Wiskundige logika

Hierdie artikel bevat nie ’n bronnelys nie, wat beteken dat die inhoud nie geverifieer kan word nie. Enige bevraagtekende inligting mag dus ook mettertyd verwyder word. Help Wikipedia deur betroubare bronne tot die artikel by te voeg.

Wiskundige logika is 'n subveld van wiskunde wat die toepassing van formele logika in wiskunde ondersoek. Dit het 'n noue verband met metawiskunde, die grondslae van wiskunde en teoretiese rekenaarwetenskap. Die verenigende temas in wiskundige logika sluit die studie van die ekspressiewe krag van formele stelsels en die deduktiewe redenasiekrag van formele bewysstelsels in.

Wiskundige logika word dikwels verdeel in die velde van stelteorie, model-teorie, rekursieteorie en bewysteorie. Hierdie velde deel basiese resultate op logika, veral eerste-orde logika, en die definieerbaarheid. In Rekenaarwetenskap (veral in die ACM klassifikasie) omvat wiskundige logika bykomende onderwerpe wat nie in hierdie artikel uiteengesit word nie; sien logika in rekenaarwetenskap.

Wiskundige logika het sedert sy ontstaan beide bygedra tot, en is gemotiveer deur, die studie van die Grondslae van wiskunde. Hierdie studie het begin in die laat 19de eeu met die ontwikkeling van aksiomatiese raamwerke vir meetkunde, rekenkunde en analise. In die vroeë 20ste eeu is dit gevorm deur David Hilbert se program om die konsekwentheid van fundamentele teorieë te bewys. Resultate van Kurt Gödel, Gerhard Gentzen, en ander het gedeeltelike verklaring aan die program verskaf, en die kwessies verduidelik wat betrokke is in die bewys van konsekwentheid. Die werk in vasgestelde teorie het getoon dat bykans alle gewone Wiskunde in terme van stelle geformaliseer kan word, alhoewel daar 'n paar stellings is wat nie bewys kan word in algemene aksioma-stelsels vir vasgestelde teorieë nie. Kontemporêre werk in die grondbeginsels van Wiskunde fokus dikwels op die vestiging van watter besondere dele van Wiskunde formele stelsels (soos in omgekeerde wiskunde) kan formaliseer, eerder as om te probeer om teorieë te vind waarin die gehele wiskunde ontwikkel.

Subvelde en omvang

Die Handboek van Wiskundige Logika (Barwise 1989) maak 'n rowwe afdeling van kontemporêre wiskundige logika in vier gebieds:

1. stelteorie
2. model-teorie
3. rekursieteorie
4. bewysteorie en konstruktiewe wiskunde (word beskou as dele van 'n enkele gebied).

Elke gebied het 'n duidelike fokus, hoewel baie tegnieke en resultate verdeel is onder verskeie gebiede. Die grense onder hierdie velde, en die lyne wat wiskundige logika en ander velde van Wiskunde skei is nie altyd merkbaar nie.  Gödel se onvolledigheidstelling het nie net op 'n mylpaal in rekursie-teorie en bewys-teorie gewys nie, maar het ook gelei tot Löb se stelling in modale logika. Die metode van dwang is in diens gestel van die stel-teorie, model-teorie, en rekursie-teorie, asook in die studie van intuitiewe-wiskunde.

Die wiskundige veld van kategorie-teorie gebruik baie formele aksiomatiese metodes, en sluit die studie van Kategoriese-logika in, maar kategorie-teorie word nie gewoonlik as 'n subveld van wiskundige logika beskou nie. Vanweë die toepaslikheid daarvan in verskillende velde van wiskunde, het sommige wiskundiges, waaronder Saunders Mac Lane, kategorie-teorie voorgestel as 'n grondslagstelsel vir wiskunde, onafhanklik van versamelings-teorie. Hierdie grondslae gebruik toposes, wat ooreenstem met algemene modelle van versamelingsteorie, wat klassieke of nie-klassieke logika kan gebruik.

Eksterne skakels

• Wikimedia Commons het meer media in die kategorie Wiskundige logika.