'n kromming. Hoek- en krommingsbeperkinge word meer dikwels aan die einde van 'n kurwe toegevoeg en in sulke gevalle word hulle randvoorwaardes genoem.

Met bogenoemde in gedagte kan eerste graadse polinoomvergelykings ook gebruik word om 'n eksakte passing vir 'n enkele punt en hoek te vind terwyl 'n derde-orde polinoomvergelyking ook gebruik kan word om 'n eksakte passing vir twee punte, 'n hoekvoorwaarde en 'n krommevoorwaarde te verkry. Baie ander kombinasies van voorwaardes is moontlik vir hierdie en ander hoër orde polinoomvergelykings.

As ons meer as n  + 1 voorwaardes het (waar n die orde van die polinoom is) kan ons steeds die polinoomkromme deur daardie voorwaardes loop. 'n Eksakte passing tot al die voorwaardes is nie seker nie (maar kan gebeur, byvoorbeeld in die geval van 'n eerste orde polinoom wat drie kolineêre punte pas). Oor die algemeen word 'n metode vereis om elke benadering te evalueer. Die kleinstekwadratemetode is een maklike metode om die afwykings te vergelyk.

Daar kan nou met reg gevra word waarom 'n mens dan 'n benaderde passing sal wil verkry as 'n mens eenvoudig net die orde van die polinoom kan verhoog om 'n eksakte passing te verky. Daar bestaan verskeie redes:

• Selfs al bestaan daar 'n eksakte passing, beteken dit nie noodwendig dat dit gevind kan word nie. Afhangende van die algoritme wat gebruik word, kan ons divergerende gevalle kry, waar die eksakte passing nie bereken kan word nie of dit neem te veel rekenaartyd in beslag om die oplossing te verkry. In ieder geval aanvaar 'n mens gewoonlik dan 'n benaderde oplossing.

• Dit kan dalk selfs wenslik wees om die benadering te gebruik om verdagte datapunte in 'n monster uit te filter eerder as om die kromme te dwing om die daardie punte presies te pas.

• Hoë-orde polinome kan baie ossileer. As 'n kromme deur twee punte A en B gepas word, sou ons verwag dat die kromme naby aan die middelpunt tussen die twee punte ook sou loop. Dit mag dalk nie gebeur in die geval van hoë-orde polinoomkrommes nie, hulle kan selfs waardes aanneem wat ordegroottes verskil van die middelpuntwaarde. Met laer orde polinome sal die kromme meer waarskynlik naby aan hierdie middelpunt verbyloop.

• Lae-orde polinome neig om gladder te wees. Om dit meer presies uit te druk, die maksimum aantal moontlike infleksiepunte in 'n polinoomkurwe is n-2, waar n die orde van die polinoomvergelyking is. 'n Infleksiepunt is 'n plek op die kromme waar dit oorskakel van 'n positiewe radius na 'n negatiewe radius.

Die gebruik van 'n polinoom met 'n hoër orde as wat werklik benodig word is ook nie 'n goeie besluit nie as gevolg van die redes hierbo aangegee maar ook omdat dit lei tot 'n oneindige aantal moontlike oplossings.

Passing van ander soorte krommes op datapunte

Ander soorte krommes, soos koniese snitte, ronde-, elliptiese-, paraboliese en hiperboliese boë of trigonometriese funksies (soos sinus en kosinus) kan ook gebruik word in krommepassings in sekere gevalle. Die baan van vallende voorwerpe onder die invloed van swaartekrag volg gewoonlik byvoorbeeld 'n paraboliese pad as lugweerstand buite rekening gelaat word. Dit sou dus sin maak om sulke datapunte op 'n paraboliese kurwe te pas. Die getye volg 'n sinusoïdale patrone dus kan sulke datapunte gepas word op 'n sinusgolf of die som van twee sinusgolwe met verskillende periodes om voorsiening te maak vir die invloed van die Maan en die Son.

Toepassing op oppervlakke

Let wel dat alhoewel die artikel grootliks op 2D krommes van toepassing is, die logika ook uitgebrei kon word tot 3D oppervlakke. Elke deel van die oppervlak kan dan voorgestel word as 'n net van kromme in twee parametriese rigtings, tipies met u en v aangedui.

Eksterne skakels

Implementerings

• NLINLS Krommepassing (nie-linêere kleinste kwadrate) deur gebruik te maak van 'n Differensiële Ewolusie optimeerder.
• ALGLIB Linêere kleinste kwadrate in C#, C++, Visual Basic, Pascal. BSD lisensie.
• GNU Scientific Library Linêere/Nie-Linêere kleinste kwadrate passing in. GPL lisensie.
• Python Equations Linêere/Nie-Linêere kleinste kwadrate kromme- en oppervlakpassing in Python. BSD lisensie.
• T-SQL implementering

Sagteware

• Fityk Geargiveer 10 Januarie 2007 op Wayback Machine - krommepassing-sagteware met GPL-lisensie.