Wikipedia

Punt (meetkunde): Verskil tussen weergawes

Blaai deur geskiedenis
← Ouer wysigingNuwer wysiging →
Content deleted Content added
VisueelWikiteks
Addbot (besprekings | bydraes)
27 847 edits
k Verplasing van 67 interwikiskakels wat op Wikidata beskikbaar is op d:q44946
Lyn 9:
In [[topologie]] is 'n '''punt''' eenvoudig 'n element van die onderliggende versameling van 'n [[topologiese ruimte]]. Soortgelyke gebruike geld vir soortgelyke strukture soos [[uniform ruimte]]s, [[metriese ruimte]]s, en so voorts.
 
Punte, beskou binne die raamwerk van Euklidiese meetkunde, is een van die mees fundamentele voorwerpe. Euclid oorspronklik gedefinieer die punt as "wat geen deel". In die twee-dimensionele Euklidiese ruimte, word 'n punt verteenwoordig deur 'n geordende paar (x, y) van getalle, waar die eerste getal konvensionele die horisontale verteenwoordig en word dikwels aangedui deur x, en die tweede konvensionele verteenwoordig die vertikale en word dikwels aangedui deur y. Hierdie idee is maklik veralgemeen na drie dimensionele Euklidiese ruimte, waar 'n punt deur 'n geordende drieling (x, y, z) met die addisionele derde getal wat diepte en dikwels aangedui deur Z verteenwoordig word. Verdere veralgemenings word verteenwoordig deur 'n geordende tuplet van n terme, (a1, a2, ..., an) waar n die dimensie van die ruimte waarin die punt geleë is.
== Eksterne skakels ==
 
*[http://www.mathopenref.com/point.html Definisie van Punt] met interaktiewe miniprogram
Baie konstrukte binne Euklidiese meetkunde bestaan ​​uit 'n oneindige versameling van die punte wat aan sekere aksiomas. Dit word gewoonlik deur 'n stel van punte; As 'n voorbeeld, 'n lyn is 'n oneindige versameling van punte van die vorm \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \ rbrace}, waar c1 deur GN en d is konstantes en n die dimensie van die ruimte. Soortgelyke konstruksies bestaan ​​wat definieer die vliegtuig, lyn segment en ander verwante begrippe.
*[http://www.mathopenref.com/tocs/pointstoc.html Punte definisie bladsye] met interaktiewe animasies
 
*{{planetmath verwysings|id=8173|title=Point}}
In bykomend tot definisie van punte en stel wat verband hou met punte, Euclid ook gepostuleer 'n belangrike idee oor punte; hy beweer dat enige twee punte verbind kan word deur 'n reguit lyn. Dit is maklik bevestig onder moderne uitbreidings van Euklidiese meetkunde, en het blywende gevolge by die bekendstelling, sodat die konstruksie van byna al die geometriese konsepte van die tyd. Maar, Euclides se veronderstelling van die punte was nie volledig of finaal, as hy soms feite oor punte wat nie direk volg uit sy aksiomas, soos die bestel van die punte op die lyn of die bestaan ​​van spesifieke punte aanvaar. Ten spyte van hierdie, moderne uitbreidings van die stelsel dien hierdie aannames te verwyder.
 
Pikët, të konsideruara në kuadrin e gjeometrisë Euklidiane, janë një nga objektet më themelore. Euklidi fillimisht përcaktuar si pikë ", që nuk ka pjesë". Në të dy-dimensionale hapësirë ​​Euklidiane, një pikë përfaqësohet nga nje çift i renditur (x, y) e numrave, ku numri i parë konvencionalisht përfaqëson horizontal dhe shenohet shpesh nga X, dhe numri i dytë konvencionalisht përfaqëson vertikale dhe shenohet shpesh nga y. Kjo ide është e lehtë të përgjithësohen për hapësirë ​​tre dimensionale Euklidiane, ku një pikë është e përfaqësuar nga një treshe urdhëroi (x, y, z) me numër shtesë i tretë që përfaqëson thellësi dhe pėrcaktuara shpesh nga z. Pėrgjithėsime mëtejshme të përfaqësuar nga nje tuplet urdhëruar prej termave N, (A1, A2, ..., nje) ku n eshte dimensioni i hapësirës në të cilën pikë ndodhet.
 
Shumë ndërton brenda gjeometri Euklidiane përbëhet nga një koleksion të pafund të pikave që janë në përputhje me aksioma të caktuara. Kjo zakonisht është e përfaqësuar nga një grup të pikave; Si një shembull, një linjë është një grup i pafund i pikeve te formular \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + + a_2c_2 ... a_nc_n = d \ rbrace}, ku C1 nëpërmjet CN dhe d jane konstante dhe n eshte dimensioni i hapësirës. Ndërtime të ngjashme ekzistojnë që përcaktojnë aeroplan, segmenti linjës dhe koncepteve të tjera të lidhura.
 
Përveç përcaktimit të pikëve dhe ndërton të lidhura me pikë, Euklidi postulatit gjithashtu një ide në lidhje me pikat kyç, ai pohoi se çdo dy pika mund të jetë i lidhur nga një vijë të drejtë. Kjo është konfirmuar lehtë nën zgjerimet modernë të gjeometrisë Euklidiane, dhe kishte pasoja afatgjate në futjen e saj, duke lejuar ndërtimin e pothuajse të gjitha koncepteve gjeometrike të kohës. Megjithatë, postulation Euklidi i pikave të ishte as i plotë dhe as definitive, pasi ai herë pas here supozuar faktet në lidhje me pikat që nuk ndjekin direkt nga aksiomat e tij, të tilla si urdhërimin e pikave në linjë ose ekzistenca e pikave të veçanta. Në dritën e kësaj, zgjerimet moderne e sistemit të shërbejë për të hequr këto supozime.
نقطة، نظرت في إطار الهندسة الإقليدية، هي واحدة من الأشياء الأساسية. إقليدس يعرف أصلا نقطة كما "ان الذي ليس لديه
جزء". في الفضاء الإقليدية ثنائي الأبعاد، يتم تمثيل النقطة من قبل الزوج أمرت (X، Y) من أرقام، حيث الرقم الأول يمثل تقليديا الأفقي وغالبا ما يشار إليه ب X، والرقم الثاني يمثل تقليديا العمودي وغالبا ما يرمز بواسطة y. هذه الفكرة هي معممة بسهولة إلى ثلاثة الفضاء الإقليدية الأبعاد، حيث يتم تمثيل النقطة من قبل الثلاثي أمر (X، Y، Z) مع الرقم الثالث إضافية تمثل العمق وغالبا ما يشار إليه ب Z. يتم تمثيل التعميمات مزيد من قبل tuplet مرتبة من حيث N، (A1، A2، ...، AN) حيث n هو البعد من الفضاء الذي يقع على هذه النقطة.
 
العديد من يبني في الهندسة الإقليدية تتكون من مجموعة لانهائية من النقاط التي تتوافق مع بعض البديهيات. عادة ما يتم تمثيل ذلك من خلال مجموعة من النقاط؛ وكمثال على ذلك، هو خط مجموعة لانهائية من النقاط من النموذج \ scriptstyle {L = \ lbrace (A_1، a_2، ... a_n) | a_1c_1 + + a_2c_2 ... a_nc_n = D \ rbrace}، حيث C1 من خلال CN و D هي الثوابت و n هو البعد من الفضاء. توجد المنشآت المماثلة التي تحدد الطائرة، قطعة مستقيمة والمفاهيم الأخرى ذات الصلة.
 
بالإضافة إلى تحديد نقاط وثوابت تتعلق نقطة، كما افترض اقليدس فكرة أساسية حول نقطة؛ ادعى أن أي نقطتين يمكن ان تكون مرتبطة بواسطة خط مستقيم. ويؤكد هذا بسهولة في ظل التوسعات الحديثة في الهندسة الإقليدية، وكانت له آثار دائمة في مقدمته، والسماح للبناء تقريبا كل مفاهيم هندسية من الوقت. ومع ذلك، كان الترشيحات إقليدس من نقطة كاملة ولا نهائية، كما انه يفترض أحيانا حقائق عن النقاط التي لم تتبع مباشرة من البديهيات له، مثل ترتيب النقاط على خط أو وجود نقاط محددة. على الرغم من هذا، التوسعات الحديثة للنظام تعمل على إزالة هذه الافتراضات.
Կետով, համարվում շրջանակներում Euclidean երկրաչափություն, մեկն է առավել հիմնարար օբյեկտների. EUCLID սկզբանե սահմանել կետը, քանի որ «այն, ինչը չունի ոչ մի". Հայաստանի երկչափ Euclidean տարածքի մի կետ, որը ներկայացված է պատվիրված զույգ (x, y) թվերի, որտեղ առաջին համարը ներկայացնում է պայմանական հորիզոնական եւ հաճախ մատնանշում են x, իսկ երկրորդ համարը, պայմանականորեն ներկայացնում է ուղղահայաց եւ հաճախ մատնանշում ըստ ÿ. Այս գաղափարը հեշտությամբ ընդհանրացված երեք ծավալային Euclidean տարածք, որտեղ մի կետ, որը ներկայացնում է պատվիրված եռյակ (x, y, z) հետ լրացուցիչ երրորդ համարը, որը ներկայացնում է խորություն եւ հաճախ մատնանշում են z. Հետագա ընդհանրացումները ներկայացված են որպես պատվիրված tuplet թիվ պայմանները, (A1, A2, ..., որ), որտեղ n-ը, որ չափ է տարածության մեջ, որի խոսքը գտնվում.
 
Շատ կառուցում ընթացքում Euclidean երկրաչափություն բաղկացած մի անսահման հավաքագրման կետեր, որոնք համապատասխանում են որոշակի axioms. Սա սովորաբար ներկայացված է մի շարք նը, օրինակ, մի գիծ է անսահման շարք կետերի ձեւով \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... à_ñ) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = D \ rbrace}, որտեղ c1 միջոցով CN, d են հաստատունների եւ N այն չափ, որ տարածք. Նմանատիպ կառույցներ կան, որոնք սահմանում է ինքնաթիռը, տող հատվածի եւ այլ հարակից հասկացությունները.
 
Բացի սահմանելու միավոր եւ կառուցում կապված կետով, Էվկլիդես նաեւ postulated առանցքային պատկերացում նը, նա պնդում է, որ ցանկացած երկու միավորով կարելի է կապել մի ուղիղ գիծ. Սա հեշտ հաստատվում է ժամանակակից expansions է Euclidean երկրաչափություն, եւ ստիպված էին երկարատեւ հետեւանքներ է իր ներդրման, թույլ տալով շինարարությունը գրեթե բոլոր երկրաչափական հասկացությունները ժամանակ. Սակայն EUCLID ծանոթյություններ postulation նը էր ոչ ամբողջական, ոչ վերջնական, քանի որ նա երբեմն ենթադրել փաստեր կետեր, որոնք չեն հետեւում անմիջապես իր axioms, ինչպիսիք են պատվիրում քան գծի կամ գոյության որոշակի միավոր. Չնայած դրան, ժամանակակից expansions համակարգի ծառայում է հեռացնել այդ ենթադրությունները:
Evklid həndəsə çərçivəsində hesab Points, ən fundamental obyektlərin biridir. Evklid ilk "heç bir hissəsi var ki" kimi point müəyyən edilmişdir. Iki ölçülü Evklid fəzasında, bir point birinci sayının şərti üfüqi edir və tez-tez x ilə adlandırılmışdır və ikinci nömrəsinin şərti təmsil şaquli və tez-tez denoted yerləşir ədəd bir sifariş cüt (x, y) tərəfindən təmsil olunur y tərəfindən. Bu ideya bir nöqtə əlavə üçüncü sayının dərinliyi təmsil və tez-tez z tərəfindən denoted ilə sifariş üç (x, y, z) təmsil yerləşir üç ölçülü Evklid yer, asanlıqla ümumiləşdirilmiş edir. Əlavə ümumiləşdirmələrin n baxımından bir sifariş tuplet (A1, A2, ..., an) n nöqtəsində yerləşdiyi yerin ölçüsü olduğu ilə təmsil olunur.
 
Evklid həndəsə bir çox yapıları müəyyən aksiomatika uyğun bal sonsuz kolleksiyası ibarətdir. Bu adətən xal bir sıra təmsil edir; Məsələn, bir xətt şəklində bal sonsuz toplusudur \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \ rbrace}, cn və d vasitəsilə c1 sabitləri və n yerin ölçüsü edir. Bənzər tikililər təyyarə, xətti seqmenti və digər anlayışlar müəyyən mövcuddur.
 
Bal və bal ilə bağlı yapıları müəyyən əlavə, Evklid də bal haqqında əsas fikir postulated o hər iki xal düz xətti ilə bağlı ola bilər ki, iddia etdi. Bu asanlıqla Evklid həndəsə müasir genişləndirilməsi ilə təsdiq və vaxt demək olar ki, bütün həndəsi anlayışlar tikintisi imkan, onun tətbiq uzunmüddətli təsir edir. O, bəzən belə xətt və ya xüsusi xal olması barədə bal düzəldikdən kimi aksiomatika, birbaşa riayət etməmişdir bal haqqında faktlar güman Lakin, bal Evklid nin postulation, tam nə də qəti nə idi. Buna baxmayaraq, sistemin müasir genişləndirilməsi belə fərziyyələr aradan qaldırılması üçün xidmət edir.
Puntu, geometria euklidestarra esparruaren barruan, gehien oinarrizko objektu bat dira. Euclid jatorriz definitutako puntu gisa "parte horrek ez du". Bi dimentsioko espazio euklidearra, berriz, puntu bat dago, pare bat agindu zuen (x, y) zenbakien, non lehenengo zenbaki ohi horizontala adierazten du, eta maiz x bidez adierazten da, eta bigarren zenbakia ohi bertikala adierazten du, eta maiz adierazten ordezkatuta y. Ideia hori oso erraz, hiru dimentsioko espazio euklidearra, non puntu bat da, hirukote bat agindu zuen (x, y, z) osagarriak Hirugarren zenbaki sakonera adierazten du eta, askotan, z bidez adierazten batekin irudikatzen orokortua. Aurrerago orokortasunak dira n terminoen tuplet bat agindu zuen, (a1, a2, ..., an) n, non espazioa puntu dago dimentsio da ordezkatuta.
 
Geometria euklidestarra barruan eraikuntza askok duten puntu zenbait axioma betetzen mugagabean bilduma bat osatuko dute. Hau da, normalean, puntu multzo batek irudikatzen du; adibide gisa, lerro baten forma puntu multzoa infinitua da \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 a_2c_2 + + ... a_nc_n = d \ rbrace}, non eta d cn bidez C1 konstanteak dira eta n espazioaren dimentsioa da. Artzantza existitzen definitzen duten plano, lerro segmentu eta antzeko kontzeptuak.
 
Puntu eta puntu zerikusia eraikuntzen definituz gain, baita ere Euclid postulated puntu buruzko ideia-gako bat, bi puntu dituen edozein lerro zuzen daiteke konektatuta zuela. Hau erraz geometria euklidestarra de handitze modernoaren pean baieztatu, eta bere sarrera at ondorio iraunkorrak izan dira, ia guztiak garai hartako kontzeptu geometrikoak eraikitzeko aukera ematen du. Hala ere, horrek Euclid puntu postulation zen ez osoa, ez eta behin betiko, noizean behin, bere gain hartu zuen, puntu hori ez jarraitu zuzenean bere axioma, adibidez, lerro edo puntu zehatz existentzia puntu ordena bezala tik buruzko datuak. Hala eta guztiz ere, sistema horren hedapenak moderno zerbitzatzeko hipotesi horiek kentzeko
Акуляры, разглядаецца ў рамках эўклідавай геаметрыі, з'яўляюцца адным з найбольш фундаментальных аб'ектаў. Еўклід, першапачаткова зададзенай кропкі як "тое, што не мае частак». У двухмернай эўклідавай прасторы, кропка прадстаўлена ўпарадкаванай пары (х, у) лікаў, дзе першае чысло звычайна ўяўляе гарызантальнае і часта пазначаецца х, а другое лік звычайна ўяўляе вертыкальную і часта пазначаецца у. Гэтая ідэя лёгка абагульняецца на трохмерны эўклідавай прастору, дзе кропка прадстаўлена ўпарадкаванай трыплет (X, Y, Z) з дадатковым трэцім лікам, што ўяўляюць глыбіні і часта пазначаюць Z. Далейшыя абагульнення прадстаўлены загадаў дуоли ​​тэрмінаў п, (A1, A2, ...,), дзе N-памернасць прасторы, у якім знаходзіцца кропка.
 
Многія Канструкцыі ў эўклідавай геаметрыі складацца з бясконцага набору кропак, якія адпавядаюць вызначаным аксіёмам. Гэта, як правіла, прадстаўлена мноства кропак, у якасці прыкладу, лінія бясконцага мноства кропак выгляду \ scriptstyle L = {\ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + + a_2c_2 ... a_nc_n = D \ rbrace}, дзе C1 праз CN і D з'яўляюцца канстанты і п-памернасць прасторы. Падобныя канструкцыі існуюць, якія вызначаюць плоскасць, адрэзак і іншых звязаных з ім паняццяў.
 
У дадатак да вызначэння кропак і канструкцыі, звязаныя з кропкамі, Еўклід таксама пастуляваць ключавая ідэя аб кропках, ён сцвярджаў, што любыя дзве кропкі можна злучыць прамой лініяй. Гэта лёгка пацверджана ў сучасных пашырэньні эўклідавай геаметрыі, і мела працяглыя наступствы на яго ўвядзення, што дазваляе будаўніцтва амаль усе геаметрычныя паняцці часу. Тым не менш, пастуляванне Еўкліда пунктаў не быў ні поўным, ні канчатковым, як мяркуецца, ён час ад часу факты пра пункты, якія не выцякаюць непасрэдна з яго аксіёмы, такія як ўпарадкаванне кропак на лініі або наяўнасць канкрэтных пунктаў. Нягледзячы на ​​гэта, сучасныя пашырэння сістэмы служаць для адвядзення гэтых здагадак.
ইউক্লিডিয় জ্যামিতি কাঠামোর মধ্যে গণ্য পয়েন্ট, অধিকাংশ মৌলিক বস্তুর এক. ইউক্লিড গণনা "কোনো অংশ আছে, যা" হিসাবে বিন্দু সংজ্ঞায়িত. দুই মাত্রিক ইউক্লিডিয় স্থান, একটি বিন্দু প্রথম সংখ্যা সাধারনত অনুভূমিক প্রতিনিধিত্ব করে এবং প্রায়ই এক্স denoted হয়, এবং দ্বিতীয় সংখ্যা সাধারনত প্রতিনিধিত্ব উল্লম্ব এবং প্রায়ই denoted যেখানে সংখ্যার একটি আদেশ জোড়া (X, Y) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় Y দ্বারা. এই ধারণা একটি বিন্দু অতিরিক্ত তৃতীয় সংখ্যা গভীরতা প্রতিনিধিত্বমূলক এবং প্রায়ই z-র দ্বারা denoted সঙ্গে একটি আদেশ triplet (X, Y, Z) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় যেখানে তিনটি মাত্রিক ইউক্লিডিয় স্থান, সহজে সাধারণ হয়. উপরন্তু সরলীকরণ N পদ একটি আদেশ tuplet (A1, A2, ..., একটি) N বিন্দু যেখানে অবস্থিত সেই স্থানের মাত্রা যেখানে দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়.
 
ইউক্লিডিয় জ্যামিতি মধ্যে অনেক নির্মান নির্দিষ্ট যখন axioms প্রতিজ্ঞা পয়েন্ট অসীম সংগ্রহে গঠিত. সাধারণত পয়েন্ট একটি সেট দ্বারা প্রতিনিধিত্ব; উদাহরণস্বরূপ, একটি লাইন ফর্ম পয়েন্ট একটি অসীম সেট \ scriptstyle {l = \ lbrace (a_1, a_2 ... a_n) | a_1c_1 + + + + a_2c_2 ... a_nc_n = D \ rbrace}, CN এবং D মাধ্যমে C1 ধ্রুবক এবং N স্থান মাত্রা হয়. অনুরূপ বাক্য সমতল, লাইন সেগমেন্ট এবং অন্যান্য সম্পর্কিত ধারণা সংজ্ঞায়িত বিদ্যমান.
 
পয়েন্ট এবং পয়েন্ট এর সাথে সম্পর্কিত নির্মান সংজ্ঞা ছাড়াও, ইউক্লিড এছাড়াও পয়েন্ট সম্পর্কে কী ধারণা postulated তিনি যে কোনো দুটি পয়েন্ট একটি সরল রেখা দ্বারা সংযুক্ত করা সম্ভব বলে দাবি করেন. এই সহজে ইউক্লিডিয় জ্যামিতি আধুনিক সম্প্রসারণ অধীনে নিশ্চিত করে, এবং সময় প্রায় সব জ্যামিতিক ধারণার নির্মাণ, যার ফলে তার প্রারম্ভিক পর্যায়ে দীর্ঘস্থায়ী ফলাফল ছিল না. তিনি মাঝে মাঝে এই ধরনের লাইন বা নির্দিষ্ট পয়েন্ট অস্তিত্ব নেভিগেশন পয়েন্ট ক্রমবিন্যাসের তার যখন axioms থেকে সরাসরি অনুসরণ না যে পয়েন্ট সম্পর্কে তথ্য অধিকৃত তবে পয়েন্ট ইউক্লিড এর postulation, সম্পূর্ণ বা নির্দিষ্ট তন্ন তন্ন ছিল. এই সত্বেও, সিস্টেমের আধুনিক সম্প্রসারণ এই অনুমিতি অপসারণ করার জন্য পরিবেশন করা.
Bodova, smatraju u okviru euklidske geometrije, su jedan od najosnovnijih objektima. Euklid izvorno definirane stvar kao "ono što nema dijelu". U dvodimenzionalnih euklidska prostora, tačka zastupa naredio par (x, y) od brojeva, gdje prvi broj konvencionalno predstavlja horizontalnu i često se označava sa x, a drugi broj konvencionalno predstavlja vertikalne i često se označava od god. Ova ideja je lako generalizirana da trodimenzionalni euklidski prostor, gdje je tačka zastupa naredio triplet (x, y, z) s dodatnim trećim broj koji predstavlja dubinu i često označava sa z. Dalje generalizacije su zastupljeni od strane naredio tuplet n termina, (a1, a2, ..., an) gdje je n dimenzija prostora u kojem trenutku nalazi.
 
Mnogi konstrukti unutar euklidske geometrije sastoji od beskonačnog prikupljanja bodova koji su u skladu sa određenim aksioma. To se obično predstavlja skup bodova, Na primjer, linija je beskonačan skup točaka obrasca \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, A_2, ... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \ rbrace}, gdje je C1 do CN i D konstante i n je dimenzija prostora. Slične konstrukcije postoje koje definiraju avion, linije segmentu i drugih srodnih pojmova.
 
Osim definiranja poena i konstrukti koji se odnose na točke, Euclid također postulirao ključnu ideju o poena, on je tvrdio da su bilo koje dvije točke može biti povezana pravoj liniji. To se lako potvrđuje pod modernim ekspanzije euklidske geometrije, i imao je trajne posljedice na svojoj uvod, omogućavajući izgradnju gotovo sve geometrijske koncepte vremena. Međutim, Euklid je postuliranje poena bila ni potpuna ni definitivne, kako je povremeno pretpostavlja činjenice o bodova koji nisu pratili izravno iz aksioma, kao što je naručivanje bodova na liniji ili postojanje određene tačke. Uprkos tome, moderna proširenja sistema služi za uklanjanje ove pretpostavke.
Точки, разглеждани в рамките на евклидовата геометрия, са една от най-основните обекти. Евклид първоначално определена точка като "това, което не е част". В двумерен Евклидово пространство, точка е представена от наредена двойка (х, у) на номера, когато първият брой обикновено представлява хоризонтална и често се обозначава с X, а втората редица обикновено представлява вертикална и често е обозначена от години. Тази идея е лесно обобщени за триизмерното Евклидово пространство, когато една точка се представлява от подредени триплет (X, Y, Z) с допълнителна трета число, представляващо дълбочина и често обозначен с Z. Допълнителни обобщения са представени от един подреден tuplet на термините N, (A1, A2, ..., с), където N е измерение на пространството, в което се намира точката.
 
Много конструкти в евклидовата геометрия състои от безкрайна колекция от точки, които да отговарят на някои аксиоми. Това обикновено се представлява от набор от точки; Като пример, на ред е един безкраен набор от точки на формата \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = г \ rbrace}, където С1 до КН и D са константи и п е измерение на пространството. Подобни конструкции съществуват, които определят равнина, отсечка и други свързани понятия.
 
Освен определянето на точки и конструкции, свързани с букви, Евклид, което се предполага ключова идея за точки, той заяви, че всеки две точки могат да бъдат свързани с права линия. Това е лесно потвърдени съгласно съвременните разширения на евклидовата геометрия, и има трайни последици при въвеждането му, което позволява изграждането на почти всички геометрични понятия за време. Въпреки това, постулата на Евклид на точки е пълно, нито окончателно, тъй като той от време на време приема факти за точки, които не следват директно от неговите аксиоми, като например поръчването на точки на линията или наличието на конкретни въпроси. Въпреки това, съвременните разширения на системата служи за отстраняване на тези предположения.
Punts, considerades dins del marc de la geometria euclidiana, són un dels objectes més fonamentals. Euclides va definir originalment al punt que "el que no té enlloc". A l'espai euclidià de dues dimensions, un punt està representat per un parell ordenat (x, i) de nombres, on el primer nombre representa convencionalment l'horitzontal i sovint es denota per x, i el segon número representa convencionalment la vertical i sovint es denota per i. Aquesta idea és fàcilment generalitzat a tres l'espai euclidià tridimensional, on un punt és representat per un triplet ordenat (x, i, z) amb el tercer número addicional que representa la profunditat i, sovint denotat per z. Altres generalitzacions estan representats per un grup de valoració especial ordenada de n termes, (a1, a2, ..., an) on n és la dimensió de l'espai en què es troba el punt.
 
Moltes construccions dins la geometria euclidiana es componen d'una col · lecció infinita de punts que compleixen amb certs axiomes. Això es representa per un conjunt de punts, com a exemple, una línia és un conjunt infinit de punts de la forma \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 a_2c_2 + + ... a_nc_n = d \ rbrace}, on C1 a CN i d són constants i n és la dimensió de l'espai. Construccions similars existeixen que defineixen el pla, segment de línia i altres conceptes relacionats.
 
A més de definir els punts i les construccions relacionades amb els punts, Euclid també postula una idea clau sobre els punts, va afirmar que dos punts poden estar connectats per una línia recta. Això es confirma fàcilment sota ampliacions modernes de la geometria euclidiana, i va tenir conseqüències duradores en la seva introducció, el que permet la construcció de gairebé tots els conceptes geomètrics de l'època. No obstant això, la postulació de punts d'Euclides no era ni completa ni definitiva, ja que en ocasions suposa fets sobre els punts que no segueixen directament dels seus axiomes, com l'ordenació dels punts de la línia o de l'existència de punts específics. Tot i això, les expansions modernes del sistema serveixen per eliminar aquests supòsits.
Points, giisip sa sulod sa gambalay sa Euclidean geometry, mao ang usa sa labing batakan nga mga butang. Euclid orihinal nga gihubit sa punto nga "nga nga walay bahin". Sa duha ka gidak-on-Euclidean luna, usa ka punto nga girepresentahan sa usa ka nagmando pares (x, y) sa mga numero, diin ang unang gidaghanon conventionally nagrepresentar sa pinahigda ug sa kasagaran gipakahulugan sa x, ug ang ikaduha gidaghanon conventionally nagrepresentar sa mga bertikal ug sa kasagaran gipakahulugan sa y. Kini nga ideya mao ang sayon ​​nga kinatibuk-an sa tulo ka gidak-on Euclidean luna, diin ang usa ka punto ang girepresentahan sa usa ka nagmando triplet (x, y, z) uban sa dugang nga ikatulo nga gidaghanon nga nagrepresentar sa giladmon, ug sa kanunay gipakahulugan sa z. Dugang pa generalizations mga girepresentahan sa usa ka nagmando tuplet sa n termino, (A1, A2, ..., usa ka) diin n mao ang dimensyon sa mga luna diin ang punto nahimutang.
 
Daghan ang mga tagik sa sulod sa Euclidean geometry naglangkob sa usa ka walay katapusan nga koleksyon sa mga punto nga subay sa pipila ka axioms. Kini sagad nagrepresentar sa usa ka hugpong sa mga puntos, Sama sa usa ka panig-ingnan, usa ka linya sa usa ka walay katapusan nga mga punto sa sa porma \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \ rbrace}, diin c1 pinaagi sa CN ug d mao ang mga dili mabag-o, ug n mao ang dimensyon sa mga luna. Similar constructions anaa nga nagpaila sa eroplano, line sa hugna ug uban pang mga nalambigit nga mga konsepto.
 
Dugang sa gipatin-aw puntos ug mga tagik nga may kalabutan sa mga punto, Euclid usab postulated sa usa ka yawe nga ideya mahitungod sa mga punto nga siya nag-angkon nga sa bisan unsa nga duha ka puntos mahimong konektado sa usa ka tul-id nga linya. Kini dali napamatud-ubos sa moderno nga expansions sa Euclidean geometry, ug may malungtarong mga sangputanan sa iyang pasiuna, sa pagtugot sa pagtukod sa hapit tanan nga mga geometric mga konsepto sa panahon. Apan, Euclid ni postulation sa mga punto nga mao ni ang bug-os nga ni sa dayag, ingon sa iyang usahay Nagtuo kamatuoran mahitungod sa mga punto nga wala mosunod sa direkta gikan sa iyang mga axioms, sama sa pagsunodsunod sa mga puntos sa linya o sa paglungtad sa piho nga mga puntos. Bisan pa niini, ang mga moderno nga expansions sa sistema sa pag-alagad sa pagtangtang niini nga mga mga pagpakaingon.
点，考虑欧氏几何的框架内，最根本的目的之一。 “那有没有参与”欧几里得原本定义点。在二维欧几里德空间中，一个点表示的有序对（x，y）的数字，其中第一个数字常规地表示在水平和往往是由x表示，和常规的第二个数字代表的垂直和通常表示由y。这种想法是很容易推广到三维欧氏空间，其中所表示的附加的第三个数字代表的深入，常常用z表示的有序三元组（的x，y，z）的一个点。 n项的有序连音，（A1，A2，...，），其中n是空间的维数，其中点位于表示的进一步的概括。
 
许多在欧几里德几何结构包括一个无限集合点，符合一定的公理。这通常是由一组点表示，作为一个例子，一条线是一个无限集合点的形式\ scriptstyle {L = \ lbrace（A_1，A_2 A_N），| a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = \ rbrace}，其中，c1，通过CN和d是常数，n是该空间的维数。存在类似的结构，定义平面，线段与其他相关概念。
 
欧几里得除了定义点和点相关的构造，还假设一个关键点知道他声称可以连接任意两个点用直线。这是很容易证实欧几里德几何的现代扩张下，并有持久的后果在其介绍，允许施工的时间，几乎所有的几何概念。然而，欧几里得的公设点既不全面，也不是明确的，他偶尔假设点事实没有遵循直接从他的公理，如点，线或存在的具体点的排序。尽管如此，现代扩展系统的服务来消除这些假设。
點，考慮歐氏幾何的框架內，最根本的目的之一。 “那有沒有參與”歐幾里得原本定義點。在二維歐幾里德空間中，一個點表示的有序對（x，y）的數字，其中第一個數字常規地表示在水平和往往是由x表示，和常規的第二個數字代表的垂直和通常表示由y。這種想法是很容易推廣到三維歐氏空間，其中所表示的附加的第三個數字代表的深入，常常用z表示的有序三元組（的x，y，z）的一個點。 n項的有序連音，（A1，A2，...，），其中n是空間的維數，其中點位於表示的進一步的概括。
 
許多在歐幾里德幾何結構包括一個無限集合點，符合一定的公理。這通常是由一組點表示，作為一個例子，一條線是一個無限集合點的形式\ scriptstyle {L = \ lbrace（A_1，A_2 A_N），| a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = \ rbrace}，其中，c1，通過CN和d是常數，n是該空間的維數。存在類似的結構，定義平面，線段與其他相關概念。
 
歐幾里得除了定義點和點相關的構造，還假設一個關鍵點知道他聲稱可以連接任意兩個點用直線。這是很容易證實歐幾里德幾何的現代擴張下，並有持久的後果在其介紹，允許施工的時間，幾乎所有的幾何概念。然而，歐幾里得的公設點既不全面，也不是明確的，他偶爾假設點事實沒有遵循直接從他的公理，如點，線或存在的具體點的排序。儘管如此，現代擴展系統的服務來消除這些假設。
Bodovi, smatraju u okviru euklidske geometrije, jedan su od temeljnih predmeta. Euklid je izvorno definiran točku kao "ono što nema udjela". U dvodimenzionalnih euklidskom prostoru, točka je zastupao naručili par (x, y) od brojeva, gdje je prvi broj konvencionalno predstavlja horizontalna i često obilježeni x, a drugi broj konvencionalno predstavlja vertikalne i često se označava s y. Ova ideja je lako generalizirati na trodimenzionalni euklidskom prostoru, gdje se točka zastupa naredio trojka (x, y, z) s dodatnim treći broj predstavlja dubinu i često obilježeni z. Ostale generaliziranje zastupa naredio tuplet od n smislu, (A1, A2, ...,) gdje je n dimenzija prostora u kojem se nalazi točka.
 
Mnogi konstrukti unutar euklidske geometrije sastoji od beskonačnog prikupljanja bodova koje odgovaraju određenim aksiomima. To se obično predstavlja skup točaka; Kao primjer, linija je beskonačan skup točaka u obliku \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + + a_2c_2 ... a_nc_n = d \ rbrace}, gdje je C1 do CN i d su konstante, a n je dimenzija prostora. Slične konstrukcije postoje koji definiraju ravninu, dužine i drugih srodnih pojmova.
 
Osim definiranja bodova i konstruira se odnose na točke, Euclid i pretpostavio ključnu ideju o poena, a on je tvrdio da su bilo koje dvije točke može biti povezan ravnoj liniji. To je lako potvrdila u modernim proširenja euklidske geometrije, i imao trajne posljedice na njezino uvođenje, čime izgradnju gotovo svim geometrijskim pojmovima vremena. Međutim, Euklidova postavka poena bio ni potpun niti konačan, jer je ponekad pretpostavlja činjenice o točkama koje nisu slijedile izravno iz njegovih aksioma, kao što su naručivanje točke na liniji ili postojanje određene točke. Unatoč tome, moderni proširenja sustava služe za uklanjanje tih pretpostavki.
Body, považované v rámci Euclidean geometrie, jsou jedním z nejzákladnějších objektů. Euclid původně definovaný bod jako "ten, který nemá žádnou roli." Ve dvourozměrném euklidovském prostoru, je bod reprezentován uspořádané dvojice (x, y) z čísel, kde první číslo obvykle představuje horizontální a je často označován x, a druhé číslo obvykle představuje vertikální a je často označován podle y. Tato myšlenka je možné zobecnit na trojrozměrném Euclidean prostoru, kde je bod reprezentován uspořádanou trojici (x, y, z), s další třetí číslo představující hloubku a často označován z.. Další zobecnění jsou zastoupeny objednané tuplet pojmů, n (a1, a2, ..., an), kde n je dimenze prostoru, ve kterém se nachází místo.
 
Mnoho konstrukty v rámci Euclidean geometrie se skládají z nekonečné sbírky bodů, které odpovídají určité axiomy. Toto je obvykle zastoupen v množině bodů, jako příklad, linka je nekonečná množina bodů ve tvaru \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | + a_1c_1 a_2c_2 + ... a_nc_n = d \ rbrace}, kde c1 až cn a D jsou konstanty a n je dimenze prostoru. Podobné konstrukce existují, které definují rovinu, úsečka a další související pojmy.
 
Kromě definování bodů a konstrukty související s body, Euclid také postuloval důležitou představu o místech, tvrdil, že nějaké dva body mohou být spojeny přímkou. To je snadno potvrdit v moderních expanzí Euclidean geometrie, a měl trvalé následky na jeho zavedení, což umožňuje stavbu téměř všechny geometrické pojmy času. Nicméně, Euklidův postulát bodů bylo úplné ani definitivní, jak se někdy předpokládá, údaje o bodech, které se neřídí přímo z jeho axiomů, jako je uspořádání bodů na trati nebo existence konkrétních bodech. V zášti toto, moderní expanze systému slouží k odstranění těchto předpokladů.
Points, som behandles inden for rammerne af euklidiske geometri, er en af ​​de mest grundlæggende ting. Euclid oprindelig defineret punktet som "det, der ikke har nogen del." I to-dimensionelle euklidisk rum, er et punkt repræsenteret ved et ordnet par (x, y) af tal, hvor det første tal konventionelt repræsenterer den horisontale og er ofte betegnet med x, og det andet tal konventionelt repræsenterer den lodrette og er ofte betegnes ved y. Denne idé er let generaliseres til tredimensionelle euklidiske rum, hvor et punkt er repræsenteret ved en ordnet triplet (x, y, z) med den yderligere tredje tal repræsenterer dybde og ofte betegnet z. Yderligere generaliseringer er repræsenteret ved en ordnet tuplet af n vilkår, (a1, a2, ..., an) hvor n er dimensionen af ​​det rum, hvori den befinder sig.
 
Mange konstruktioner indenfor euklidiske geometri består af en uendelig samling af punkter, der opfylder visse aksiomer. Dette er normalt repræsenteret ved et sæt af punkter; Som et eksempel, er en linje en uendelig række punkter i formatet \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2 ... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \ rbrace}, hvor c1 gennem cn og d er konstanter, og n er dimensionen af ​​rummet. Lignende konstruktioner findes at definere flyet, linjestykke og andre relaterede begreber.
 
Ud over at definere punkter og konstruktioner relateret til punkter, også Euclid postulerede en central idé om punkter, han hævdede, at enhver to punkter kan forbindes med en ret linie. Dette er let bekræftet under moderne udvidelser af euklidiske geometri, og havde varige konsekvenser ved sin introduktion, så opførelsen af ​​næsten alle de geometriske begreber tiden. Men Euklids postulat af point hverken er komplet eller definitive, idet han lejlighedsvis antaget fakta om punkter, der ikke følger direkte fra sine aksiomer, såsom bestilling af punkter på linjen eller eksistensen af ​​bestemte punkter. På trods af dette, tjene moderne udvidelser af systemet for at fjerne disse antagelser.
Punten, beschouwd binnen het kader van de Euclidische meetkunde, zijn een van de meest fundamentele objecten. Euclid oorspronkelijk gedefinieerd het punt als "dat wat geen deel". In twee-dimensionale Euclidische ruimte, wordt een punt weergegeven door een geordend paar (x, y) van getallen, waarbij het eerste getal staat voor het conventionele horizontale en wordt vaak aangeduid met x en het tweede getal staat voor de verticale conventioneel en wordt daarom vaak door y. Dit idee is gemakkelijk gegeneraliseerd naar driedimensionale Euclidische ruimte, waarbij een punt wordt voorgesteld door een geordende triplet (x, y, z) de extra derde getal diepte en vaak aangeduid met z. Verdere generalisaties vertegenwoordigd door een geordende tuplet van n termen (a1, a2, ..., an) waarbij n is de afmeting van de ruimte waarin het punt zich bevindt.
 
Veel constructies binnen Euclidische meetkunde bestaan ​​uit een oneindige verzameling punten die voldoen aan bepaalde axioma's. Dit wordt meestal weergegeven door een reeks van punten; Als voorbeeld, een lijn is een oneindige verzameling punten van de vorm \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \ rbrace}, met c1 door cn en d constanten zijn en n is de afmeting van de ruimte. Soortgelijke constructies bestaan ​​dat het vliegtuig, lijnstuk en andere verwante begrippen te definiëren.
 
Naast het definiëren van punten en constructies met betrekking tot punten, Euclid ook gepostuleerd een belangrijke idee over punten, hij beweerde dat elke twee punten kunnen worden verbonden door een rechte lijn. Dit wordt gemakkelijk bevestigd onder moderne expansies van Euclidische meetkunde en had blijvende gevolgen op de introductie, waardoor de bouw van bijna alle geometrische begrippen van de tijd. Echter, Euclides postulaat van punten was volledig noch definitief, als hij af en toe veronderstelde feiten over punten die niet direct voortvloeien uit zijn axioma's, zoals het bestellen van de punten op de lijn of het bestaan ​​van specifieke punten. Desondanks, moderne uitbreidingen van het systeem dienen om deze veronderstellingen te verwijderen.
Points, Considered within the framework of Euclidean geometry, are one of the most fundamental objects. Euclid originally defined as the point "that Which has no part." In two-dimensional Euclidean space, a point is Represented by an ordered pair (x, y) of numbers, where the first number conventionally Represents the horizontal and is Often denoted by x, and the second number conventionally Represents the vertical and is denoted Often by y. This idea is easily generalized to three dimensional Euclidean space, where a point is Represented by an ordered triplet (x, y, z) with the additional third number representing depth and Often denoted by z Further Generalizations are Represented by an ordered tuplet or n terms, (a1, a2, ..., a n) where n is the dimension of the space in Which the point is located.
 
Many constructs within Euclidean geometry Consist of an infinite collection of points That according to certain axioms. Usually this is Represented by a set of points; As an example, a line is an infinite set of points of the form \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 a_2c_2 + + ... a_nc_n = d \ rbrace}, where c1 through cn and d are constants and n is the dimension of the space. Similar constructions exist That define the plane, line segment and other related concepts.
 
In addition to defining points and constructs related to points, Euclid usefull postulated a key idea about points, he claimed 'That any two points can be connected by a straight line. This is easily confirmed under modern expansions of Euclidean geometry, and had lasting consequences at its introduction, allo wing the construction of almost all the geometric concepts of the time. However, Euclid's postulation of points was Neither complete nor definitive, as he occasionally assumed facts about points that did not follow directly from his axioms, zoals the ordering of points on the line or the existence of specific points. In spite of this, modern expansions of the system serve to remove thesis assumptions.
Google Translate for Business:Translator ToolkitWebsite TranslatorGlobal Market Finder
Punktoj, konsiderita en la kadro de eŭklida geometrio, estas unu el la plej fundamentaj celoj. Eŭklido originale difinitaj kiel la punkto "kiun Kiu ne havas parton." En du-dimensia eŭklida spaco, punkto estas reprezentitaj de ordigita duopo (x, y) de nombroj, kie la unua numero konvencie reprezentas la horizontala kaj estas ofte signifita per x, kaj la dua numero konvencie reprezentas la vertikala kaj estas signifita Ofte per y. Tiu ideo estas facile ĝeneraligita al tri dimensia eŭklida spaco, kie punkto estas reprezentitaj per ordita benkseĝaro (x, y, z) kun la aldona tria nombro prezentanta profundo kaj ofte signifita per z Plui Ĝeneraligoj estas reprezentitaj per ordita tuplet aŭ n terminoj, (a1, a2, ..., a n), kie n estas la dimensio de la spaco en Kiu la punkto situas.
 
Multaj konstruoj ene Eŭklida geometrio konsistas el malfinia aro de punktoj Tio laŭ iuj aksiomoj. Kutime ĉi tiu estas reprezentitaj per aro de punktoj; Kiel ekzemplo, linio estas malfinia aro de punktoj de la formo \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a n) | a_1c_1 a_2c_2 + + ... a_nc_n = d \ rbrace}, kie c1 tra cn kaj d estas konstantaj kaj n estas la dimensio de la spaco. Similaj konstruoj ekzistas Tio difinas la ebeno, streko kaj rilataj konceptoj.
 
Krom difinanta punktoj kaj konstruoj rilataj al punktoj, Eŭklido usefull postulato kerna ideo pri punktoj, li asertis 'Ke ĉiuj du punktoj povas esti koneksa per rekto. Ĉi tiu estas facile konfirmita sub modernaj ekspansioj de Eŭklida geometrio, kaj havis daŭran konsekvencojn en lia enkonduko, allo ala la konstruo de preskaŭ ĉiuj geometriaj konceptoj de la epoko. Tamen, Eŭklida postulación de punktoj estis Nek kompleta nek definitiva, kiel li foje supozis faktoj pri punktoj kiuj ne sekvis rekte el sia aksiomoj, zoals la ordo de punktoj sur la linio aŭ la ekzisto de specifaj punktoj. Malgraŭ tio, la moderna ekspansioj de la sistemo servas por forigi tezo supozoj.
Punktid, mida peetakse raames Eukleidese geomeetria, on üks peamisi objekte. Euclid algselt määratletud kui punkt ", mis ei ole osa." Kahemõõtmeline eukleidiline ruum, punktiks on järjestatud paar (x, y) numbrite, kus esimene number tavapäraselt esindab horisontaalset ja sageli tähistatakse x ja teine ​​arv tavapäraselt esindab vertikaalne ja tähistatakse sageli Y. See idee on lihtne üldistada kolmemõõtmeline eukleidiline ruum, kus punkt on esindatud tellitud kolmik (x, y, z) ja täiendav kolmas number esindavad sügavus ja sageli tähistatakse z Edasine üldistused on esindatud tellitud tuplet või n mõttes (A1, A2, ..., n), kus n on mõõde ruum kus punkt asub.
 
Paljud konstrueerib jooksul Eukleidese geomeetria koosneb lõpmatu kogumise punktid, mis on kooskõlas teatavate aksioomide. Tavaliselt on esindatud rida punkte, nagu näiteks rida on lõpmatu rida punkte vormi \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2 ... a_n) | a_1c_1 a_2c_2 + + ... a_nc_n = d \ rbrace}, kus C1-cn ja d on konstandid ja n on mõõdet ruumi. Sarnased konstruktsioonid on olemas, mis määratlevad lennuk, sirglõik ja muud sellega seotud mõisted.
 
Lisaks määratletakse punktid ja konstrueerib seotud punktid, Euclid kasulik postuleeris Põhiidee umbes punkti, väitis ta, "See mis tahes kahe punkti saab ühendatud sirge. See on kergesti kinnitas all kaasaegse laiendusi Eukleidese geomeetria ja oli püsiv mõju oma sissejuhatuses, allo tiiva ehitamiseks peaaegu kõik geomeetrilised mõisted aega. Kuid Euclid postuleerimist punktid ei oleks terviklik ega lõplikud, kui ta aeg-ajalt endale fakte punkte, mis ei järginud otse tema aksioomat, Zoals tellimine punktide liinil või olemasolu konkreetsete küsimuste kohta. Hoolimata sellest, kaasaegne laiendusi süsteemi teenima eemaldada väitekirja eeldusi.
Mga puntos, isinasaalang-alang sa loob ng balangkas ng Euclidean geometry, ay isa sa mga pinaka-pangunahing bagay. Euclid orihinal na natukoy bilang mga punto "na Aling ay walang mga bahagi." Sa dalawang-dimensional Euclidean puwang, isang punto ay kinakatawan ng isang iniutos pares (x, y) ng mga numero, kung saan ang unang numero ay kumakatawan sa conventionally ang pahalang at Kadalasan ay naitala sa pamamagitan ng x, at ang pangalawang numero conventionally kumakatawan sa vertical at ay naitala Kadalasan sa pamamagitan ng y. Ideya na ito ay madaling pangkalahatan sa tatlong dimensional Euclidean space, kung saan ang isang punto ay kinakatawan ng isang iniutos isa sa tatlong magkakakambal (x, y, z) na may karagdagang mga ikatlong numero na kumakatawan sa lalim at Madalas naitala sa pamamagitan ng z karagdagang Generalizations ay kinakatawan ng isang iniutos tuplet o n mga tuntunin, (a1, a2, ..., isang n) n kung saan ay ang sukat ng puwang sa Aling mga punto ay matatagpuan.
 
Maraming mga constructs sa loob ng Euclidean geometry ay binubuo ng isang walang-katapusang koleksyon ng mga puntos na iyon ayon sa ilang mga axioms. Karaniwan ito ay kinakatawan ng isang hanay ng mga punto; Bilang halimbawa, isang linya ay isang walang katapusan na hanay ng mga punto ng form \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 a_2c_2 + + ... a_nc_n = d \ rbrace}, kung saan C1 sa pamamagitan ng CN at d mga constants at n ay ang sukat ng espasyo. Mga Katulad na constructions umiiral Iyon tukuyin ang mga eroplano, linya segment at iba pang kaugnay na konsepto.
 
Bilang karagdagan sa pagtukoy sa mga punto at constructs na may kaugnayan sa mga puntos, Euclid usefull postulated isang susi ideya tungkol sa mga punto, siya inaangkin 'Iyon anumang dalawang puntos ay maaaring konektado sa pamamagitan ng isang tuwid na linya. Ito ay madaling nakumpirma sa ilalim ng modernong pagpapalawak ng Euclidean geometry, at nagkaroon walang pagkupas sa kahihinatnan nito panimula, allo pakpak sa pagtatayo ng halos lahat ng mga geometric konsepto ng oras. Gayunpaman, Euclid ni postulation ng mga punto ay Wala sa alinman kumpleto at hindi rin tiyak, bilang siya paminsan-minsan ay ipinapalagay na mga katotohanan tungkol sa mga punto na hindi sundin direkta mula sa kanyang axioms, zoals ang pagkakasunud-sunod ng mga punto sa linya o ang pagkakaroon ng tiyak na mga puntos. Sa kabila ng ito, modernong pagpapalawak ng sistema ng magsilbi upang alisin ang pagpapalagay thesis.
Pistettä, Pidetään puitteissa Eukleideen geometria, ovat yksi keskeisimpiä kohteita. Euclid perin määritelty piste ", joka ei ole osa." Kaksiulotteisessa Euclidean tilan, piste edustaa järjestetty pari (x, y) numeroita, jossa ensimmäinen numero tavanomaisesti edustaa vaaka-ja on usein merkitty x, ja toinen luku tavanomaisesti edustaa pysty-ja on merkitty Usein y. Tämä ajatus on helposti yleistettävissä kolmiulotteisen Euclidean tilan, jossa piste edustaa tilata tripletti (x, y, z), jossa lisäksi kolmas numero edustaa syvyyttä ja usein merkitään z Edelleen Generalizations edustaa tilata tuplet tai n ehdot, (a1, a2, ..., n), jossa n on ulottuvuus tilaa, jossa piste sijaitsee.
 
Monet rakenteet sisällä Eukleideen geometria Muodostuu äärettömän kokoelma pistettä että joissakin aksioomat. Yleensä tämä edustaa joukko pisteitä, kuten esimerkiksi linja on ääretön joukko kiinnostavia muodossa \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 a_2c_2 + + ... a_nc_n = d \ rbrace}, missä C1: stä cn ja d ovat vakioita ja n on ulottuvuus tilaa. Samanlaiset rakenteet ovat olemassa, jotka määrittävät tason, janan ja muut liittyvät käsitteet.
 
Lisäksi määritellään pisteitä ja rakentaa liittyvät kohdat, Euclid hyödyllistä arveltu keskeinen käsitys pistettä, hän väitti "että kaksi pistettä voidaan yhdistää suora linja. Tämä on helppo vahvistaa alle moderni laajennuksia Eukleideen geometria, ja oli pysyviä seurauksia sen käyttöön, Allo siipi rakentamisen lähes kaikki geometriset käsitteet aikaa. Kuitenkin Euclid n postulation pisteitä ei ollut täydellinen eikä lopullinen, koska hän joskus oletetaan faktoja pistettä, joka ei suoraan seuraa hänen aksioomat, zoals tilaaminen pistettä linjalla tai olemassa erityisiä pistettä. Tästä huolimatta, moderni laajennuksia järjestelmän tarkoituksena on poistaa opinnäytetyön oletuksia
Points, examinés dans le cadre de la géométrie euclidienne, sont un des objets les plus fondamentaux. Euclide initialement défini le point comme «ce qui n'a pas de partie". Dans l'espace euclidien à deux dimensions, un point est représenté par un couple (x, y) de nombres, où le premier nombre correspond classiquement à l'horizontale et est souvent désigné par x, et le second nombre correspond classiquement à la verticale et est souvent désigné par y. Cette idée est facilement généralisé à trois dimensions espace euclidien, où un point est représenté par un triplet ordonné (x, y, z) avec le troisième nombre supplémentaire représentant la profondeur et souvent désigné par z. D'autres généralisations sont représentées par un uplet ordonné de n termes, (a1, a2, ..., an), où n est la dimension de l'espace dans lequel le point est situé.
 
Beaucoup de constructions dans la géométrie euclidienne se composent d'une collection infinie de points qui se conforment à certains axiomes. Ceci est habituellement représenté par un ensemble de points; titre d'exemple, une ligne est un ensemble infini de points de la forme \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \ rbrace}, où C1 à CN et d sont des constantes, et n est égal à la dimension de l'espace. Constructions similaires existent qui définissent l'avion, segment de ligne et d'autres concepts connexes.
 
En plus de définir des points et des constructions liées aux points, Euclide a également postulé une idée sur les points clés, il a affirmé que deux points quelconques peuvent être reliés par une ligne droite. Ceci est facilement confirmé sous extensions modernes de la géométrie euclidienne, et a eu des conséquences durables sur son introduction, permettant la construction de presque tous les concepts géométriques de l'époque. Cependant, la postulation de points d'Euclide n'était ni complète ni définitive, comme il a parfois supposé faits sur des points qui ne découlent pas directement de ses axiomes, comme l'ordonnancement des points sur la ligne ou l'existence de points spécifiques. En dépit de cela, les extensions modernes du système servent à éliminer ces hypothèses.
Puntos, considerados no ámbito da xeometría euclidiana, son un dos obxectos máis fundamentais. Euclides orixinalmente definiu o momento como "aquilo que non ten parte". No espazo euclidiano bidimensional, un punto é representado por un par ordenado (x, y) de números, onde o primeiro número representa convencionalmente á horizontal e é frecuentemente chamado x, e o segundo número representa convencionalmente á vertical e é frecuentemente denotado por y. Esta idea é facilmente xeneralizada a un espazo euclidiano de tres dimensións, onde un tema é representado por un tripleto ordenadas (x, y, z) do terceiro número adicional que supón a profundidade e, moitas veces designado por z. Outras xeneralizacións están representados por unha tuplet ordenada de n termos, (A1, A2, ..., An) en que non representa a dimensión do espazo en que o punto está localizado.
 
Moitas construcións dentro xeometría euclidiana consta dunha colección infinita de puntos que estean en conformidade con certos axiomas. Isto xeralmente é representado por un conxunto de puntos; Como exemplo, a liña é un conxunto infinito de puntos da forma \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a n) | a_1c_1 a_2c_2 + + ... a_nc_n = d \ rbrace}, onde C1 a cn e d son constantes e símbolo n representa a dimensión do espazo. Existen construcións semellantes que establecer o plano, o segmento de liña e outros conceptos relacionados.
 
Ademais de establecer os puntos e construcións relacionadas con puntos, Euclides tamén postulou a idea clave sobre puntos, el dixo que os dous puntos poden ser conectados por unha liña recta. Isto é facilmente confirmado en expansións modernos da xeometría euclidiana, e tivo consecuencias duradeiras na súa introdución, o que permite a construción de case todos os conceptos xeométricos da época. Con todo, a postulación de puntos de Euclides era completa nin definitiva, como el de cando en vez asumiu feitos sobre puntos que non seguen directamente dos seus axiomas, como a ordenación de puntos sobre a liña ou a existencia de puntos específicos. A pesar disto, as expansións modernas do sistema serve para eliminar estes presupostos.
ულები გათვალისწინებული ფარგლებში Euclidean გეომეტრია, არის ერთ ერთი ყველაზე ფუნდამენტური ობიექტები. Euclid თავდაპირველად განსაზღვრული წერტილი ", რომ რომელსაც არა აქვს ნაწილი". ორ განზომილებიანი Euclidean სივრცეში, წერტილი წარმოადგენს უბრძანა წყვილი (x, y) ნომრები, სადაც პირველი ნომერი პირობითად წარმოადგენს ჰორიზონტალური და ხშირად აღინიშნება x, ხოლო მეორე ნომერი პირობითად წარმოადგენს ვერტიკალური და ხშირად აღინიშნება by წ. ეს იდეა არის ადვილად განზოგადებული სამ განზომილებიანი Euclidean სივრცეში, სადაც წერტილი წარმოადგენს უბრძანა triplet (x, y, z) ერთად დამატებით მესამე ნომერი წარმოადგენს სიღრმე და ხშირად აღინიშნება z. შემდგომი დისკუსია წარმოდგენილია უბრძანა tuplet of ო თვალსაზრისით, (A1, A2, ...,), სადაც n განზომილების სივრცეში, სადაც წერტილი მდებარეობს.
 
ბევრი აშენებს ფარგლებში Euclidean გეომეტრია შედგება უსასრულო კოლექცია რაოდენობა, რომელიც შეესაბამება გარკვეული axioms. ეს, როგორც წესი, რომელსაც წარმოადგენს კომპლექტი ქულა; მაგალითად, ხაზი უსასრულო ნაკრები რაოდენობა ფორმის \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = D \ rbrace}, სადაც c1 მეშვეობით cn დ არიან მუდმივები და N არის განზომილების სივრცეში. მსგავსი კონსტრუქციების არსებობს, განსაზღვროს თვითმფრინავი, ხაზის სეგმენტის და სხვა მსგავსი ცნებები.
 
გარდა ამისა, განმსაზღვრელი ქულა და აშენებს დაკავშირებული ქულა, Euclid ასევე postulated გასაღები იდეა ქულა; იგი აცხადებდა, რომ ნებისმიერ ორ რაოდენობა შეიძლება დაკავშირებული სწორი ხაზი. ეს ადვილად დაადასტურა ქვეშ თანამედროვე გაფართოება of Euclidean გეომეტრია, და ჰქონდა ხანგრძლივი შედეგების დანერგვა, რომელიც საშუალებას მშენებლობა თითქმის ყველა გეომეტრიული ცნებები გაუტოლდა. თუმცა, Euclid-ს postulation რაოდენობა არც სრული და არც საბოლოო, რადგან იგი ხანდახან აიღო ფაქტები რაოდენობა, რომელიც არ ასრულებს უშუალოდ მისი axioms, როგორიცაა რიგი რაოდენობა ხაზზე ან არსებობა კონკრეტული რაოდენობა. მიუხედავად ამისა, თანამედროვე გაფართოება სისტემის ემსახურება წაშლა ამ ვარაუდები.
Punkte, die im Rahmen der euklidischen Geometrie betrachtet, sind eine der grundlegendsten Objekte. Euclid ursprünglich definiert den Punkt als "das, was keinen Teil hat". In zweidimensionalen euklidischen Raum ist ein durch eine geordnete Paar (x, y) von Zahlen, wobei die erste Zahl üblicherweise die horizontale und wird oft von x bezeichnet, und die zweite Zahl üblicherweise die vertikale und wird oft bezeichnet vertreten von y. Diese Idee ist leicht verallgemeinert drei dimensionalen euklidischen Raum, in dem ein durch eine geordnete Triplett (x, y, z) mit der zusätzlichen dritten Zahl, Tiefe und oft mit z bezeichnet dargestellt ist. Weitere Verallgemeinerungen durch eine geordnete Tupel von n Bedingungen, (a1, a2, ..., an), wobei n die Dimension des Raumes, in dem sich der Punkt befindet dargestellt.
 
Viele Konstrukte innerhalb euklidischen Geometrie bestehen aus einer unendlichen Sammlung von Punkten, die auf bestimmte Axiome entsprechen. Dies wird in der Regel durch eine Reihe von Punkten dargestellt; Als Beispiel ist eine Linie eine unendliche Menge von Punkten der Form \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + + a_2c_2 ... a_nc_n = d \ rbrace}, wobei C1 bis CN und d Konstanten sind und n die Dimension des Raumes. Ähnliche Konstruktionen gibt, die definieren, die Ebene, Strecke und andere verwandte Konzepte.
 
Neben der Definition und Konstrukte Punkte in Bezug auf Punkte, Euclid auch eine Schlüsselrolle Ahnung Punkte postuliert, er behauptete, dass zwei beliebige Punkte durch eine gerade Linie verbunden werden können. Dies ist leicht unter modernen Erweiterungen der euklidischen Geometrie bestätigt und hatte nachhaltige Folgen bei ihrer Einführung, so dass der Bau von fast allen geometrischen Konzepte der Zeit. Allerdings war Euklids Postulat Punkte weder vollständig noch endgültig, als er annahm, gelegentlich Fakten über Punkte, die nicht folgen direkt aus seiner Axiome, wie die Reihenfolge der Punkte auf der Linie oder der Existenz von bestimmten Punkten. Trotzdem dienen moderne Erweiterungen des Systems, um diese Annahmen zu entfernen.
Σημεία, εξετάζονται στο πλαίσιο της Ευκλείδειας γεωμετρίας, είναι ένα από τα πιο θεμελιώδη αντικείμενα. Ευκλείδης ορίζεται αρχικά το σημείο ως «αυτό που δεν έχει μέρος». Σε δύο διαστάσεων Ευκλείδειο χώρο, ένα σημείο αντιπροσωπεύεται από ένα διατεταγμένο ζεύγος (x, y) των αριθμών, όπου ο πρώτος αριθμός αντιπροσωπεύει συμβατικά την οριζόντια και συχνά συμβολίζεται με Χ, και ο δεύτερος αριθμός αντιπροσωπεύει συμβατικά την κάθετη και συχνά συμβολίζεται από y. Αυτή η ιδέα είναι εύκολα γενικευμένη σε τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο, όπου ένα σημείο αντιπροσωπεύεται από μία εντολή τριάδα (χ, y, z) με το πρόσθετο τρίτο αριθμό που αντιπροσωπεύει το βάθος και συχνά συμβολίζεται με z. Περαιτέρω γενικεύσεις εκπροσωπούνται από εντολή της υποδιαίρεσης χρόνου n όρους, (a1, a2, ..., an) όπου το η είναι η διάσταση του χώρου στον οποίο βρίσκεται το σημείο.
 
Πολλές δομές εντός Ευκλείδεια γεωμετρία αποτελείται από μια άπειρη συλλογή σημείων που ανταποκρίνονται σε ορισμένα αξιώματα. Αυτό είναι συνήθως εκπροσωπούνται από ένα σύνολο σημείων? Ως παράδειγμα, μια γραμμή είναι ένα άπειρο σύνολο σημείων της μορφής \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 a_2c_2 + + ... a_nc_n = d \ rbrace}, όπου c1 μέσω cn και d είναι σταθερές και n είναι η διάσταση του χώρου. Παρόμοιες κατασκευές υπάρχουν που καθορίζουν το αεροπλάνο, το τμήμα της γραμμής και άλλες συναφείς έννοιες.
 
Εκτός από τον καθορισμό σημείων και κατασκευές που σχετίζονται με τα σημεία, ο Ευκλείδης αξιωματική επίσης μια βασική ιδέα σχετικά με τα σημεία? Ισχυρίστηκε ότι οποιαδήποτε δύο σημεία μπορούν να συνδεθούν με μια ευθεία γραμμή. Αυτό είναι εύκολο να επιβεβαιωθεί σύμφωνα με τις σύγχρονες επεκτάσεις της Ευκλείδειας γεωμετρίας, και είχε μακροχρόνιες συνέπειες στην εισαγωγή του, που επιτρέπει την κατασκευή όλων σχεδόν των γεωμετρικών εννοιών του χρόνου. Ωστόσο, postulation Ευκλείδη σημεία δεν ήταν ούτε πλήρη ούτε οριστική, καθώς ανέλαβε περιστασιακά γεγονότα σχετικά με τα σημεία που δεν προκύπτει ευθέως από τα αξιώματα του, όπως η διάταξη των σημείων στη γραμμή ή την ύπαρξη συγκεκριμένων σημείων. Παρά το γεγονός αυτό, η σύγχρονη επεκτάσεις του συστήματος χρησιμεύουν για να καταργήσετε αυτές τις υποθέσεις.
યુક્લિડીયન ભૂમિતિ ના માળખામાં ગણવામાં પોઇંટ્સ, સૌથી મૂળભૂત પદાર્થો એક છે. EUCLID મૂળ "કોઈ ભાગ છે કે જે" તરીકે બિંદુ વ્યાખ્યાયિત કરે છે. બે પરિમાણીય યુક્લિડીન સ્પેસમાં, એક બિંદુ પ્રથમ નંબર પરંપરાગત આડી રજૂ કરે છે અને ઘણી વખત X દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે, અને બીજા નંબર પરંપરાગત રજૂ ઊભી અને ઘણી વખત માનવામાં આવે છે જ્યાં નંબરો એક આદેશ આપ્યો જોડી (એક્સ, વાય), દ્વારા રજૂ થાય છે વાય છે. આ વિચાર બિંદુ વધારાના ત્રીજા નંબર ઊંડાઈ રજૂ છે અને ઘણી વખત Z દ્વારા સૂચિત સાથે આદેશ આપ્યો ત્રિપાઇ (x, y, z) દ્વારા રજૂ થયેલ છે ત્રણ પરિમાણીય યુક્લિડીન સ્પેસમાં, સરળતાથી સામાન્ય છે. વધુ સામાન્યકરણ એ પદોની આદેશ આપ્યો tuplet, (a1, a2, ..., એક) એ બિંદુ સ્થિત થયેલ છે જેમાં જગ્યા પરિમાણ છે જ્યાં દ્વારા રજૂ થાય છે.
 
યુક્લિડીયન ભૂમિતિ અંદર ઘણા રચના ચોક્કસ axioms માટે અનુકૂળ કે પોઈન્ટ અનંત સંગ્રહ ધરાવે છે. આ સામાન્ય રીતે પોઈન્ટ સમૂહ દ્વારા રજૂ થાય છે; ઉદાહરણ તરીકે, એક લીટી ફોર્મ પોઈન્ટ અનંત સમૂહ છે \ scriptstyle {એલ = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + + + + a_2c_2 ... a_nc_n = ડી \ rbrace}, CN અને ડી મારફતે C1 સ્થિરાંકો છે અને એ જગ્યા પરિમાણ છે. સરખી બાંધકામમાં પ્લેન, લાઇન સેગમેન્ટ અને અન્ય સંબંધિત વિભાવનાઓ વ્યાખ્યાયિત કે અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
 
પોઈન્ટ અને પોઈન્ટ સંબંધિત રચના વ્યાખ્યાયિત કરવા ઉપરાંત, યુક્લિડ પણ પોઈન્ટ વિશે કી વિચાર માનવામાં; તેઓ કોઇ પણ બે પોઇન્ટ એક સીધી રેખા દ્વારા જોડાયેલ હોઈ શકે છે કે જે દાવો કર્યો હતો. આ સરળતાથી યુક્લિડીયન ભૂમિતિ આધુનિક વિસ્તરણ હેઠળ પુષ્ટિ, અને સમય લગભગ તમામ ભૌમિતિક ખ્યાલો બાંધકામ પરવાનગી આપે છે, તેનો પરિચય મોટી અસરો પડી છે. તે ક્યારેક જેમ કે લીટી અથવા ચોક્કસ પોઈન્ટ અસ્તિત્વ પર પોઈન્ટ ક્રમ તરીકે તેમના axioms, સીધું પાલન ન હતી કે પોઈન્ટ વિશે તથ્યો ધારણ જોકે, પોઈન્ટ યુક્લીડના આવશ્યક ઉપધારણા કે સ્વીકૃત કલ્પના, સંપૂર્ણ કે નિર્ણાયક બે હતી. આમ હોવા છતાં, સિસ્ટમ આધુનિક વિસ્તરણ આ માન્યતાઓને દૂર કરવા માટે સેવા આપે છે.
Pwen, yo konsidere nan kad jeyometri eklidyen, yo se youn nan objè yo ki pi fondamantal. Euclid orijinal defini pwen an kòm "sa ki pa gen okenn pati". Nan ki genyen de dimansyon espas eklidyen, se yon pwen reprezante pa yon pè òdone (x, y) nan nimewo, ki kote nimewo nan premye konvansyonèl reprezante orizontal la ak se souvan deziye pa x, ak nimewo nan dezyèm konvansyonèl reprezante vètikal la ak se souvan deziye pa y. Lide sa a se fasil jeneralize nan twa espas dimansyon eklidyen, ki kote yon pwen reprezante pa yon triplèt te bay lòd (x, y, z) ak plis nimewo nan twazyèm reprezante pwofondè epi byen souvan yo deziye pa z. Jeneralizasyon Pli lwen yo reprezante pa yon uple te bay lòd n tèm, (a1, a2, ..., yon) kote n se dimansyon nan nan espas ki la nan ki se pwen an ki sitiye.
 
Konstwi Anpil nan jeyometri eklidyen konpoze de yon koleksyon enfini nan pwen ki konfòme yo ak aksyòm sèten. Sa a se anjeneral reprezante pa yon seri pwen; Kòm yon egzanp, yon liy se yon seri enfini nan pwen nan fòm \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \ rbrace}, kote C1 nan cn ak D se konstan ak n se dimansyon an nan espas la. Konstriksyon Menm jan egziste ki defini avyon an, segman liy ak lòt konsèp ki gen rapò.
 
Anplis de sa nan defini pwen ak konstwi ki gen rapò ak pwen, Euclid tou postila yon lide kle sou pwen, li te deklare ke nenpòt pwen de kapab konekte pa yon liy dwat. Sa a se fasil konfime anba gran modèn nan jeyometri eklidyen, li te gen konsekans ki dire lontan nan entwodiksyon li yo, sa ki pèmèt konstriksyon an nan prèske tout konsèp yo jewometrik nan moman an. Sepandan, postulation Euclid la nan pwen te ni konplè ni definitif, menm jan li detanzantan sipoze enfòmasyon sou pwen ki pa t 'swiv ki sòti dirèkteman nan aksyòm l' yo, tankou enskri non moun sa pwen sou liy lan oswa egzistans lan nan pwen espesifik. Nan malgre nan sa a, gran modèn nan sistèm nan sèvi yo retire sa yo sipozisyon.
נקודות, שנחשבו במסגרת גיאומטריה האוקלידית, הן אחד מהאובייקטים הבסיסיים ביותר. אוקלידס
מקור מוגדר כנקודה "שבו אין לו חלק". במרחב אוקלידי דו ממדים, נקודה מיוצגת על ידי זוג סדור (x, y) של מספרים, שבו המספר הראשון מייצג את המקובל האופקי ולעתים קרובות כונה על ידי X, והמספר השני מייצג את מקובל האנכי ולעתים קרובות מצוין על ידי Y. רעיון זה הוא בקלות להכליל את שלושה ממדי מרחב אוקלידי, שבו נקודה מיוצגת על ידי שלישיית הורה (x, y, z) עם המספר השלישי נוסף המייצג את העומק ולעתים קרובות כונה על ידי z. הכללות נוספות מיוצגות על ידי הורה של tuplet מונחי n, (A1, A2, ...,) כאשר n הוא הממד של המרחב שבו נמצאת הנקודה.
 
מבנים רבים בגיאומטריה האוקלידית מורכבים מאוסף אינסופי של נקודות שמתאימים לאכסיומות מסוימות. זה בדרך כלל מיוצג על ידי קבוצה של נקודות; כדוגמה, קו הוא קבוצה אינסופית של נקודות מצורת \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + + a_2c_2 ... a_nc_n = ד \ rbrace}, שבו C1 דרך CN וד הם קבועים וn הוא הממד של המרחב. מבנים דומים קיימים שמגדירים את המטוס, קטע קו ומושגים אחרים הקשורים.
 
בנוסף להגדרת נקודות ובונה הקשורים לנקודות, אוקלידס הניח גם רעיון מרכזי על נקודות, הוא טען כי ניתן לחבר כל שתי נקודות בקו ישר. זה אושר בקלות תחת הרחבות מודרניות של גיאומטריה האוקלידית, והיה לו תוצאות לאורך שנים בהשקתו, מה שמאפשר הבנייה של כמעט כל מושגים הגיאומטריים של הזמן. עם זאת, תביעתו של אוקלידס של נקודות הייתה לא מלאה ולא סופי, כפי שהוא מדי פעם להניח עובדות על נקודות שלא פעל ישירות מהאקסיומות שלו, כגון סידור של נקודות על הקו או את קיומו של נקודות ספציפיות. למרות זאת, הרחבות מודרניות של המערכת תשמש כדי להסיר את ההנחות הללו''Skuinsgedrukte teks''.
इयूक्लिडियन ज्यामिति के ढांचे के भीतर माना अंक, सबसे बुनियादी वस्तुओं में से एक हैं. यूक्लिड मूल "कोई हिस्सा है जो कि" के रूप में बिंदु को परिभाषित किया. दो आयामी इयूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक बिंदु पहले नंबर पारंपरिक क्षैतिज प्रतिनिधित्व करता है और अक्सर एक्स द्वारा चिह्नित है, और दूसरे नंबर के पारंपरिक का प्रतिनिधित्व करता है ऊर्ध्वाधर और अक्सर चिह्नित है जहां नंबरों की एक जोड़ी का आदेश दिया (एक्स, वाई), द्वारा प्रतिनिधित्व किया है y द्वारा. यह विचार एक बिंदु अतिरिक्त तीसरे नंबर गहराई का प्रतिनिधित्व और अक्सर जेड द्वारा चिह्नित के साथ एक आदेश त्रिक (एक्स, वाई, जेड) द्वारा प्रतिनिधित्व किया है जहां तीन आयामी इयूक्लिडियन अंतरिक्ष, को आसानी से सामान्यीकृत है. इसके अलावा सामान्यीकरण n पदों का आदेश दिया tuplet, (A1, A2, ..., एक) एन बिंदु पर स्थित है जिसमें अंतरिक्ष के आयाम है जहां से प्रतिनिधित्व कर रहे हैं.
 
इयूक्लिडियन ज्यामिति के भीतर कई निर्माणों कुछ axioms के अनुरूप अंक की एक अनंत संग्रह से मिलकर बनता है. यह आमतौर पर अंक का एक सेट का प्रतिनिधित्व करती है, एक उदाहरण के रूप में, एक लाइन फार्म के अंक की एक अनंत सेट है \ scriptstyle {एल = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = घ \ rbrace}, cn और घ के माध्यम से C1 स्थिरांक हैं और n अंतरिक्ष के आयाम है जहां. इसी तरह के निर्माणों विमान, लाइन खंड और अन्य संबंधित अवधारणाओं को परिभाषित है कि मौजूद हैं.
 
अंक और अंक से संबंधित निर्माणों को परिभाषित करने के अलावा, यूक्लिड भी अंक के बारे में एक प्रमुख विचार माने, वह किसी भी दो अंक एक सीधी रेखा से जोड़ा जा सकता है कि दावा किया. यह आसानी से इयूक्लिडियन ज्यामिति की आधुनिक विस्तार के तहत की पुष्टि की है, और समय के लगभग सभी ज्यामितीय अवधारणाओं के निर्माण के लिए अनुमति देता है, इसकी शुरूआत में स्थायी परिणाम पड़ा है. वह कभी - कभी ऐसी रेखा या विशिष्ट अंक के अस्तित्व पर अंक के आदेश के रूप में अपने एक्सिओम्स, से सीधे का पालन नहीं किया है कि अंक के बारे में तथ्यों को मान लिया लेकिन, जैसा कि अंक के यूक्लिड की अभ्यर्थना, पूरी न ही निश्चित न था. इस के बावजूद, प्रणाली का आधुनिक विस्तार इन मान्यताओं को दूर करने के लिए काम करते हैं.
Cov ntsiab lus, suav hais tias tsis pub dhau lub moj khaum ntawm Euclidean geometry, yog ib qho ntawm feem ntau yuav tsum muaj tej yam khoom. Euclid tseem txhais lub taw tes raws li "hais tias uas tsis muaj feem". Nyob rau hauv ob-seem Euclidean qhov chaw, ib tug taw tes yog sawv cev los ntawm ib tug kom khub (x, y) ntawm tus xov tooj, qhov chaw uas thawj zaug tus xov tooj conventionally sawv cev rau lub tav toj thiab yog feem ntau denoted by x, thiab ob tus xov tooj conventionally sawv cev rau lub feem ntsug thiab yog feem ntau denoted by y. Lub tswv yim no yog yooj yim generalized mus rau peb seem Euclidean qhov chaw, qhov chaw uas ib tug taw tes yog sawv cev los ntawm ib tug kom triplet (x, y, z) nrog ntxiv peb muaj pes tsawg tus sawv cev tob thiab feem ntau denoted by z. Tsis tas li ntawd generalizations yog sawv cev los ntawm ib tug kom tuplet ntawm n lus, (A1, A2, ..., ib tug) nyob qhov twg n yog qhov dav ntawm qhov chaw nyob rau hauv uas tus taw tes nyob.
 
Muaj ntau constructs tsis pub dhau Euclidean geometry xws li ib tug tsis kawg sau ntawm cov ntsiab lus uas hloov mus rau tej yam axioms. Qhov no feem ntau yog sawv cev los ntawm ib tug co ntawm cov ntsiab lus; Raws li ib qho piv txwv, ib kab yog ib qho tsis kawg co ntsiab lus ntawm daim ntawv no \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \ rbrace}, qhov twg C1 los ntawm CN thiab d yog tas li thiab n yog qhov dav ntawm qhov chaw. Zoo Sib Xws constructions tshwm sim uas txhais lub dav hlau, kab ntu thiab lwm yam hais txog kev tswv yim.
 
Ntxiv nrog rau txhais ntsiab lus thiab constructs hais txog cov ntsiab lus, Euclid tseem postulated ib tug tseem ceeb lub tswv yim hais txog cov ntsiab lus; nws thov hais tias tej yam uas ob ntsiab lus yuav kev cob cog rua los ntawm ib tug ncaj kab. Qhov no yog yooj yim lees paus nyob rau hauv niaj hnub expansions ntawm Euclidean geometry, thiab twb kawg nkaus txim ntawm nws qhia txog, lub hom phiaj rau qhov kev tsim kho ntawm yuav luag tag nrho cov geometric tswv yim ntawm lub sij hawm. Txawm li ntawd los, Euclid lub postulation ntawm cov ntsiab lus yeej tsis yog tus twg ua tiav tsis tseem, raws li nws Qee zaus lam xav txog cov ntsiab lus uas tsis ua raws li ncaj qha los ntawm nws axioms, xws li lub yuav khoom ntawm cov ntsiab lus rau ntawm txoj kab los yog hais tsi ntsees rau cov ntsiab lus. Nyob rau hauv kev phem ntawm no, niaj hnub expansions ntawm lub system pab kom tshem tau cov no kwv yees.
Pont, úgy keretében az euklideszi geometria, az egyik legalapvetőbb tárgyakat. Euklidész eredetileg meghatározta a pontot ", ami nem része." A két-dimenziós euklideszi térben, egy pont képviseli egy rendezett pár (x, y) a számok, ahol az első szám képviseli a hagyományos vízszintes és gyakran jelöljük x, és a második szám képviseli a hagyományos függőleges és gyakran jelöljük az y. Ez az ötlet, hogy könnyen általánosítható három dimenziós euklideszi térben, ahol egy pont képviseli egy rendezett triplett (x, y, z) a további harmadik szám, ami gyakran a mélység és a Z-vel jelöljük. További általánosítások képviseli rendezett tuplet n szempontból (a1, a2, ..., an), ahol n a dimenziója a tér, ahol a pont található.
 
Sok konstrukciók keretében euklideszi geometria áll egy végtelen pontgyűjtés, amelyek megfelelnek bizonyos axiómák. Ez általában képviseli egy ponthalmaz; Példaként, egy vonal egy végtelen halmaza pontok formájában \ scriptstyle L = {\ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | + a_1c_1 a_2c_2 + ... a_nc_n = d \ rbrace}, ahol a C1-CN és állandók d és n értéke a dimenziója a teret. Hasonló konstrukció létezik, amelyek meghatározzák a gép, vonalszakaszt és egyéb kapcsolódó fogalmak.
 
Meghatározása mellett pontokat és konstrukciók kapcsolódó pontokat, Euklidész is feltételeztek a lényeg a pontokat, ő azt állította, hogy két pont csatlakoztatható egy egyenes vonal. Ez könnyen megerősítették modern bővítések az euklideszi geometria, és nem volt tartós következmények bevezetése, amely lehetővé teszi az építkezés szinte minden geometriai fogalmak az idő. Azonban az euklideszi feltételezése pontokon nem teljesek és nem végleges, ahogy néha feltételezett tényeket pontokat nem következik egyenesen az ő axiómák, mint például a megrendelés a pont a vonalon vagy a létező konkrét kérdésekről. Ennek ellenére, a modern bővítések a rendszer eltávolítását szolgálja ezeket a feltevéseket.
 
Stig, talið innan ramma Euclidean rúmfræði, eru einn af grundvallar hlutum. Euclid skilgreind upphaflega lið sem "það sem hefur enga hluti". In tvívíð Euclidean rúm, er að benda táknaður með pantana par (x, y) á tölum, þar sem fyrsti fjöldi venjulega táknar lárétt og er oft táknað með x, og seinni tala venjulega táknar lóðrétt og er oft táknað með y. Þessi hugmynd er auðvelt almennt að þrívíðu Euclidean rúm, þar sem lið er fulltrúi skipað triplet (x, y, z) með fleiri þriðju fjölda hönd dýpt og oft táknuð með z. Frekari alhæfingar eru táknuð með skipað tuplet af n skilmálum, (a1, a2, ..., an) þar sem n er vídd rúm sem lið er staðsett.
 
Margir býr innan Euclidean rúmfræði samanstanda af óendanlega söfnun stiga sem fylgja ákveðnum frumforsendur. Þetta er yfirleitt táknuð með a setja af stiga, Sem dæmi, línu er óendanlega sett af punktum formi \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \ rbrace}, þar c1 gegnum SAT og D eru fastar og n er vídd rúm. Svipaðar framkvæmdir eru að skilgreina flugvél, strik og önnur skyld hugtök.
 
Auk þess að skilgreina stig og býr tengjast stig, Euclid notast einnig lykillinn hugmynd um stig, hann hélt því fram að tveggja punkta er hægt að tengja með beinni línu. Þetta er auðveldlega staðfest samkvæmt nútíma expansions Euclidean rúmfræði, og hafði varanleg áhrif á inngangi þess, leyfa byggingu næstum öll geometrísk hugmyndir um tíma. Þó postulation Euclid er stiga var hvorki heill né endanlegt, eins og hann tók stundum staðreyndir um atriði sem ekki fylgja beint frá frumforsendur hans, svo sem röðun punkta á línu eða tilvist ákveðna punkta. Þrátt fyrir þetta, nútíma expansions kerfisins þjóna til að fjarlægja þessar forsendur.
Poin, dianggap dalam kerangka geometri Euclidean, adalah salah satu objek yang paling mendasar. Euclid awalnya didefinisikan sebagai titik "yang tidak memiliki bagian". Dalam ruang Euclidean dua dimensi, titik diwakili oleh pasangan (x, y) dari angka, dimana angka pertama konvensional merupakan horizontal dan sering dilambangkan dengan x, dan angka kedua konvensional merupakan vertikal dan sering dinotasikan dengan y. Gagasan ini mudah digeneralisasi untuk tiga ruang Euclidean dimensi, di mana titik diwakili oleh triplet memerintahkan (x, y, z) dengan nomor ketiga tambahan mewakili kedalaman dan sering dilambangkan dengan z. Generalisasi lebih lanjut diwakili oleh tuplet memerintahkan n istilah, (a1, a2, ..., an) dimana n adalah dimensi ruang di mana titik tersebut berada.
 
Banyak konstruksi dalam geometri Euclidean terdiri dari koleksi tak terbatas poin yang sesuai dengan aksioma tertentu. Hal ini biasanya diwakili oleh satu set poin; Sebagai contoh, garis adalah himpunan tak terhingga dari titik-titik berbentuk \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + + a_2c_2 ... a_nc_n = d \ rbrace}, di mana c1 sampai cn dan d adalah konstanta dan n adalah dimensi ruang. Konstruksi serupa ada yang mendefinisikan pesawat, segmen garis dan konsep terkait lainnya.
 
Selain mendefinisikan poin dan konstruksi yang berkaitan dengan poin, Euclid juga mendalilkan ide kunci tentang poin, ia mengklaim bahwa dua titik dapat dihubungkan dengan garis lurus. Hal ini mudah dikonfirmasi di bawah ekspansi modern geometri Euclidean, dan memiliki konsekuensi abadi dengan pengenalan teknologi, memungkinkan pembangunan hampir semua konsep geometri dari waktu. Namun, dalil Euclid poin adalah tidak lengkap dan tidak definitif, karena ia kadang-kadang diasumsikan fakta tentang poin yang tidak mengikuti langsung dari axioms, seperti Urutan titik pada garis atau adanya titik-titik tertentu. Meskipun demikian, ekspansi modern sistem berfungsi untuk menghilangkan anggapan tersebut.
Tá pointí, mheas laistigh de chreat an geoiméadracht Eoiclídeach, ar cheann de na rudaí is bunúsaí. Euclid atá sainmhínithe i dtosach ar an bpointe mar "go bhfuil aon pháirt". Sa spás Eoiclídeach dhá-thoiseach, tá pointe Domhanleithead ionadaíocht ag péire ordered (x, y) de uimhreacha, áit a seasann an chéad uimhir conventionally an gcothromán agus tá sé denoted go minic ag x, agus is ionann an dara líon conventionally an ingearach agus tá sé in iúl go minic faoi ​​y. Is é an smaoineamh ginearálta go héasca go dtí trí spás Eoiclídeach tríthoiseach, ina bhfuil pointe ionadaíocht a dhéanamh ar Triplet ordered (x, y, z) leis an tríú líon breise ionadaíonn doimhneacht agus is minic a shonrófar faoi z. Generalizations tuilleadh ionadaíocht ag tuplet ordaigh de n téarma, (a1, a2, ..., ina) inarb ionann n agus an ghné ar an spás ina bhfuil an bpointe suite.
 
Go leor constructs laistigh geoiméadracht Eoiclídeach comhdhéanta de bhailiúchán gan teorainn na bpointí sin i gcomhréir le axioms áirithe. Tá sé seo de ghnáth ionadaíocht ag sraith de phointí; Mar shampla, líne sraith gan teorainn na bpointí den fhoirm \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \ rbrace}, i gcás ina bhfuil c1 trí cn agus d tairisigh agus n an ghné ar an spás. Foirgníochtaí den chineál céanna ann a shainmhíníonn an eitleán, mírlíne agus coincheapa gaolmhara eile.
 
Chomh maith le pointí agus constructs a bhaineann le pointí a shainmhíniú, Euclid postulated freisin smaoineamh eochair faoi phointí; éiligh sé gur féidir aon dhá phointe a bheith ag baint le líne dhíreach. Deimhnítear seo leis go héasca faoi fairsingiú nua-aimseartha de mhúnla Eoiclídeach, agus bhí iarmhairtí buan ag a thabhairt isteach, ag ceadú an tógáil de beagnach gach na coincheapa geoiméadrach ar an am. Mar sin féin, bhí postulation Euclid ar na pointí nach iomláine ná cinntitheach, mar a ghlac sé ó am go chéile fíricí mar gheall ar phointí nach raibh a leanúint go díreach óna aicsiomaí, mar shampla an ordú na pointí ar an líne nó ina gcuirfidh marthain phointí sonracha. In ainneoin seo, fairsingiú nua-aimseartha ar an gcóras freastal a bhaint de na boinn tuisceana.
Punti, considerati nel quadro della geometria euclidea, sono uno degli oggetti più fondamentali. Euclide originariamente definito il punto come "ciò che non ha parte". Nello spazio euclideo bidimensionale, un punto è rappresentato da una coppia ordinata (x, y) di numeri, dove il primo numero rappresenta convenzionalmente l'orizzontale ed è spesso indicato con x, e il secondo numero rappresenta convenzionalmente il verticale ed è spesso denotato da y. Questa idea è facilmente generalizzato a tre dimensionale spazio euclideo, qualora un punto è rappresentato da una tripletta ordinata (x, y, z) con il terzo numero supplementare che rappresenta la profondità e spesso indicato con z. Ulteriori generalizzazioni sono rappresentati da un gruppo irregolare ordinata di n termini, (a1, a2, ..., an) dove n è la dimensione dello spazio in cui si trova il punto.
 
Molti costrutti all'interno della geometria euclidea sono costituiti da un insieme infinito di punti che sono conformi a determinati assiomi. Questo è di solito rappresentato da un insieme di punti, un esempio, una linea è un insieme infinito di punti della forma \ scriptstyle {L = \ lbrace (A_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 a_2c_2 + + ... a_nc_n = d \ rbrace}, dove C1-cn e D sono costanti ed n è la dimensione dello spazio. Esistono costruzioni simili che definiscono il piano, segmento di linea e altri concetti correlati.
 
Oltre a definire i punti e costrutti relativi a punti, anche Euclide postulava una idea chiave su punti; egli ha sostenuto che tutti i due punti possono essere collegati da una linea retta. Questo è facilmente accertati sotto espansioni moderne della geometria euclidea, e ha avuto conseguenze durature a sua introduzione, che consente la costruzione di quasi tutti i concetti geometrici del tempo. Tuttavia, postulato di Euclide di punti non era né completo né definitivo, come di tanto in tanto assume fatti su punti che non hanno seguito direttamente dai suoi assiomi, come l'ordinamento dei punti sulla linea o l'esistenza di punti specifici. Nonostante questo, espansioni moderne del sistema servono per rimuovere queste ipotesi.
ユークリッド幾何学の枠組みの中で考慮さの点では、最も基本的な目的の一つである。ユークリッドはもともと "どの部分を持たないこと"とポイントを定義しました。二次元のユークリッド空間では、ポイントは最初の数字は、従来の水平を表し、多くの場合、xで表され、第二数は、従来の垂直表し、しばしば示される数字の順序対（x、y）は、により表されるをyで。このアイデアは、点は、追加の第三の数は深さを表し、しばしばzで表さで順序付けトリプレット（x、y、z）で表され、三次元ユークリッド空間に容易に一般化される。さらなる一般化は、nタームの順序付けられた音符、（A1、A2、...、）nは、点が配置される空間の次元であるにより表される。
 
ユークリッド幾何内の多くの構成要素は、特定の公理に適合点の無限集合で構成されています。これは通常、点の集合で表現され、例として、行は、フォームの点の無限集合です\ scriptstyle {L = \ lbrace（A_1、A_2、... A_N）| a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = D \ rbrace}、CNおよびa〜dのc1は定数であり、nは空間の次元である。同様の構造は平面、線分と他の関連する概念を定義することを存在しています。
 
ポイントとポイントに関連する構造体を定義することに加えて、ユークリッドもポイントに関する重要なアイデアを仮定し、彼は、任意の2つの点を直線で接続することが可能と主張した。これは簡単にユークリッド幾何学の現代的な展開の下で確認され、時間のほとんどすべての幾何学的な概念の構築を可能にし、その導入に長続きする結果をもたらしている。彼は時折そのようなライン上のポイントまたは特定のポイントの存在順序として彼の公理から直接従わなかった点についての事実を仮定しかし、点のユークリッドの仮定では、どちらも完全でも決定的だった。これにもかかわらず、システムの近代的な展開は、これらの仮定を除去するのに役立つ。
Poin, dianggep ing framework saka Euclidean geometry, iku siji saka obyek sing paling dhasar. Euclid Originally ditetepake titik minangka "kang wis ora bagean". Ing loro-dimensi Euclidean spasi, titik dituduhake dening Pasangan dhawuh (x, y) nomer, endi nomer kawitan conventionally nggantosi ing horisontal lan asring tetenger dening x, lan nomer liyane conventionally nggantosi sing vertikal lan kerep tetenger dening y. Iki idea gampang sacoro umum kanggo telung dimensi Euclidean papan, ngendi titik dituduhake dening Triplet dhawuh (x, y, z) karo tambahan pihak nomer makili ambane lan asring tetenger dening z. Luwih generalizations sing dituduhake dening tuplet dhawuh saka n istilah, (A1, A2, ..., lan) ing ngendi n punika ukuran saka papan kang dumunung ing titik.
 
Akeh mbangun ing Euclidean geometry kalebu sing koleksi tanpa winates ing nilai sing salaras kanggo tartamtu axioms. Iki biasane dituduhake karo pesawat saka nilai; Minangka conto, baris minangka pesawat tanpa winates saka nilai kang awujud \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 a_2c_2 + + ... a_nc_n = d \ rbrace}, ngendi C1 liwat CN lan d sing ajeg lan n iku ukuran kang spasi. Komstruksi kaya ana sing netepake ing bidang, baris babagan lan liyane sing gegandhengan konsep.
 
Saliyane sing wis mesthi nilai lan mbangun sing duwé pranala menyang nilai, Euclid uga Téori a idea tombol babagan nilai; piyambakipun nyariosaken sembarang sing nilai loro bisa kasambung dening baris dalanmu. Iki gampang dikonfirmasi ing modern expansions saka Euclidean geometry, lan wis tahan jalaran ing sawijining introduksi, saéngga construction of meh kabeh geometris konsep saka wektu. Nanging, kang Euclid postulation saka nilai ana sanadyan lengkap utawa mesthi, minangka kang sok-sok wiwit kanyatan bab nilai sing durung tindakake langsung saka kang axioms, kayata nindakake saka nilai ing baris utawa orane tartamtu nilai. Ing éwadéné iki, modern expansions sistem ngawula kanggo mbusak pemanggih iki.
ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಪಾಯಿಂಟುಗಳು, ಮೂಲಭೂತ ವಸ್ತುಗಳ ಒಂದು. ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಮೂಲತಃ "ಯಾವುದೇ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆ" ಎಂದು ಬಿಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡು ವಿಮಿತೀಯ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ನಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಸಮತಲ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ X ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಲಂಬ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಇದೆ ಅಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಆದೇಶ ಜೋಡಿ (X, Y), ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ವೈ ಮೂಲಕ. ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮೂರನೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಳ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ z ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಂದು ಆದೇಶ ತ್ರಿವಳಿ (X, Y, Z) ಮೂಲಕ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಇದೆ ಅಲ್ಲಿ ಮೂರು ವಿಮಿತೀಯ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್, ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕರಣಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ N ಪದಗಳ ಒಂದು ಆದೇಶ tuplet, (A1, A2, ..., ಒಂದು) N ಪಾಯಿಂಟ್ ಇದೆ ಇದರಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.
 
ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಒಳಗೆ ಅನೇಕ ರಚನೆಗಳು ಕೆಲವು ಸೂತ್ರಗಳು ಅನುರೂಪವಾದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಗ್ರಹದಿಂದ ಕೂಡಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಲೈನ್ ರೂಪ ಬಿಂದುಗಳ ಅನಂತ ಸೆಟ್ \ scriptstyle {ಲೀ = \ lbrace (a_1, a_2 ... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = D \ rbrace}, CN ಮತ್ತು D ಮೂಲಕ C1 ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು N ಜಾಗವನ್ನು ಆಯಾಮ ಅಲ್ಲಿ. ಇದೇ ರಚನೆಗಳು ವಿಮಾನ, ರೇಖೆಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಸಂಬಂಧಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ.
 
ಅಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಂಯೋಜನಗಳು ವಿವರಿಸುವ ಜೊತೆಗೆ, ಕೂಡ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಕಲ್ಪನೆ ಮಂಡಿಸಿದನು; ಅವರು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆ ಜೋಡಿಸಬೇಕು ಎಂದು. ಈ ಸುಲಭವಾಗಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಆಧುನಿಕ ವಿಸ್ತರಣೆ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ದೃಢಪಡಿಸಿತು, ಮತ್ತು ಸಮಯ ಹೆಚ್ಚುಕಡಿಮೆ ಎಲ್ಲಾ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ Construction ಅವಕಾಶ, ಇದರ ಪರಿಚಯ ನಲ್ಲಿ ಶಾಶ್ವತ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರಿತ್ತು. ಅವರು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇಂತಹ ಲೈನ್ ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಮೇಲೆ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಅನಧೀಕೃತವಾಗಿ ತನ್ನ ಸೂತ್ರಗಳು, ನೇರವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಬಗ್ಗೆ ಸತ್ಯ ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬಿಂದುಗಳ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಆಧಾರದ ಪ್ರತಿಜ್ಞೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಥವಾ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಲ್ಲ. ಈ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಧುನಿಕ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಈ ಊಹೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಸೇವೆ.
ពិន្ទុ​ចាត់​ទុក​ថា​នៅ​ក្នុង​ក្របខណ្ឌ​នៃ​ការ​ធរណីមាត្រ Euclidean នោះ​គឺ​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​វត្ថុ​ដែល​ជា​មូលដ្ឋាន​ច្រើន​ជាងគេ​បំផុត​។ Euclid ដើម​ដំបូង​ដែល​បាន​កំណត់​ចំណុច​ដូច​ជា "ដែល​ជា​ផ្នែក​មួយ​ដែល​មាន​ឡើយ​" ។ ក្នុង​ចន្លោះ Euclidean ពីរ​វិមាត្រ​, ចំណុច​មួយ​ដែល​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ដោយ​បញ្ជា​ឱ្យ​គូ​មួយ (x​, y​) នៃ​លេខ​ដែល​ជា​កន្លែង​ដែល​មាន​ចំនួន​ដំបូង conventionally តំណាង​ឱ្យ​ផ្តេក​ហើយ​ត្រូវ​បាន​តាង​ជា​ញឹកញាប់​ដោយ X​, និង​ចំនួន​ទីពីរ conventionally តំណាង​ឱ្យ​បញ្ឈរ​ហើយ​ត្រូវ​បាន​តាង​ជា​ញឹកញាប់ ដោយ Y ។ គំនិត​នេះ​គឺ​ជា​ទូទៅ​បាន​យ៉ាង​ងាយ​ស្រួល​ទៅ​បី​ចន្លោះ Euclidean វិមាត្រ​, ដែល​ជា​កន្លែង​ដែល​ជា​ចំណុច​មួយ​ដែល​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ដោយ triplet បាន​បញ្ជា​អោយ​មួយ (x Y​, Z​) ដែល​មាន​ចំនួន​ទី​បី​បន្ថែម​ទៀត​ដែល​តំណាង​ឱ្យ​ជម្រៅ​និង​តាង​ជា​ញឹកញាប់​ដោយ Z ។ ទូទៅ​លើស​ពី​នេះ​ទៀត​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ដោយ tuplet បាន​បញ្ជា​អោយ​មួយ​នៃ​ពាក្យ N​, (A1​, A2​, ... , មួយ​) ដែល​ជា​កន្លែង​ដែល n គឺ​ជា​វិមាត្រ​នៃ​ទំហំ​នៅ​ក្នុង​ចំណុច​ដែល​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ទីតាំង​នេះ​។
 
សំណង់​ជា​ច្រើន​នៅ​ក្នុង​ធរណីមាត្រ Euclidean រួមមាន​ការ​ប្រមូល​គោ​មួយ​នៃ​ពិន្ទុ​ដែល​បាន​ត្រាប់​តាម axioms ជាក់លាក់​។ នេះ​ជា​ធម្មតា​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ដោយ​សំណុំ​នៃ​ការ​ទទួល​មួយ​ពិន្ទុ​; ក្នុងនាម​ជា​ឧ​ទា​ហរ​ណ៏​មួយ​បន្ទាត់​មួយ​គឺ​ជា​សំណុំ​នៃ​ការ​គ្មាន​កំណត់​ពិន្ទុ​នៃ​សំណុំ​បែបបទ \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1​, a_2​, ... , a_n​) | a_1c_1 + + + + a_2c_2 ... a_nc_n = d ការ \ rbrace​}​, ដែល​ជា​កន្លែង​ដែល C1 តាមរយៈ cn និង d គឺ​ជា​អថេរ​និង n ជា​វិមាត្រ​នៃ​ទំហំ​នេះ​។ សាងសង់​ស្រដៀង​គ្នា​នេះ​ដែរ​មាន​កំណត់​ថា​យន្ត​ហោះ​នោះ​ចម្រៀក​បន្ទាត់​និង​គោលគំនិត​ទាក់ទង​ផ្សេង​ទៀត​។
 
លើស​ពី​នេះ​ទៀត​ដើម្បី​កំណត់​ពិន្ទុ​និង​សំណង់​ដែល​ទាក់ទង​ទៅ​នឹង​ចំណុច Euclid postulated ក៏​ជា​គំនិត​គន្លឹះ​សំខាន់​អំពី​ការ​ទទួល​បាន​ពិន្ទុ​; លោក​បាន​អះ​អាង​ថា​រាល់​ចំណុច​ពីរ​អាច​ត្រូវ​បាន​តភ្ជាប់​ដោយ​បន្ទាត់​ត្រង់​មួយ​។ នេះ​ត្រូវ​បាន​បញ្ជាក់​យ៉ាង​ងាយ​ស្រួល​នៅ​ក្រោម​ការពង្រីក​វិសាលភាព​នៃ​ការ​សម័យ​ទំនើប​ធរណីមាត្រ Euclidean និង​មាន​ផល​វិប​​ាក​ចុង​ក្រោយ​នៅ​វេលា​សេចក្ដី​ណែនាំ​របស់​ខ្លួន​ដែល​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​សាង​សង់​ស្ទើរ​តែ​ទាំងអស់​នៃ​គំនិត​ធរណីមាត្រ​នៃ​ពេល​វេលា​នោះ​ទេ​។ ទោះ​ជា​យ៉ាង​ណា postulation Euclid របស់​ពិន្ទុ​គឺ​មិន​ពេញលេញ​ហើយក៏​មិន​ច្បាស់លាស់​ដូច​ដែល​គាត់​បាន​ម្តងម្កាល​ស​ន្ម​ត់​អំពី​អង្គហេតុ​ពិន្ទុ​ថា​មិន​ធ្វើតាម​ដោយ​ផ្ទាល់​ពី axioms ដូច​ជា​លំដាប់​ពិន្ទុ​នៅ​លើ​បន្ទាត់​ឬ​អត្ថិភាព​នៃ​ពិន្ទុ​ជាក់លាក់​នោះ​របស់​គាត់​។ ះ​បី​ជា​នេះ​ការពង្រីក​វិសាលភាព​សម័យ​ទំនើប​នៃ​ប្រព័ន្ធ​បម្រើ​ដើម្បី​យក​ចេញ​ស​ន្ម​ត់​ទាំងនេះ​។
유클리드 기하학의 틀 안에서 고려 점은, 가장 기본적인 개체 중 하나입니다. 유클리드는 원래 "어떤 부분이없는 것을"으로 점을 정의했다. 두 개의 차원 유클리드 공간에, 포인트는 첫 번째 숫자는 종래의 수평을 나타내며 종종 X로 표시되고, 두 번째 숫자는 종래 나타내는 수직 자주 표시된다 숫자의 정렬 된 쌍 (x, y)로 표현된다 Y 있습니다. 이 아이디어는 포인트가 추가로 세 번째 숫자는 깊이를 나타내는 종종 Z로 표시와 함께 주문 인승 (X, Y, Z)로 표시되는 세 가지 차원 유클리드 공간에 쉽게 일반화이다. 또한 일반화는 N 용어의 주문 tuplet (A1, A2, ...,) n은 포인트가있는 공간의 차원입니다로 표시됩니다.
 
유클리드 기하학에서 많은 구조는 특정 공리에 부합 포인트 무한 콜렉션으로 구성되어 있습니다. 이것은 일반적으로 일련의 점으로 표현됩니다 예를 들어, 선 형태의 점의 무한 집합입니다 \ scriptstyle {L = \ LBRACE (A_1, A_2 ... A_N) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = D \ RBRACE}, CN와 D를 통해 C1 상수이며, n은 공간의 차원이다. 비슷한 구조물 평면, 선분 및 기타 관련 개념을 정의하는 존재한다.
 
포인트 및 포인트 관련 구조를 정의하는 것 외에도, 유클리드는 점에 대한 중요한 아이디어를 가정, 그는 임의의 두 점을 직선으로 연결 할 수 있다고 주장했다. 이것은 쉽게 유클리드 기하학의 현대적인 확장에 따라 확인, 시간의 거의 모든 기하학적 개념의 건설을 허용, 도입에 지속적인 영향을 가지고있다. 그는 가끔 같은 라인이나 특정 지점의 존재의 점의 순서로 그의 공리에서 직접 수행하지 않은 점에 대한 사실을 상정 그러나 점 유클리드의 백반는 완전도 결정적인도했다. 그럼에도 불구하고, 시스템의 현대적인 확장은 이러한 가정을 제거하는 역할을한다.
ຈຸດ​ພິ​ຈາ​ລະ​ນາ​ພາຍ​ໃນ​ຂອບ​ຂອງ​ການ​ເລ​ຂາ​ຄະ​ນິດ Euclidean ໄດ້​, ແມ່ນ​ຫນຶ່ງ​ໃນ​ວັດ​ຖຸ​ປະ​ກອບ​ພື້ນ​ຖານ​ທີ່​ສຸດ​. Euclid ດັ້ງ​ເດີມ​ທີ່​ກໍາ​ນົດ​ຈຸດ​ທີ່​ເປັນ "ສິ່ງ​ທີ່​ມີ​ສ່ວນ​ຫນຶ່ງ​ທີ່​ບໍ່​ມີ​"​. ໃນ​ຊ່ອງ Euclidean ສອງ​ມິ​ຕິ​ລະ​ດັບ​, ຈຸດ​ແມ່ນ​ເປັນ​ຕົວ​ແທນ​ໃຫ້​ໂດຍ​ຄູ່​ເປັນ​ຄໍາ​ສັ່ງ (x​, y​) ຂອງ​ຈ​ໍ​າ​ນວນ​, ບ່ອນ​ທີ່​ຈໍາ​ນວນ​ຄັ້ງ​ທໍາ​ອິດ conventionally ສະ​​​ແດງ​ອອກ​ຕາມ​ລວງ​ນອນ​ແລະ​ມັກ​ຈະ denoted ໂດຍ x​, ແລະ​ຈ​ໍ​າ​ນວນ​ທີ​ສອງ​ເປັນ​ຕົວ​ແທນ conventionally ຕັ້ງ​ແລະ denoted ມັກ ໂດຍ y​. ຄວາມ​ຄິດ​ນີ້​ແມ່ນ​ໄດ້​ຢ່າງ​ງ່າຍ​ດາຍ​ທົ່ວ​ໄປ​ຊ່ອງ​ສາມ​ມິ​ຕິ​ລະ​ດັບ Euclidean​, ບ່ອນ​ທີ່​ຈຸດ​ແມ່ນ​ເປັນ​ຕົວ​ແທນ​ໂດຍ triplet ສັ່ງ​ການ (x​, y​, Z​) ທີ່​ມີ​ຈ​ໍ​າ​ນວນ​ສາມ​ຕົວ​ແທນ​ເພີ່ມ​ເຕີມ​ຄວາມ​ເລິກ​ແລະ denoted ມັກ​ໂດຍ​ຂ້ອງ​ໂດຍ​ທາງ​ອ້ອມ​. ໂດຍ​ທົ່ວ​ໄປ​ນອກ​ຈາກ​ນັ້ນ​ແມ່ນ​ເປັນ​ຕົວ​ແທນ​ໂດຍ tuplet ຄໍາ​ສັ່ງ​ຂອງ​ເງື່ອນ​ໄຂ n​, (A1​, A2​, ... , ເປັນ​) ທີ່ n ແມ່ນ​ຂະ​ຫນາດ​ຂອງ​ຊ່ອງ​ໃນ​ຈຸດ​ທີ່​ຕັ້ງ​ຢູ່​ໄດ້​.
 
ການ​ກໍ່​ສ້າງ​ຫຼາຍ​ຄົນ​ພາຍ​ໃນ​ເລ​ຂາ​ຄະ​ນິດ​ປະ​ກອບ​ດ້ວຍ Euclidean ຂອງ​ການ​ເກັບ​ກໍາ​ເປັນ​ນິດ​ຂອງ​ຈຸດ​ທີ່​ສອດ​ຄ່ອງ​ກັບ axioms ສະ​ເພາະ​ໃດ​ຫນຶ່ງ​. ນີ້​ແມ່ນ​ເປັນ​ຕົວ​ແທນ​ໃຫ້​ຕາມ​ປົກ​ກະ​ຕິ​ໂດຍ​ທີ່​ກໍາ​ນົດ​ໄວ້​ຂອງ​ຈຸດ​ໃດ​ຫນຶ່ງ​; ໃນ​ຖາ​ນະ​ເປັນ​ຕົວ​ຢ່າງ​, ເປັນ​ເສັ້ນ​ເປັນ​ທີ່​ກໍາ​ນົດ​ໄວ້​ເປັນ​ນິດ​ຂອງ​ຈຸດ​ຂອງ​ແບບ​ຟອມ \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1​, a_2​, ... a_n​) | a_1c_1 + + a_2c_2 ... a_nc_n = d \ rbrace​}​, ບ່ອນ​ທີ່ C1 ຜ່ານ cn ແລະ d ແມ່ນ​ຄົງ​ທີ່​ແລະ n ແມ່ນ​ຂະ​ຫນາດ​ຂອງ​ຊ່ອງ​ດັ່ງ​ກ່າວ​. ການ​ກໍ່​ສ້າງ​ທີ່​ຄ້າຍ​ຄື​ກັນ​ວ່າ​ມີ​ກໍາ​ນົດ​ຍົນ​ຂອງ​, ຕອນ​ເສັ້ນ​ແນວ​ຄວາມ​ຄິດ​ແລະ​ອື່ນໆ​ທີ່​ກ່ຽວ​ຂ້ອງ​.
 
ນອກ​ຈາກ​ກໍາ​ນົດ​ຈຸດ​ແລະ​ກໍ່​ສ້າງ​ກ່ຽວ​ຂ້ອງ​ກັບ​ຈຸດ​, Euclid postulated ຍັງ​ເປັນ​ຄວາມ​ຄິດ​ທີ່​ສໍາ​ຄັນ​ກ່ຽວ​ກັບ​ຈຸດ​; ລາວ​ອ້າງ​ວ່າ​ໄດ້​ມີ​ສອງ​ຈຸດ​ສາ​ມາດ​ເຊື່ອມ​ຕໍ່​ໂດຍ​ເສັ້ນ​ຊື່​ໄດ້​. ນີ້​ແມ່ນ​ການ​ຢືນ​ຢັນ​ໄດ້​ຢ່າງ​ງ່າຍ​ດາຍ​ພາຍ​ໃຕ້​ການ​ຂະ​ຫຍາຍ​ຕົວ​ທີ່​ທັນ​ສະ​ໄຫມ​ຂອງ​ເລ​ຂາ​ຄະ​ນິດ Euclidean​, ແລະ​ມີ​ຜົນ​ສະ​ທ້ອນ​ຊໍາ​ເຮື້ອ​ໃນ​ການ​ນໍາ​ຂອງ​ຕົນ​, ໃຫ້​ການ​ກໍ່​ສ້າງ​ເກືອບ​ທັງ​ຫມົດ geometric ແນວ​ຄວາມ​ຄິດ​ຂອງ​ການ​ທີ່​ໃຊ້​ເວ​ລາ​ໄດ້​. ຢ່າງ​ໃດ​ກໍ​ຕາມ​, postulation Euclid ຂອງ​ຈຸດ​ນີ້​ແມ່ນ​ບໍ່​ຄົບ​ຖ້ວນ​ສົມ​ບູນ​ຫຼື​ແນ່​ນອນ​, ເປັນ​ລາວ​ບາງ​ຄັ້ງ​ກໍ​ຄາດ​ວ່າ​ຂໍ້​ເທັດ​ຈິງ​ກ່ຽວ​ກັບ​ຈຸດ​ທີ່​ບໍ່​ໄດ້​ປະ​ຕິ​ບັດ​ຕາມ​ໄດ້​ໂດຍ​ກົງ​ຈາກ axioms​, ເຊັ່ນ​: ຄໍາ​ສັ່ງ​ຂອງ​ຈຸດ​ເສັ້ນ​ຫຼື​ທີ່​ມີ​ຢູ່​ແລ້ວ​ຂອງ​ຈຸດ​ສະ​ເພາະ​ຂອງ​ຕົນ​. ເຖິງ​ວ່າ​ຈະ​ມີ​ຢູ່​ໃນ​ນີ້​, ການ​ຂະ​ຫຍາຍ​ຕົວ​ທີ່​ທັນ​ສະ​ໄຫມ​ຂອງ​ລະ​ບົບ​ການ​ໃຫ້​ບໍ​ລິ​ການ​ເອົາ​ສົມ​ມຸດ​ຕິ​ຖານ​ເຫຼົ່າ​ນີ້​.
Circa Geometriam Eucli pro contextu, quae sunt maxime fundamentalis. I punctum primitus definienda sunt ut «hoc quod non habet partem". Euclidaeam duo-dimensiva spatium puncti repraesentatur a iussit par (x, y) numeris, numerus primus ubi ad placitum significat horizontali et saepe figuratur per x et secundus numerus ad placitum significat verticalis saepe figuratur per y. Hoc idea est facile ad tres dimensiva generativus Euclidaeum spatium puncti ubi repraesentatur a iussit trigemini (x, y, z) insuper et saepe figuratur per altitudinem z exprimentis numero tertio. Praeterea repraesentabatur per generalia sunt ordinatae tuplet n terminorum (A1, A2, ..., an), ubi n est dimensionem spatii, in quo sita est.
 
Construit multa in Geometria Euclidaea consistere punctorum infinitorum collectionem quorundam axiomatum conuenientium. Solet haec repraesentabantur per punctorum congerie, ut exemplum, statuto de punctis et linea est infinita forma \ scriptstyle L = {\ lbrace (a_1, a_2, a_n ...) | a_1c_1 a_2c_2 + ... + a_nc_n = d \ rbrace} ubi C1 per Cn et d et n sunt constantes dimensionem spatii. Simile est quod constructionum definire planum lineae et related conceptus segmentum.
 
Praeter construere et definiendis, quae ad punctis I et posuit ideam de key puncta ponebat duo puncta quaecunque potest esse adiunctum per lineam rectam. Quod facile confirmari moderni sub diductiones de Geometria Euclidaea, et ad eius diuturnas introductionem, præbens omnibus fere constructione Geometrica conceptus de tempore. Sed nec omnia quae postulatione aut Euclidis definitio quae de re cum illo assumpta non numquam eius sequi dignitates, vel ut esse puncta lineae ordine articulos. Nec tamen haec ratio inserviunt diductiones removere velit sumpserit.
Punkti, uzskata ietvaros Eiklīda ģeometrija, ir viens no būtiskākajiem objektiem. Euclid sākotnēji definēja punkts, kā "tas, kas nav daļa". In divdimensiju Eiklida telpu, apstāklis ​​ir sakārtotā pāra (x, y) skaita, kur pirmais numurs tradicionāli pārstāv horizontālā un tiek bieži apzīmē ar X, un otrais numurs parasti ir vertikālā un tiek bieži apzīmē ar y. Šī ideja ir viegli vispārināt uz trīsdimensiju Eiklīda telpā, kur punktu pārstāv sakārtotā tripleta (x, y, z) ar papildu trešo numuru pārstāv dziļumu un bieži vien apzīmē ar z. Turklāt generalizations pārstāv sakārtotā tuplet no n izteiksmē, (a1, a2, ..., An), kur n ir dimensija telpā, kurā punkts atrodas.
 
Daudzi konstrukcijas iekšienē Eiklīda ģeometrija veido bezgalīgu vākšanas punktiem, kas atbilst noteiktām aksiomām. To parasti pārstāv kopumu punktiem; Piemēram, līnija ir bezgalīga kopa punktiem veidlapas \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \ rbrace}, kur c1 ar KN un d ir konstantes, un n ir dimensija telpā. Līdzīgas konstrukcijas pastāv, kas definē plaknē, līnijas segments un citas saistītās koncepcijas.
 
Papildus nosakot punktus un konstrukcijas, kas saistīti ar jautājumiem, Euclid arī postulēja galveno ideju par punktiem, viņš apgalvoja, ka jebkādi divus punktus var savienot ar taisnu līniju. Tas ir viegli apstiprināts ar mūsdienu izvērsumi Eiklīda ģeometrija, un bija paliekošas sekas pie tā ieviešanas, dodot iespēju izveidot gandrīz visu ģeometrisko jēdzieniem laiku. Tomēr Eiklida ģeometrija postulation punktu nebija ne pilnīgs, ne galīgi, jo viņš reizēm pieņemts faktus par punktiem, kas nav tieši izriet no viņa aksiomām, piemēram, pasūtot preci punktu uz līnijas vai konkrētiem jautājumiem esamību. Neskatoties uz to, mūsdienu izvērsumi sistēmas kalpo, lai novērstu šos pieņēmumus.
Taškai, svarstomoms pagal Euklido geometrija sistemą, yra vienas iš svarbiausių objektų. Euklidas iš pradžių apibrėžė tašką "tas, kuris neturi dalį". Be dvimatis Euklido erdvėje, taškas yra atstovaujama tvarkinga pora (x, y) numerius, kur pirmas skaičius tradiciškai sudaro horizontalus ir dažnai žymimas x, o antras skaičius tradiciškai reiškia vertikali ir dažnai žymimas Y. Ši idėja yra lengvai apibendrinti trijų dimensijų Euklido erdvėje, kurioje temperatūra yra atstovaujama tvarkinga tripletas (x, y, z) su papildoma trečiosios skaičius, reiškiantis gylį ir dažnai žymimas z. Daugiau apibendrinimai atstovaujamos tvarkinga tuplet iš n sąlygose (A1, A2, ...,), kur n yra skyriuje, kuriame taškas yra dimensija.
 
Daugelis konstruktai kaip Euklido geometrija susideda iš begalinės kolekcijos taškų, atitinkančių tam tikrų aksiomų. Tai paprastai atstovauja kiekis rinkinį; Pavyzdžiui, linija yra begalinis rinkinys punktų forma \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2 ... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = D \ rbrace}, kur C1-cn ir D yra konstantos ir n yra Dimensija erdvės. Panašios konstrukcijos egzistuoja, kad nustatyti plokštumą, atkarpa, ir kitų susijusių sąvokų.
 
Be to, nustatant taškų ir konstruoja, susijusius su taškų, Euklidas pat postuluojama pagrindinį vaizdą apie kiekis, jis teigė, kad bet kokie du taškai gali būti sujungiami tiesia linija. Tai lengvai patvirtina pagal šiuolaikinių ekspansijos Euklido geometrija ir turėjo ilgalaikį poveikį visos jos įvedimo, todėl beveik visų geometrinių koncepcijų metu statybos. Tačiau Euklido postulavimas kiekis nebuvo nei išsami, nei galutinis, nes jis kartais manoma faktų apie taškus, nesivadovavo tiesiogiai iš savo aksiomomis, kaip antai taškų linijos arba konkrečių centrų buvimas užsakymų. Nepaisant to, šiuolaikinės ekspansijos sistema padeda pašalinti šias prielaidas.
Поени, сметаат во рамките на Евклидовата геометрија, се една од најпознатите основните објекти. Евклид првично дефинирано точка како "она што нема дел". Во две-димензионални Евклидовата простор, точка е претставена со наредил пар (x, y) на броеви, каде што првиот број конвенционално претставува хоризонтална и често се означува со x, и вториот број конвенционално претставува вертикален и често се означува од страна на г. Оваа идеја е лесно генерализира на три димензионални Евклидовата простор, каде што е претставена една точка од нареди триплет (x, y, z) со дополнителните третиот број претставуваат длабочина и често означена со ●. Понатаму генерализации се претставени од страна на нареди tuplet на n услови, (А1, А2, ..., е), каде n е димензија на просторот во кој се наоѓа на точка.
 
Многу конструкции во рамките на Евклидовата геометрија се состои од бесконечен колекција на точки кои се во согласност со одредени аксиоми. Ова е обично претставена со збир на поени; Како пример, една линија е бесконечен збир на поени од формата \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \ rbrace}, каде што C1 преку ДоН и г се константи и n е димензија на просторот. Слични конструкции постојат, кои го дефинираат рамнина, отсечка и други поврзани концепти.
 
Во прилог на дефинирање поени и конструкции поврзани со точки, Евклид, исто така, претпоставува клучна идеја за поени, тој тврдеше дека било кои две точки може да се поврзе со права линија. Ова е лесно да потврди под модерна проширувања на Евклидовата геометрија, и имаше трајни последици на неговото воведување, дозволувајќи им на изградбата на речиси сите геометриски поими од времето. Сепак, претпоставка Евклид на поени беше ниту комплетен, ниту дефинитивен, како што тој повремено претпоставува факти за точки кои не го следат директно од неговиот аксиоми, како што се средување на точки на линија или постоење на одредени точки. И покрај ова, модерен проширувања на системот служат за да ги отстраните овие претпоставки.
Mata, dianggap dalam rangka geometri Euclid, adalah salah satu objek yang paling asas. Euclid asalnya ditakrifkan sebagai titik "yang tidak mempunyai bahagian". Dalam ruang Euclid dua dimensi, satu titik yang diwakili oleh pasangan bertertib (x, y) nombor, di mana nombor pertama konvensional mewakili mendatar dan sering diwakili oleh x, dan nombor kedua konvensional mewakili menegak dan sering ditandakan oleh y. Idea ini adalah mudah umum kepada tiga ruang Euklidan dimensi, di mana titik diwakili oleh triplet diperintahkan (x, y, z) dengan nombor ketiga tambahan mewakili mendalam dan sering diwakili oleh z. Umum lagi diwakili oleh tuplet mengarahkan n terma, (a1, a2, ..., an) di mana n adalah dimensi ruang di mana titik itu terletak.
 
Ramai membina dalam geometri Euclid terdiri daripada koleksi terhingga mata yang mematuhi aksiom tertentu. Ini biasanya diwakili oleh satu set mata; Sebagai contoh, talian adalah satu set terhingga titik bentuk \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2 ... a_n) | a_1c_1 a_2c_2 + + ... a_nc_n = d \ rbrace}, di mana c1 melalui cn dan d adalah pemalar dan n adalah dimensi ruang. Pembinaan yang sama wujud yang menentukan pesawat, segmen talian dan konsep lain yang berkaitan.
 
Di samping itu untuk menentukan mata dan membina yang berkaitan dengan mata, Euclid juga mengandaikan idea utama tentang mata, dia mendakwa bahawa mana-mana dua mata boleh dihubungkan oleh garis lurus. Ini adalah mudah yang disahkan di bawah pengembangan moden geometri Euclid, dan mempunyai kesan yang berpanjangan di diperkenalkan, membenarkan pembinaan hampir semua konsep-konsep geometri masa. Walau bagaimanapun, dalil Euclid mata adalah tidak lengkap dan tidak pasti, kerana dia kadang-kadang diandaikan fakta-fakta tentang perkara yang tidak mengikuti secara langsung dari aksiom beliau, seperti dalam penyusunan mata pada garis atau kewujudan mata tertentu. Walaupun begitu, pengembangan moden sistem berkhidmat untuk membuang andaian ini.
Punti, kunsidrati li jaqgħu fil-qafas ta 'ġeometrija Euclidean, huma wieħed mill-oġġetti l-aktar fundamentali. Ewklide oriġinarjament definit il-punt bħala "dik li għandha l-ebda parti". Fl-ispazju Euclidean żewġ dimensjonijiet, punt huwa rrappreżentat minn par ordnat (x, y) ta 'numri, fejn l-ewwel in-numru jirrappreżenta konvenzjonalment-orizzontali u huwa spiss murija bil x, u t-tieni numru jirrappreżenta konvenzjonalment-vertikali u ħafna drabi hija murija minn y. Din l-idea hija faċilment ġeneralizzata għal tlett ispazju Euclidean dimensjonali, fejn punt huwa rrappreżentat minn triplet ordnat (x, y, z) bin-numru tielet addizzjonali li jirrapreżenta fond u spiss murija bil z. Aktar ġeneralizzazzjonijiet huma rappreżentati minn tuplet ordnat ta 'termini n, (a1, a2, ..., an) fejn n hija d-dimensjoni ta' l-ispazju li fih il-punt tinsab.
 
Ħafna constructs fi ħdan ġeometrija Euclidean jikkonsistu ġbir infinita ta 'punti li jikkonformaw ma' ċerti axioms. Dan normalment huwa rappreżentat minn sett ta 'punti; Bħala eżempju, linja huwa sett infinita ta' punti tal-formola \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + + a_2c_2 ... a_nc_n = d \ rbrace}, fejn c1 permezz cn u d huma kostanti u n hija d-dimensjoni ta 'l-ispazju. Kostruzzjonijiet simili jeżistu li jiddefinixxu l-pjan, segment linja u kunċetti oħra relatati.
 
Barra d-definizzjoni punti u formazzjonijiet relatati mal-punti, Ewklide wkoll postulat idea prinċipali dwar punti; huwa sostna li kwalunkwe żewġ punti jistgħu jiġu konnessi permezz ta 'linja dritta. Dan huwa faċilment kkonfermat taħt espansjonijiet moderni ta 'ġeometrija Euclidean, u kellha konsegwenzi dejjiema fil-introduzzjoni tagħha, li jippermetti l-bini ta' kważi l-kunċetti ġeometriċi tal-ħin. Madankollu, Ewklide postulation ta 'punti la kienet kompluta u lanqas definittiva, kif hu kultant preżunt fatti dwar punti li ma kinux isegwu direttament mill axioms tiegħu, bħall-ordni ta' punti fil-linja jew l-eżistenza ta 'punti speċifiċi. Minkejja dan, espansjonijiet moderni tas-sistema jservu biex jitneħħew dawn is-suppożizzjonijiet.
Euclidean भूमिती च्या फ्रेमवर्क आत मानले पॉइंट्स,, सर्वात मूलभूत वस्तूंची एक आहेत. युक्लीड मूलतः "कोणताही भाग आहे की" म्हणून बिंदू व्याख्या. द्विमितीय Euclidean जागेत, एक बिंदू प्रथम क्रमांक परंपरेनं आडव्या प्रतिनिधित्व करतो आणि अनेकदा X द्वारे घोषीत केले जाते, आणि दुसरी संख्या परंपरेनं प्रतिनिधित्व उभ्या आणि अनेकदा घोषीत केले जाते जेथे क्रमांक एक आदेश जोडी (X, Y) सादर केला जातो युसुफ द्वारे. ही कल्पना एक बिंदू अतिरिक्त तिसरा क्रमांक खोली प्रतिनिधीत्व आणि अनेकदा z वरील द्वारे घोषीत एक आदेश तिघांचा गट (X, Y, Z) सादर केला जातो जेथे तीन विस्तारासंबंधी Euclidean जागा, सहज सामान्य आहे. पुढील generalizations n अटी एक आदेश tuplet, (A1, A2 ..., एक) n या बिंदू मध्ये आहे जागा आकारमान जेथे द्वारे प्रस्तुत केले जातात.
 
Euclidean भूमिती आत अनेक constructs विशिष्ट axioms पालन की घसरण एखाद्या असीम संग्रह बनलेले. हे सहसा गुण संच सादर केला जातो; उदाहरण म्हणून, एक ओळ स्वरूपाचे घसरण एक असीम संच आहे \ scriptstyle {एल = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + + a_2c_2 ... a_nc_n = D \ rbrace}, CN आणि ड द्वारे c1 constants आहेत आणि n या जागा आकारमान आहे. तत्सम बांधकाम विमान, ओळ विभागातील आणि इतर संबंधित संकल्पना ठरवणे की अस्तित्वात.
 
गुण आणि गुण संबंधित constructs व्याख्या करण्यासह, युक्लीड देखील गुण बद्दल एक कळ कल्पना postulated; तो कोणत्याही दोन गुण सरळ ओळ द्वारे कनेक्ट करता येते सांगितले. हे सहज Euclidean भूमिती आधुनिक expansions अंतर्गत कन्फर्मड, आणि वेळ जवळजवळ सर्व भौमितिक संकल्पना बांधकाम, ज्यामुळे त्याचे परिचय येथे चिरस्थायी परिणाम होते आहे. तो कधीकधी अशा ओळ किंवा विशिष्ट घसरण अस्तित्व वर गुण क्रम म्हणून axioms, थेट अनुसरण नाही गुण तथ्य गृहीत तथापि, घसरण युक्लीड च्या postulation, पूर्ण किंवा स्पष्ट दोन्हीपैकी होते. या असूनही, प्रणाली आधुनिक expansions या assumptions काढू सर्व्ह करावे.
Poeng, vurderes innenfor rammen av euklidsk geometri, er en av de mest grunnleggende objektene. Euclid opprinnelig definerte punktet som "det som ikke har noen del". I to-dimensjonale euklidske plass, er et punkt representert ved et ordnet par (x, y) av tall, der det første tallet konvensjonelt representerer den horisontale og blir ofte betegnet med x, og det andre tallet konvensjonelt representerer den vertikale og blir ofte betegnet av y. Denne ideen er lett generaliseres til tredimensjonale euklidske rom, hvor et punkt er representert ved et regelmessig triplett (x, y, z) med de ekstra tredje tall som representerer dybde og ofte betegnet med z. Ytterligere generaliseringer er representert ved et regelmessig tuplet av n betingelser, (a1, a2, ..., an) hvor n er dimensjonen av den plass i hvilken punktet er plassert.
 
Mange konstruksjoner innen Euklidsk geometri består av en uendelig samling av punkter som oppfyller visse aksiomer. Dette er vanligvis representert ved et sett av punkter, som et eksempel, er en linje en uendelig sett av punkter på formen \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \ rbrace}, der c1 gjennom cn og d er konstanter og n er dimensjonen av plassen. Lignende konstruksjoner eksisterer som definerer flyet, linje segment og andre relaterte begreper.
 
I tillegg til å definere poeng og konstruksjoner knyttet til poeng, Euclid også postulert en sentral idé om poeng, han hevdet at to poeng kan bli koblet sammen med en rett linje. Dette er lett bekreftet etter moderne utvidelser av euklidsk geometri, og hadde varige konsekvenser på sin introduksjon, slik at bygging av nesten alle de geometriske begrepene tiden. Imidlertid var Euklids postulater poeng verken er komplette eller definitive, som han av og til antatt fakta om punkter som ikke følger direkte av sine aksiomer, som for eksempel bestilling av punkter på linjen eller eksistensen av spesifikke punkter. På tross av dette, moderne utvidelser av systemet tjene til å fjerne disse forutsetningene.
امتیاز، در چارچوب هندسه اقلیدسی در نظر گرفته شده است، یکی از اساسی ترین اشیاء هستند. اقلیدس در اصل نقطه به
عنوان "آنچه که هیچ بخشی" تعریف شده است. در فضای اقلیدسی دو بعدی، یک نقطه توسط یک جفت مرتب (X، Y) از اعداد، که در آن اولین عدد نشان دهنده مرسوم افقی و است اغلب توسط x نشان داده شده، و عدد دوم مرسوم نشان دهنده عمودی است و اغلب نشان داده شده است نشان داده شده است توسط Y. این ایده این است که به راحتی قابل تعمیم به بعدی فضای اقلیدسی سه، که در آن یک نقطه سه گانه مرتب (X، Y، Z) با عدد سوم اضافی به نمایندگی از عمق و اغلب با Z نشان داده نشان داده است. تعمیم بیشتر توسط یک tuplet مرتب از n شرایط، (A1، A2، ...،) که در آن n بعد از فضا که در آن نقطه واقع شده است نشان داده شده است.
 
بسیاری از ساختارهای درون هندسه اقلیدسی یک مجموعه نامتناهی از نقاط است که مطابق با برخی از بدیهیات تشکیل شده است. این است که معمولا توسط یک مجموعه از نقاط نشان داده شده است، به عنوان مثال، یک خط یک مجموعه نامتناهی از نقاط فرم \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1، a_2، ... A_N)، | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = D \ rbrace}، که در آن C1 از طریق مورد نظر خود را انتخاب نمایید: انتخاب و d ثابت هستند و n ابعاد فضا است. سازه های مشابه وجود داشته باشد که تعریف هواپیما، پاره خط و سایر مفاهیم مرتبط.
 
در علاوه بر تعریف نقاط و سازه مربوط به نقاط اقلیدس نیز فرض ایده کلیدی در مورد نقاط، او ادعا کرد که هر دو نقطه می توان یک خط مستقیم به هم متصل می شده است. این است که به راحتی تحت انبساط مدرن هندسه اقلیدسی تایید می شود، و تا به حال پیامدهای پایدار در معرفی آن، اجازه می دهد ساخت و ساز تقریبا تمام مفاهیم هندسی از زمان. با این حال، فرض اقلیدس از نقاط نه کامل است و نه قطعی بود، به عنوان او گاهی اوقات فرض حقایق در مورد نقاط که از بدیهیات خود را، مانند سفارش از نقاط بر روی خط و یا وجود نقاط خاص پیروی نمی کنند به طور مستقیم. با وجود این، توسعه های مدرن از سیستم در خدمت به حذف این فرضیات است.Punkty, rozpatrywane w ramach geometrii euklidesowej, są jednym z najbardziej podstawowych przedmiotów. Euclid pierwotnie określony punkt jako "ten, który nie ma żadnego udziału". W dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej, punkt reprezentowany przez uporządkowaną parę (X, Y), z numerami, gdzie pierwsza liczba oznacza zwykle poziomej, a często jest oznaczona X, a druga liczba oznacza konwencjonalnie pionowy i jest często oznaczany przez y. Ten pomysł jest łatwo uogólnić na trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, gdzie litera jest reprezentowana przez uporządkowanej trójki (x, y, z) z dodatkowego trzeciego liczba reprezentująca głębokości i często oznaczany z. Dalsze uogólnienia są reprezentowane przez uporządkowaną tuplet terminów n, (a1, a2, ..., an), gdzie n jest wymiarem przestrzeni, w której znajduje się punkt.
 
Wiele konstrukcji w geometrii Euklidesa składają się z nieskończonego zbioru punktów, które odpowiadają niektórych aksjomatów. To jest zwykle reprezentowany przez zbiór punktów; Jako przykład, linia jest nieskończony zbiór punktów postaci \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2 ... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \ rbrace}, gdzie c1 cn i D są stałymi, a n jest wymiarem przestrzeni. Podobne konstrukcje istnieją, które definiują płaszczyznę, segment linii i innych pokrewnych.
 
Oprócz definiowania punktów i konstrukcje związane z punktami, Euclid również postulował kluczową pojęcia o punkty, bo twierdził, że każde dwa punkty można połączyć linią prostą. Łatwo to potwierdzone na podstawie współczesnych rozwinięć geometrii euklidesowej i miał trwałe konsekwencje w jego wprowadzeniu, co pozwala na budowę niemal wszystkich pojęć geometrycznych w czasie. Jednak postulat Euklidesa z punktów nie był ani kompletne, ani ostateczne, bo od czasu do czasu założyć fakty o punkty, które nie wynikają bezpośrednio z jego aksjomatów, takich jak kolejność punktów na linii lub istnienie określonych punktów. Pomimo tego, nowoczesne rozbudowy systemu służą do usunięcia tych założeń.
Pontos, considerados no âmbito da geometria euclidiana, são um dos objetos mais fundamentais. Euclides originalmente definiu o momento como "aquilo que não tem parte". No espaço euclidiano bidimensional, um ponto é representado por um par ordenado (x, y) de números, onde o primeiro número representa convencionalmente à horizontal e é frequentemente designado por x, e o segundo número representa convencionalmente à vertical e é frequentemente denotado por y. Esta ideia é facilmente generalizado para um espaço euclidiano de três dimensões, onde uma questão é representado por um tripleto ordenadas (x, y, z) do terceiro número adicional que representa a profundidade e, muitas vezes designado por z. Outras generalizações estão representados por uma tuplet ordenada de n termos, (A1, A2, ..., An) em que n representa a dimensão do espaço em que o ponto é localizado.
 
Muitas construções dentro geometria euclidiana consiste de uma coleção infinita de pontos que estejam em conformidade com certos axiomas. Isso geralmente é representado por um conjunto de pontos; Como exemplo, a linha é um conjunto infinito de pontos da forma \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 a_2c_2 + + ... a_nc_n = d \ rbrace}, onde C1 a cn e d são constantes e o símbolo n representa a dimensão do espaço. Existem construções semelhantes que definir o plano, o segmento de linha e outros conceitos relacionados.
 
Além de definir os pontos e construções relacionadas com pontos, Euclides também postulou a ideia-chave sobre pontos, ele alegou que quaisquer dois pontos podem ser conectados por uma linha reta. Isso é facilmente confirmado em expansões modernos da geometria euclidiana, e teve conseqüências duradouras em sua introdução, permitindo a construção de quase todos os conceitos geométricos da época. No entanto, a postulação de pontos de Euclides era completa nem definitiva, como ele ocasionalmente assumiu fatos sobre pontos que não seguem diretamente de seus axiomas, como a ordenação de pontos sobre a linha ou a existência de pontos específicos. Apesar disto, as expansões modernas do sistema serve para remover estes pressupostos.Puncte, luate în considerare în cadrul geometriei euclidiene, sunt unul dintre obiectele cele mai fundamentale. Euclid definit inițial punct ca "ceea ce nu are o parte". În spațiu euclidian bidimensional, un punct este reprezentat de o pereche ordonată (x, y) de numere, în cazul în care primul număr reprezintă convențional orizontală și este adesea notată cu x, iar al doilea număr reprezintă în mod convențional pe verticală și este adesea notată de y. Această idee este ușor generalizată la trei spațiu euclidian tridimensional, în cazul în care un punct este reprezentat de un triplet ordonat (x, y, z) cu numărul treia suplimentar reprezentând adâncimea și adesea notată cu z. Generalizări suplimentare sunt reprezentate de un tuplet ordonat de n termeni, (A1, A2, ..., un), unde n este dimensiunea de spațiul în care se află punctul.
 
Multe construcții în geometria euclidiană constă într-o colecție infinit de puncte care sunt conforme cu anumite axiome. Aceasta este, de obicei, reprezentat de un set de puncte; Ca un exemplu, o linie este un set infinit de puncte de forma \ scriptstyle {L = \ lbrace (A_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + + a_2c_2 ... a_nc_n = d \ rbrace}, unde c1 prin cn și d sunt constante și n este dimensiunea spațiului. Construcții similare există, care definesc planul, segmentul de linie și alte concepte conexe.
 
În plus față de definirea punctelor și construcții legate de puncte, Euclid postulat, de asemenea, o idee cheie de puncte, el a afirmat că orice două puncte pot fi conectate printr-o linie dreaptă. Acest lucru este ușor de confirmat sub extinderi moderne de geometrie euclidiană, și a avut consecințe pe termen lung de la introducerea sa, care să permită construirea de aproape toate conceptele geometrice ale timpului. Cu toate acestea, postularea lui Euclid de puncte a fost nici completă, nici definitivă, așa cum și-a asumat uneori fapte despre puncte care nu au urmat direct din axiomele sale, cum ar fi ordonarea de puncte pe linie sau existența unor puncte specifice. În ciuda acestui fapt, extinderi moderne ale sistemului servesc pentru a elimina aceste ipoteze.
Очки, рассматривается в рамках евклидовой геометрии, являются одним из наиболее фундаментальных объектов. Евклид, первоначально заданной точки как "то, что не имеет частей». В двумерном евклидовом пространстве, точка представлена ​​упорядоченной пары (х, у) чисел, где первое число обычно представляет горизонтальное и часто обозначается х, а второе число обычно представляет вертикальную и часто обозначается у. Эта идея легко обобщается на трехмерный евклидово пространство, где точка представлена ​​упорядоченной триплет (X, Y, Z) с дополнительным третьим числом, представляющим глубины и часто обозначают Z. Дальнейшие обобщения представлены приказал дуоли ​​терминов п, (A1, A2, ...,), где N-размерность пространства, в котором находится точка.
 
Многие Конструкции в евклидовой геометрии состоять из бесконечного набора точек, которые соответствуют определенным аксиомам. Это, как правило, представлено множество точек, в качестве примера, линия бесконечного множества точек вида \ scriptstyle L = {\ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + + a_2c_2 ... a_nc_n = D \ rbrace}, где C1 через CN и D являются константы и п-размерность пространства. Похожие конструкции существуют, которые определяют плоскость, отрезок и других связанных с ним понятий.
 
В дополнение к определению точек и конструкции, связанные с точками, Евклид также постулировал ключевая идея о точках, он утверждал, что любые две точки можно соединить прямой линией. Это легко подтверждена в современных расширений евклидовой геометрии, и имела длительные последствия на его введения, что позволяет строительство почти все геометрические понятия времени. Тем не менее, постулирование Евклида пунктов не был ни полным, ни окончательным, как предполагается, он время от времени факты о точках, которые не вытекают непосредственно из его аксиомы, такие как упорядочение точек на линии или наличие конкретных пунктов. Несмотря на это, современные расширения системы служат для отведения этих предположений.
Тачке, сматрају у оквиру еуклидске геометрије, су један од основних предмета. Еуклид је првобитно дефинисао тачку као "оно што нема улогу". У дводимензионалном Еуклидовог простора, тачка представља један уређени пар (к, и) бројева, где први број представља конвенционално хоризонтална и често се означава са к, а други број представља конвенционално вертикална и често се означава ла и. Ова идеја је лако генерализовати за тродимензионалном Еуклидовог простора, где је тачка представљена је наредио трослову (к, и, з) уз додатни трећи број који представља дубину и често означава са з. Даље генерализовање представљају уређеном туплет од н термина, (А1, А2, ..., Ан) где је н димензија простора у коме се налази тачка.
 
Многе конструкције у оквиру еуклидске геометрије састоји од бесконачног колекције тачака које се придржавају одређених аксиома. Ово се обично представља скуп тачака; Као пример, линија је бесконачан скуп тачака вида \ сцриптстиле Л = {\ лбраце (а_1, А_2, ... а_н) | а_1ц_1 а_2ц_2 + + ... а_нц_н = Д \ рбраце}, где су ц1 кроз ЦН и Д су константе, а н је димензија простора. Сличне конструкције постоје да дефинишу раван, дужи и других сродних појмова.
 
Поред дефинисања поена и конструкте који се односе на тачке, Еуклид такође постулира кључну идеју о тачкама, он је тврдио да може да буде било које две тачке спојене правом линијом. То се лако потврђује у савременим проширења еуклидске геометрије, а имао трајне последице на свом уводу, омогућава изградњу готово свих појмова времена. Међутим, Еуклидов захтевање од тачака била ни потпуна ни коначна, јер је повремено претпоставља чињенице о тачкама које нису директно следе из његових аксиома, као што су редослед тачака на линији или постојање одређених тачака. Упркос томе, модерни експанзије система служе за уклањање ове претпоставке.
Body, ktoré sa v rámci Euclidean geometrie, sú jedným z najzákladnejších objektov. Euclid pôvodne definovaný bod ako "ten, ktorý nemá žiadnu úlohu." V dvojrozmernom Euclidean priestore, je bod reprezentovaný usporiadané dvojice (x, y) z čísel, kde prvé číslo obvykle predstavuje horizontálna a je často označovaný x, a druhé číslo zvyčajne predstavuje vertikálne a je často označovaný podľa y. Táto myšlienka je možné zovšeobecniť na trojrozmernom Euclidean priestoru, kde je bod reprezentovaný usporiadanou trojicu (x, y, z), s ďalšou treťou číslo predstavujúce hĺbku a často označovaný z. Ďalšie zovšeobecnenie sú zastúpené objednané tuplet pojmov, n (a1, a2, ..., an), kde n je dimenzia priestoru, v ktorom sa nachádza miesto.
 
Mnoho konštrukty v rámci Euclidean geometrie sa skladajú z nekonečnej zbierky bodov, ktoré zodpovedajú určité axiómy. Toto je zvyčajne zastúpený v množine bodov, ako príklad, linka je nekonečná množina bodov v tvare \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | + a_1c_1 a_2c_2 + ... a_nc_n = d \ rbrace}, kde c1 až cn a D sú konštanty a n je dimenzia priestoru. Podobné konštrukcie existujú, ktoré definujú rovinu, úsečka a ďalšie súvisiace pojmy.
 
Okrem definovania bodov a konštrukty súvisiace s bodmi, Euclid tiež nastolila dôležitú predstavu o miestach, tvrdil, že nejaké dva body môžu byť spojené priamkou. To je ľahko potvrdiť v moderných expanziou Euclidean geometrie, a mal trvalé následky na jeho zavedenie, čo umožňuje stavbu takmer všetky geometrické pojmy času. Avšak, Euklidův postulát bodov bolo úplné ani definitívne, ako sa niekedy predpokladá, údaje o bodoch, ktoré sa neriadi priamo z jeho axióm, ako je usporiadanie bodov na trati alebo existencie konkrétnych bodoch. V zášti toto, moderné expanzia systému slúži na odstránenie týchto predpokladov.
Točk, ki štejejo v okviru evklidske geometrije, so eden od najbolj temeljnih predmetov. Euclid je prvotno opredeljeno točko kot "tisti, ki nima dela". V dvodimenzionalnem evklidski prostor, ki je točka predstavlja urejen par (x, y) številk, kjer prvo število običajno predstavlja horizontalno in pogosto označena z X, in drugo število običajno predstavlja vertikalno in pogosto označena z y. Zamisel je lahko posplošimo na tridimenzionalnem evklidski prostor, kjer je točka zastopa urejene trojico (x, y, z) z dodatno tretje število, ki predstavlja globino in pogosto označena z z. Dodatno posplošene predstavljajo urejene tuplet z n smislu, (A1, A2, ...,), kjer je n dimenzija prostora, v katerem se nahaja točka.
 
Mnogi konstrukti v evklidske geometrije je sestavljen iz neskončnega zbiranje točk, ki so v skladu z nekaterimi aksiomov. To je z nizom točk običajno zastopa; Kot primer, linija je neskončen niz točk oblike \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \ rbrace}, kjer so c1 skozi cn in d konstante in n je dimenzija prostora. Podobne konstrukcije obstajajo, ki določajo ravnino, daljico in drugih sorodnih pojmov.
 
Poleg opredelitve točk in konstrukte, povezane s točkami, Euclid domnevno tudi ključno idejo o točkah, je trdil, da se nobeni dve mesti lahko povezan s premico. To je enostavno potrjene na podlagi sodobnih širitvami evklidske geometrije, in je imela trajne posledice na njeno uvedbo, ki omogoča gradnjo skoraj vseh geometrijskih konceptov časa. Vendar pa je bil Euclid je Zahtijevanje točk niti popolne, niti dokončno, saj je občasno predpostavlja dejstva o točkah, ki ne izhajajo neposredno iz svojih aksiomov, kot so naročanje točk na progi ali obstoj posameznih točkah. Kljub temu, sodobne razširitve sistema služijo za odstranitev teh predpostavk.
Puntos, consideradas dentro del marco de la geometría euclidiana, son uno de los objetos más fundamentales. Euclides definió originalmente el punto de que "el que no tiene ninguna parte". En el espacio euclidiano de dos dimensiones, un punto está representado por un par ordenado (x, y) de números, donde el primer número representa convencionalmente la horizontal y con frecuencia se denota por x, y el segundo número representa convencionalmente la vertical y con frecuencia se denota por y. Esta idea es fácilmente generalizado a tres el espacio euclidiano tridimensional, donde un punto es representado por un triplete ordenado (x, y, z) con el tercer número adicional que representa la profundidad y, a menudo denotado por z. Otras generalizaciones están representados por un grupo de valoración especial ordenada de n términos, (a1, a2, ..., an) donde n es la dimensión del espacio en el que se encuentra el punto.
 
Muchas construcciones dentro de la geometría euclidiana se componen de una colección infinita de puntos que cumplen con ciertos axiomas. Esto se representa por un conjunto de puntos, como ejemplo, una línea es un conjunto infinito de puntos de la forma \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 a_2c_2 + + ... a_nc_n = d \ rbrace}, donde C1 a CN y d son constantes y n es la dimensión del espacio. Construcciones similares existen que definen el plano, segmento de línea y otros conceptos relacionados.
 
Además de definir los puntos y las construcciones relacionadas con los puntos, Euclid también postula una idea clave sobre los puntos, afirmó que dos puntos pueden estar conectados por una línea recta. Esto se confirma fácilmente bajo ampliaciones modernas de la geometría euclidiana, y tuvo consecuencias duraderas en su introducción, lo que permite la construcción de casi todos los conceptos geométricos de la época. Sin embargo, la postulación de puntos de Euclides no era ni completa ni definitiva, ya que en ocasiones supone hechos acerca de los puntos que no siguen directamente de sus axiomas, como la ordenación de los puntos de la línea o de la existencia de puntos específicos. A pesar de esto, las expansiones modernas del sistema sirven para eliminar estos supuestos.
Pointi, kuchukuliwa ndani ya mfumo wa jiometri Euclidean, ni moja ya vitu zaidi ya msingi. Euclid awali kuelezwa hatua kama "kwamba hakuna sehemu ambayo ina". Katika nafasi mbili-dimensional Euclidean, uhakika ni kuwakilishwa na jozi kuamuru (x, y) ya idadi, ambapo idadi ya kwanza conventionally inawakilisha usawa na mara nyingi ni ulionyehsa kwa x, na idadi ya pili conventionally inawakilisha wima na mara nyingi ni ulionyehsa na y. Wazo hili ni urahisi wa jumla kwa nafasi tatu dimensional Euclidean, ambapo uhakika ni kuwakilishwa na triplet kuamuru (x, y, z) na nyongeza ya idadi ya tatu anayewakilisha kina na mara nyingi ulionyehsa kwa z. Generalizations zaidi ni kuwakilishwa na tuplet kuamuru ya suala n, (a1, a2, ...), ambapo n ni mwelekeo wa nafasi katika ambayo uhakika iko.
 
Constructs wengi ndani ya jiometri Euclidean wajumbe wa ukusanyaji usio pointi kwamba kuendana na imani za fulani. Hii ni kawaida na kuwakilishwa na seti ya pointi; Kama mfano, line ni seti usio pointi ya fomu \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + + a_2c_2 ... a_nc_n = d \ rbrace}, ambapo c1 kupitia cn na d ni constants na n ni mwelekeo wa nafasi. Ujenzi sawa kuwepo kwamba kufafanua ndege, sehemu nyingine line na dhana kuhusiana.
 
Mbali na kufafanua pointi na constructs kuhusiana na pointi, Euclid pia ilidai wazo muhimu kuhusu pointi; alidai kuwa yoyote pointi mbili yanaweza kushikamana na line moja kwa moja. Hii ni kwa urahisi alithibitisha chini ya upanuzi wa kisasa wa jiometri Euclidean, na alikuwa na madhara ya kudumu katika utangulizi wake, kuruhusu ujenzi wa karibu kila dhana ya kijiometri ya muda. Hata hivyo, postulation Euclid ya pointi ilikuwa wala kamili wala ufafanuzi, kama yeye mara kwa mara kudhani ukweli juu ya pointi kwamba hakuwa na kufuata imani za moja kwa moja kutoka kwake, kama vile kuagiza ya pointi juu ya mstari au kuwepo kwa pointi maalum. Licha ya hayo, kisasa upanuzi wa mfumo wa kumtumiPunkter, behandlas inom ramen för den euklidiska geometrin, är en av de mest fundamentala objekten. Euklides definierade ursprungligen den punkt som "det som inte har någon del". I två-dimensionella euklidiska rymden, är en punkt som representeras av ett ordnat par (x, y) av siffror, där den första siffran konventionellt representerar den vågräta och är ofta betecknas med x, och den andra siffran konventionellt representerar den vertikala och är ofta betecknas med y. Denna idé är lätt generaliseras till tre dimensionella euklidiska rymden, där en punkt representeras av en ordnad triplett (x, y, z) med det ytterligare tredje tal som representerar djup och ofta betecknas med z. Ytterligare generaliseringar representeras av en ordnad tuplet av n termer, (a1, a2, ..., an), där n är dimensionen av det utrymme där punkten finns.
 
Många konstruktioner inom euklidiska geometrin består av en oändlig samling av punkter som uppfyller vissa axiom. Detta brukar representeras av en uppsättning punkter, som ett exempel, är en linje ett oändligt antal punkter på formen \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \ rbrace}, där C1 till cn och d är konstanter och n är dimensionen av utrymmet. Liknande konstruktioner finns som definierar planet, linjesegment och andra relaterade begrepp.
 
Förutom att definiera punkter och konstruktioner med anknytning till punkter, Euklides postulerade också en viktig idé om punkter, han hävdade att två punkter kan anslutas genom en rak linje. Detta är lätt att bekräftas under moderna utbyggnader av euklidiska geometrin, och hade varaktiga konsekvenser vid dess införande, vilket gör att byggandet av nästan alla geometriska begrepp i tiden. Dock var Euklides BEGÄRAN punkter varken fullständiga eller slutgiltiga, eftersom han ibland antar fakta om punkter som inte följer direkt från sina axiom, såsom beställning av punkter på linjen eller förekomsten av specifika punkter. Trots detta, moderna expansioner av systemet tjäna till att avlägsna dessa antaganden.kia kuondoa dhana hizi.
யூக்ளிடியன் வடிவியல் கட்டமைப்பிற்குள் கருதப்படுகிறது புள்ளிகள், மிகவும் அடிப்படை பொருட்களை ஒன்று. யூக்லிட் முதலில் "எந்த பகுதி இது என்று" என புள்ளி வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. இரு பரிமாண யூக்லிடியான இடத்தில், ஒரு கட்டத்தில் முதல் எண் வழக்கமாக கிடைமட்ட பிரதிநிதித்துவம் மற்றும் பெரும்பாலும் x என குறிக்கப்படுகிறது, மற்றும் இரண்டாவது எண் வழக்கமாக பிரதிபலிக்கிறது செங்குத்து அடிக்கடி குறிக்கப்படுகிறது அமைந்துள்ள எண்கள் ஒரு கட்டளையிட்டார் ஜோடி (x, y), பிரதிநிதித்துவம் Y மூலம். இந்த யோசனை ஒரு புள்ளியில் கூடுதல் மூன்றாம் எண் ஆழம் குறிக்கும் அடிக்கடி Z குறிக்கப்படும் ஒரு கட்டளையிட்டார் மும்மை (x, y, z) மூலம் குறிப்பிடப்படுகின்றன அமைந்துள்ள மூன்று பரிமாண யூக்லிடியான விண்வெளி, எளிதாக பொதுவான உள்ளது. மேலும் பொதுவாக n உறுப்புகளின் வரிசையான tuplet, (A1, A2, ..., ஒரு) N புள்ளி அமைந்துள்ளது இதில் இடம் பரிமாணத்தை எங்கே மூலம் குறிப்பிடப்படுகின்றன.
 
யூக்ளிடியன் வடிவியல் உள்ள பல கட்டமைப்புகளை சில தேற்றங்களிலிருந்து இணங்கிப்போகக்கூடிய புள்ளிகள் முடிவிலா சேகரிப்பு கொண்டிருக்கும். இது வழக்கமாக புள்ளிகள் தொகுப்பு குறிப்பிடப்படுகின்றன; ஒரு எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வரி படிவத்தை புள்ளிகள் முடிவிலா தொகுப்பு \ scriptstyle {எல் = \ lbrace (ஆவதால் A_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = D \ rbrace}, CN மற்றும் ஈ மூலம் C1 மாறிலிகள் மற்றும் N இடத்தை பரிமாணத்தை எங்கே. இதே போன்ற நிர்மாணங்கள் விமானம், வரி பிரிவு மற்றும் பிற தொடர்புடைய கருத்துக்கள் வரையறுக்கும் உள்ளன.
 
புள்ளிகள் புள்ளிகள் தொடர்பான கட்டமைப்புகளை வரையறுக்கும் கூடுதலாக, யூக்ளிட் மேலும் புள்ளிகள் பற்றி ஒரு முக்கிய யோசனை ஒப்புக்கொள்ளப்பட்டுள்ளது; அவர் ஏதேனும் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு ஒரு நேர் கோட்டில் மூலம் இணைக்க முடியும் என்று கூறினார். இந்த எளிதில் யூக்ளிடியன் வடிவியல் நவீன விரிவாக்கம் கீழ் உறுதி, மற்றும் நேரம் கிட்டத்தட்ட அனைத்து வடிவியல் கருத்துக்கள் கட்டுமான அனுமதிக்கிறது, அதன் அறிமுக நீடித்த விளைவுகளை கொண்டிருந்தது. அவர் எப்போதாவது இது போன்ற வரி அல்லது குறிப்பிட்ட புள்ளிகள் இருப்பதை புள்ளிகள் வரிசை அவரது தேற்றங்களிலிருந்து, நேரடியாக பின்பற்ற வில்லை என்று புள்ளிகள் பற்றிய உண்மைகள் ஏற்றார் எனினும், புள்ளிகள் யூக்லிடின் செயலில், முழு அல்லது உறுதியான எந்த இருந்தது. இந்த இருந்தபோதும், அமைப்பின் நவீன விரிவாக்கங்கள் இந்த அனுமானங்கள் நீக்க உதவும்.యూక్లిడ్ చట్రంలో పరిగణించవచ్చు పాయింట్లు,, చాలా ప్రాథమిక వస్తువుల ఉన్నాయి. యూక్లిడ్ నిజానికి "ఏ భాగం ఉంది, అది" వంటి పాయింట్ నిర్వచించింది. రెండు డైమెన్షనల్ యూక్లిడ్ స్పేస్ లో, ఒక పాయింట్ మొదటి సంఖ్య సంప్రదాయకంగా సమాంతర ప్రాతినిధ్యం మరియు తరచుగా x ద్వారా సూచిస్తారు, మరియు రెండవ సంఖ్య సంప్రదాయకంగా ప్రాతినిధ్యం నిలువు మరియు తరచుగా సూచించబడుతుంది ఉన్న సంఖ్యల ఒక ఆదేశించింది యుగ్మము (x, y) ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుంది y ద్వారా. ఈ ఆలోచన ఒక స్థానం అదనపు మూడవ సంఖ్య లోతు ప్రాతినిధ్యం మరియు తరచుగా z ద్వారా సూచించబడతాయి ఒక ఆదేశించింది మూడు వస్తువుల చేరిక (x, y, z) ద్వారా ప్రాతినిధ్యం కౌంటీ మూడు డైమెన్షనల్ యూక్లిడ్ స్పేస్, సులభంగా సాధారణీకరణం. మరింత సాధారణీకరణ n పదాల ఆదేశించింది tuplet, (a1, a2, ..., ఒక) n పాయింట్ ఉంది దీనిలో అంతరాళము ఉన్న సూచించబడతాయి.
 
యూక్లిడ్ జ్యామితి ఎన్నో నిర్మాణాలు కొన్ని ప్రమాణాల అనుగుణంగా పాయింట్లు అనంతమైన సేకరణ కలిగి. ఈ సాధారణంగా పాయింట్ల సెట్ ద్వారా సూచించబడుతుంది; ఉదాహరణకు, ఒక లైన్ రూపం యొక్క పాయింట్లు అనంతమైన సమితి \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \ rbrace}, CN మరియు d ద్వారా C1 స్థిరాంకాలు మరియు n అంతరాళము ఉన్న. ఇలాంటి నిర్మాణాలు విమానం, పంక్తి విభాగం మరియు ఇతర సంబంధిత అంశాలను నిర్వచించే ఉన్నాయి.
 
పాయింట్లు మరియు పాయింట్లు సంబంధించిన నిర్మాణాలను నిర్వచించు పాటు, యూక్లిడ్ కూడా పాయింట్లు గురించి ఒక ముఖ్య ఆలోచన ప్రస్తావించాడు; అతను ఏ రెండు పాయింట్లు సరళ రేఖలో ద్వారా అనుసంధానం చేస్తారు పేర్కొన్నారు. ఈ సులభంగా యూక్లిడ్ ఆధునిక విస్తరణ కింద ధ్రువీకరించారు, మరియు సమయం దాదాపు అన్ని రేఖాగణిత భావనలు నిర్మాణం అనుమతిస్తుంది, దాని పరిచయం శాశ్వత పరిణామాలు కలిగి ఉంది. అతను అప్పుడప్పుడు లైన్ లేదా నిర్దిష్ట బిందువుల ఉనికి పాయింట్లను క్రమాన్ని తన సిద్ధాంతాల నుండి నేరుగా అనుసరించండి లేదని పాయింట్లు గురించి నిజాలు భావించే అయితే, పాయింట్లు యూక్లిడ్ హితోపదేశంలో, పూర్తి లేదా ఖచ్చితమైన కాదు. ఈ ఉన్నప్పటికీ, వ్యవస్థ యొక్క ఆధునిక విస్తరణ ఈ అంచనాలు తొలగించడానికి సర్వ్.
จุดถือว่าอยู่ภายในกรอบของเรขาคณิตเป็นหนึ่งในวัตถุที่พื้นฐานที่สุด Euclid เดิมกำหนดจุดขณะที่ "ที่มีส่วนร่วม" ในปริภูมิแบบยุคลิดสองมิติจุดเป็นตัวแทนของทั้งคู่ได้รับคำสั่ง (x, y) ของตัวเลขที่หมายเลขแรกอัตภาพแสดงให้เห็นถึงแนวนอนและมักจะแสดงโดย x และตัวเลขที่สองตามอัตภาพเป็นแนวตั้งและมักจะแสดง โดย y ความคิดนี้ได้อย่างง่ายดายทั่วไปถึงสามมิติปริภูมิแบบยุคลิดที่จุดจะแสดงโดยแฝดสั่ง (x, y, z) มีจำนวนที่สามเพิ่มเติมที่เป็นตัวแทนของความลึกและมักจะแสดงโดย z ภาพรวมต่อไปโดยมีตัวแทน tuplet สั่งของข้อตกลง n, (A1, A2, ... ,) โดยที่ n คือมิติของพื้นที่ในจุดที่ตั้งอยู่
 
สร้างในหลายรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดประกอบด้วยคอลเลกชันที่ไม่มีที่สิ้นสุดของจุดที่สอดคล้องกับหลักการบางอย่าง นี้จะแสดงเป็นปกติโดยชุดของจุด; ตัวอย่างเช่นสายคือชุดของจุดสิ้นสุดของแบบฟอร์ม \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + + a_2c_2 ... a_nc_n = d \ rbrace} ที่ผ่าน c1 CN และ D เป็นค่าคงที่และ n คือมิติของพื้นที่ การก่อสร้างที่คล้ายกันอยู่ที่กำหนดเครื่องบินส่วนของเส้นและแนวคิดอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้อง
 
นอกเหนือไปจากการกำหนดจุดและโครงสร้างที่เกี่ยวข้องกับจุด Euclid ตั้งสมมติฐานยังเป็นความคิดที่สำคัญเกี่ยวกับจุด; เขาอ้างว่าสองจุดใด ๆ ที่สามารถเชื่อมต่อกันด้วยเส้นตรง นี่คือคำยืนยันได้อย่างง่ายดายภายใต้การขยายตัวที่ทันสมัย​​ของรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดและมีผลกระทบยาวนานที่การแนะนำของการอนุญาตให้ก่อสร้างเกือบทุกแนวความคิดทางเรขาคณิตของเวลา อย่างไรก็ตามการยืนยันของยุคลิดจุดคือไม่สมบูรณ์และแตกหักในขณะที่เขาเป็นครั้งคราวสันนิษฐานข้อเท็จจริงเกี่ยวกับจุดที่ไม่ได้ปฏิบัติตามโดยตรงจากสัจพจน์เช่นการสั่งซื้อของจุดบนเส้นหรือการดำรงอยู่ของจุดที่เฉพาะเจาะจงของเขา ทั้งๆที่นี้ขยายทันสมัย​​ของระบบการให้บริการเพื่อลบข้อสมมติฐานเหล่านี้
Öklid geometrisi çerçevesinde kabul noktaları, en temel nesnelerin biridir. Euclid aslında "hiçbir bölümü sahip olduğu bu" olarak noktası yok. İki-boyutlu Öklid uzayında, bir noktadan ilk sayı geleneksel yatay temsil eder ve genellikle x ile gösterilen ve ikinci sayı geleneksel temsil eder, dikey ve genellikle gösterilir numaralarının düzenlenmiş bir çift (x, y) ile temsil edilir, y. Bu fikir bir noktaya ek üçüncü sayı derinliği temsil eden ve genellikle z ile gösterilir bir sipariş üçlü (x, y, z) ile temsil edilir üç boyutlu Öklid uzayında, kolayca genelleştirilmiş olduğunu. Daha fazla genellemeler n terimleri sıralı bir tuplet, (A1, A2, ..., bir) n noktası bulunduğu boşluğun boyutu tarafından temsil edilmektedir.
 
Öklid geometrisi içinde birçok yapıları belirli aksiyomları uygun puan sonsuz koleksiyon oluşur. Bu genellikle noktaları bir dizi ile temsil edilir; Örnek olarak, bir çizgi, formun puan sonsuz dizi \ scriptstyle {L = \ lbrace (A_1, A_2, ... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \ rbrace}, cn ve d ile c1 sabitleri ve n alanı boyutu olduğu. Benzer yapılar uçak, çizgi parçasının ve diğer ilgili kavramlar tanımladığınız var.
 
Puan ve puan ile ilgili yapıları tanımlamanın yanı sıra, Euclid de puan hakkında önemli bir fikir öne, o herhangi iki nokta düz bir çizgi ile bağlanabilir iddia etti. Bu kolayca Öklid geometrisinin modern açılımları altında doğruladı, ve zaman hemen hemen tüm geometrik kavramların inşaat izin, onun giriş de kalıcı etkileri olmuştur edilir. O zaman bu hattı ya da belirli noktaları varlığına puan sipariş olarak görev yaptığı aksiyomları, doğrudan takip etmedi noktaları hakkında gerçekleri kabul Ancak, puan Öklid 'postulation, tam ne kesin ne oldu. Buna rağmen, sistemin, modern açılımları Bu varsayımlar kaldırmak için vermektedir.
Окуляри, розглядається в рамках евклідової геометрії, є одним з найбільш фундаментальних об'єктів. Евклід, спочатку заданої точки як "те, що не має частин». У двовимірному евклідовому просторі, точка представлена ​​впорядкованою пари (х, у) чисел, де перше число зазвичай являє горизонтальне і часто позначається х, а друге число зазвичай представляє вертикальну і часто позначається у. Ця ідея легко узагальнюється на тривимірний евклидово простір, де точка представлена ​​впорядкованою триплет (X, Y, Z) з додатковим третім числом, що представляє глибини і часто позначають Z. Подальші узагальнення представлені наказав дуолі термінів п, (A1, A2, ...,), де N-розмірність простору, в якому знаходиться точка.
 
Багато Конструкції в евклідової геометрії складатися з нескінченного набору точок, які відповідають певним аксіомам. Це, як правило, представлено безліч точок, як приклад, лінія нескінченної кількості точок виду \ scriptstyle L = {\ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + + a_2c_2 ... a_nc_n = D \ rbrace}, де C1 через CN і D є константи і п-розмірність простору. Схожі конструкції існують, які визначають площину, відрізок та інших пов'язаних з ним понять.
 
На додаток до визначення точок і конструкції, пов'язані з точками, Евклід також постулював ключова ідея про точки, він стверджував, що будь-які дві точки можна з'єднати прямою лінією. Це легко підтверджена в сучасних розширень евклідової геометрії, і мала тривалі наслідки на його введення, що дозволяє будівництво майже всі геометричні поняття часу. Тим не менш, постулирование Евкліда пунктів не був ні повним, ні остаточним, як передбачається, він час від часу факти про точках, які не випливають безпосередньо з його аксіоми, такі як впорядкування точок на лінії або наявність конкретних пунктів. Незважаючи на це, сучасні розширення системи служать для відведення цих припущень.
Euclidean ستادوستی کے فریم ورک کے اندر اندر سمجھا پوائنٹ،، سب سے بنیادی اشیاء میں سے ایک ہیں.
Euclid اصل "کوئی حصہ نہیں ہے جو" کے طور پر نقطہ نظر کی وضاحت کی. دو جہتی Euclidean خلا میں، ایک نقطہ سب سے پہلے نمبر روایتی افقی کی نمائندگی کرتا ہے اور اکثر X کی طرف سے ظاہر کیا جاتا ہے، اور دوسرا تعداد روایتی عمودی کی نمائندگی کرتا ہے اور اکثر ظاہر ہے جہاں اعداد کی ایک جوڑی کا حکم دیا (X، Y)، کی طرف سے نمائندگی کر رہا ہے Y کی طرف سے. یہ خیال ایک نقطہ اضافی تیسرے نمبر گہرائی کی نمائندگی اور اکثر Z کی طرف سے ظاہر کے ساتھ ایک حکم دیا triplet (X، Y، Z) کی طرف سے نمائندگی کی ہے جہاں تین جہتی Euclidean جگہ، پر آسانی سے عام ہے. اس کے علاوہ عمومی N شرائط کا حکم دیا tuplet، (A1، A2، ...، ایک) (ن) کے نقطہ پر واقع ہے جس میں جگہ کے طول و عرض ہے جہاں کی طرف سے نمائندگی کر رہے ہیں.
 
Euclidean ستادوستی کے اندر اندر بہت سے تشکیل بعض axioms کے مطابق ہے کہ پوائنٹس کی ایک لامتناہی مجموعہ پر مشتمل ہوتے ہیں. یہ عام طور پر پوائنٹس کی ایک سیٹ کی طرف سے نمائندگی ہے، ایک مثال کے طور پر، ایک لائن فارم کے پوائنٹس کی ایک لامتناہی سیٹ ہے \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1، a_2، ... a_n) | a_1c_1 a_2c_2 + + ... a_nc_n = D \ rbrace}، CN اور D کے ذریعے C1 constants ہیں اور (ن) جگہ کے طول و عرض کہاں ہے. اسی طرح کے تعمیرات ہوائی جہاز، لائن سیگمنٹ اور دیگر متعلقہ تصورات کی وضاحت ہے کہ موجود ہیں.
 
پوائنٹس اور پوائنٹس سے متعلق تشکیل کی وضاحت کرنے کے علاوہ، Euclid بھی پوائنٹس کے بارے میں ایک اہم خیال postulated ہے، وہ کسی بھی دو پوائنٹس کی ایک براہ راست لائن کی طرف سے منسلک کیا جا سکتا ہے نے دعوی کیا کہ. یہ آسانی سے Euclidean ستادوستی کے جدید تفصیلات کے تحت بات کی تصدیق کی، اور وقت کے تقریبا تمام ہندسی تصورات کی تعمیر کی اجازت دے، اس کے تعارف میں دیرپا نتائج پڑا ہے. وہ کبھی کبھار ایسے لائن یا مخصوص پوائنٹس کے وجود پر پوائنٹس کی ترتیب کے طور پر ان axioms، سے براہ راست عمل نہیں کیا کہ پوائنٹس کے بارے میں حقائق کے طور پر فرض کیا گیا تاہم پوائنٹس کی Euclid کی postulation، مکمل اور نہ ہی واضح نہ تھا. اس کے باوجود، نظام کی جدید تفصیلات ان مفروضات کو دور کرنے کے کی خدمت.
Điểm, xem xét trong khuôn khổ của hình học Euclide, là một trong những đối tượng cơ bản nhất. Euclid ban đầu được xác định điểm như "những gì không có một phần". Trong không gian Euclide hai chiều, một điểm được biểu diễn bởi một cặp lệnh (x, y) số, trong đó số đầu tiên thông thường đại diện cho ngang và thường được ký hiệu là x, và số thứ hai thông thường đại diện cho thẳng đứng và thường được ký hiệu là bởi y. Ý tưởng này có thể dễ dàng tổng quát cho ba không gian Euclide chiều, với một điểm được đại diện bởi một bộ ba đã ra lệnh (x, y, z) với số thứ ba bổ sung đại diện cho chiều sâu và thường ký hiệu là z. Khái quát hơn nữa được đại diện bởi một tuplet ra lệnh từ ngữ n, (a1, a2, ..., an) trong đó n là kích thước của không gian trong đó các điểm nằm.
 
Nhiều cấu trúc trong hình học Euclide bao gồm một bộ sưu tập giới hạn các điểm mà phù hợp với các tiên đề nhất định. Điều này thường được thể hiện bằng một tập hợp các điểm; Ví dụ, một dòng là một tập hợp vô hạn các điểm có dạng \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, A_2, ... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \ rbrace}, trong đó c1 qua cn và d là hằng số và n là kích thước của không gian. Công trình xây dựng tương tự tồn tại để xác định máy bay, đoạn thẳng và các khái niệm liên quan khác.
 
Ngoài việc xác định các điểm và các cấu trúc liên quan đến điểm, Euclid cũng mặc nhiên công nhận là một ý tưởng quan trọng về điểm, ông tuyên bố rằng bất kỳ hai điểm có thể được nối với nhau bằng một đường thẳng. Điều này có thể dễ dàng xác nhận dưới mở rộng hiện đại của hình học Euclide, và có hậu quả lâu dài tại được giới thiệu, cho phép xây dựng gần như tất cả các khái niệm hình học của thời gian. Tuy nhiên, sự thừa nhận của các điểm của Euclid là không hoàn chỉnh cũng không dứt khoát, như thỉnh thoảng ông cho rằng sự thật về điểm không theo trực tiếp từ các tiên đề của mình, chẳng hạn như đặt hàng của các điểm trên đường hoặc sự tồn tại của điểm cụ thể. Mặc dù vậy, mở rộng hiện đại của hệ thống phục vụ để loại bỏ các giả định.
Bwyntiau, ystyried o fewn fframwaith o geometreg Ewclidaidd, yn un o'r gwrthrychau mwyaf sylfaenol. Euclid a ddiffinnir yn wreiddiol y pwynt fel "yr hyn sydd ganddo unrhyw ran". Yn y gofod Ewclidaidd dau-ddimensiwn, pwynt yn cael ei gynrychioli gan pâr archebu (x, y) o rifau, lle mae'r rhif cyntaf yn gonfensiynol cynrychioli'r llorweddol ac yn cael ei ddynodi yn aml gan x, ac mae'r ail rif yn cynrychioli gonfensiynol y fertigol ac yn cael ei ddynodi yn aml gan y. Mae'r syniad hwn yn hawdd gyffredinol i dri gofod Ewclidaidd dimensiwn, lle mae pwynt yn cael ei gynrychioli gan tripled archebu (x, y, z) gyda'r trydydd nifer ychwanegol cynrychioli dyfnder a ddynodir yn aml gan z. Cyffredinoli pellach yn cael eu cynrychioli gan tuplet n drefnus o dermau, (a1, a2, ..., sef) lle mae n yn y dimensiwn o'r gofod y mae'r pwynt wedi ei leoli.
 
Mae nifer o elfennau mewn geometreg Ewclidaidd yn cynnwys casgliad diddiwedd o bwyntiau sy'n cydymffurfio i rai axioms. Mae hyn yn cael ei gynrychioli fel arfer gan set o bwyntiau; Fel enghraifft, mae llinell yn ddiddiwedd set o bwyntiau y ffurflen \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_1, a_2, ... a_n) | a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \ rbrace}, lle mae c1 drwy cn a d yn gysonion ac n yw dimensiwn y gofod. Cystrawennau tebyg yn bodoli sy'n diffinio awyren, segment llinell a chysyniadau cysylltiedig eraill.
 
Yn ogystal â diffinio pwyntiau a lluniadau sy'n gysylltiedig â bwyntiau, Euclid hefyd yn postulated syniad allweddol am bwyntiau, honnodd y gall unrhyw ddau bwynt cael eu cysylltu gan linell syth. Mae hyn yn cael ei gadarnhau yn hawdd o dan estyniadau modern o geometreg Ewclidaidd, ac roedd canlyniadau parhaol yn ei gyflwyno, gan ganiatáu i'r gwaith o adeiladu bron pob un o'r cysyniadau geometrig ar y pryd. Fodd bynnag, postulation Euclid o bwyntiau oedd nid yn gyflawn nac yn derfynol, gan ei fod o bryd i'w gilydd tybio ffeithiau am bwyntiau nad oedd yn dilyn yn uniongyrchol oddi wrth ei axioms, megis archebu o bwyntiau ar y llinell neu fodolaeth o bwyntiau penodol. Er gwaethaf hyn, ehangu modern y system yn fodd i gael gwared rhagdybiaethau hyn.
ווייזט, געהאלטן ין דער פריימווערק פון עוקלידעאַן דזשיאַמאַטרי, ביסט איינער פון די מערסט פונדאַמענטאַל
אַבדזשעקס. עוקליד ערידזשנאַלי דיפיינד די פונט ווי "אַז וואָס האט קיין טייל". אין צוויי-דימענשאַנאַל עוקלידעאַן פּלאַץ, אַ פונט איז רעפּריזענטיד דורך אַ באפוילן פּאָר (X, י) פון נומערן, ווו דער ערשטער נומער קאַנווענשאַנאַלי רעפּראַזענץ די האָריזאָנטאַל און איז אָפֿט דינאָוטאַד דורך X, און די רגע נומער קאַנווענשאַנאַלי רעפּראַזענץ די ווערטיקאַל און איז אָפֿט דינאָוטאַד דורך י. דעם געדאַנק איז לייכט דזשענראַלייזד צו דרייַ דימענשאַנאַל עוקלידעאַן אָרט, ווו אַ פונט איז רעפּריזענטיד דורך אַ באפוילן טריפּלאַט (X, י, ז) מיט די נאָך דריט נומער רעפּריזענטינג טיף און אָפֿט דינאָוטאַד דורך ז. ווייַטער דזשענראַלאַזיישאַנז זענען רעפּריזענטיד דורך אַ באפוילן טופּלעט פון N טערמינען, (אַ 1, 2, ..., אַ) ווו ען איז די ויסמעסטונג פון דעם אָרט אין וועלכע די פונט איז ליגן.
 
פילע קאַנסטראַקץ ין עוקלידעאַן דזשיאַמאַטרי צונויפשטעלנ פון אַ ינפאַנאַט זאַמלונג פון ווייזט אַז קאַנפאָרם צו זיכער אַקסיאַמז. דאס איז יוזשאַוואַלי רעפּריזענטיד דורך אַ סכום פון פונקטן; ווי אַ בייַשפּיל, אַ שורה איז אַ ינפאַנאַט שטעלן פון פונקטן פון דער פאָרעם \ סקריפּצטילע {ל = \ לבראַסע (אַ_1, אַ_2, ... אַ_ן) | אַ_1ק_1 + אַ_2ק_2 + ... אַ_נק_ן = ד \ רבראַסע}, ווו ק1 דורך קן און די ביסט קאַנסטאַנץ און ען איז די ויסמעסטונג פון דעם אָרט. ענלעך קאַנסטראַקשאַנז עקסיסטירן אַז דעפינירן די פלאַך, שורה אָפּשניט און אנדערע פֿאַרבונדענע קאַנסעפּס.
 
אין דערצו צו דיפיינינג פונקטן און קאַנסטראַקץ שייַכות צו ווייזט, עוקליד אויך פּאָסטולאַטעד אַ שליסל געדאַנק וועגן פונקטן; ער קליימד אַז קיין צוויי פונקטן קענען זייַן פארבונדן דורך אַ גלייַך שורה. דאס איז לייכט באשטעטיקט אונטער מאָדערן יקספּאַנשאַנז פון עוקלידעאַן דזשיאַמאַטרי, און האט בלייַביק פאלגן אין זייַן הקדמה, אַלאַוינג די קאַנסטראַקשאַן פון כּמעט אַלע די דזשיאַמעטריק קאַנסעפּס פון די צייַט. אבער, עוקליד ס פּאָסטולאַטיאָן פון ווייזט איז ניט גאַנץ אדער דעפיניטיווע, ווי ער טייל מאָל אנגענומען פאקטן וועגן ווייזט אַז האט נישט נאָכגיין גלייַך פון זייַן אַקסיאַמז, אַזאַ ווי די אָרדערינג פון ווייזט אויף די שורה אָדער די עקזיסטענץ פון ספּעציפיש פונקטן. אין להכעיס פון דעם, מאָדערן יקספּאַנשאַנז פון די סיסטעם דינען צו באַזייַטיקן די אַסאַמפּשאַנז.
 
==Verwysings==
Ontsluit van "https://af.wikipedia.org/wiki/Punt_(meetkunde)"