Manhattan-metriek

Die Manhattan-metriek of stadsblokafstand, wat vir die eerste keer aan die einde van die 19de eeu ondersoek is, is ’n vorm van meetkunde waarin die gebruiklike metriek (die begrip van afstand) van die Euklidiese meetkunde vervang word deur ’n nuwe metriek waarin die afstand tussen twee punte die som is van die (absolute) verskille tussen hul Cartesiese koördinate. Die naam verwys na die roostervormige opset van die meeste strate op die eiland Manhattan, soos vasgelê in ’n plan uit 1811. Volgens die rooster is die kortste roete wat ’n motor kan neem om die afstand tussen twee punte in die stad af te lê, die lengte wat die paaie op dié plan volg (sien illustrasie regs).

’n Illustrasie van die Manhattan-metriek teenoor die Euklidiese metriek op ’n vlak: in die Manhattan-metriek het die rooi, geel en blou lyne dieselfde booglengte (12) vir dieselfde roete. In die Euklidiese metriek is die lengte van die groen lyn $6{\sqrt {2}}\approx 8,49$ en dit is die kortste lengte.

In formulevorm word die Manhattan-afstand gedefinieer as die som van die absolute verskille tussen die betrokke koördinate.

$d(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\sum _{i}{|a_{i}-b_{i}|}\,$

Tweedimensionele voorbeeld

In ’n tweedimensionele geval, soos in die illustrasie, kry ’n mens die volgende.

As $\mathbf {p}$ en $\mathbf {q} \,$ punte is met koördinate $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2})$ en $\mathbf {q} =(q_{1},q_{2})$ dan is die Manhattan-metriese afstand tussen $\mathbf {p}$ en $\mathbf {q}$:

$d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=|p_{1}-q_{1}|+|p_{2}-q_{2}|\,$

Ter vergelyking: die bekende Euklidiese afstand tussen $\mathbf {p}$ en $\mathbf {q}$ is

$d_{\textrm {Eucl}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}}}\,$