Differensiaalvergelyking

'n Differensiaalvergelyking is 'n wiskundige vergelyking wat bo en behalwe konstantes en/of veranderlikes, ook een of meer afgeleides van veranderlikes bevat. Die oplossing van 'n differensiaalvergelyking is 'n funksie in die veranderlike(s) van die vergelyking waarvoor die verwantskap van die differensiaalvergelyking waar is. In baie gevalle kan meer as een sulke oplossings bestaan.

Twee groepe differensiaalvergelykings word onderskei:

• 'n Gewone differensiaalvergelyking bevat slegs konstantes en funksies van een veranderlike, saam met die afgeleides van daardie veranderlike.
• 'n Parsiële differensiaalvergelyking bevat meerveranderlike funksies en hulle parsiële afgeleides.

Die graad van 'n differensiaalvergelyking is die graad van die hoogste afgeleide wat dit bevat. 'n Eerstegraadse differensiaalvergelyking bevat dus slegs eerste afgeleides.

Differensiaalvergelykings word gebruik om wiskundige modelle van fisiese fenomene op te stel. Hulle word dus bestudeer in gewone en toegepaste wiskunde. Eienskappe van differensiaalvergelykings wat ondersoek word, is byvoorbeeld of daar oplossings bestaan, en indien wel, of hierdie oplossings uniek is.

Voorbeeld

Hier volg 'n voorbeeld van 'n lineêre tweede-orde differensiaalvergelyking:

$4f^{\prime \prime }(x)+f(x)=\sin(x)$,

Die oplossing hiervoor is:

$f(x)=c_{1}\sin \left({\frac {x}{2}}\right)+c_{2}\cos \left({\frac {x}{2}}\right)-{\frac {1}{3}}\sin(x)$.

In hierdie oplossing is $c_{1}$ en $c_{2}$ willekeurige konstantes (reël of kompleks). Dit wil sê, vir enige keuse van veranderlikes $c_{1}$ en $c_{2}$ sal $f(x)$ 'n oplossing wees. In die praktyk word hierdie konstantes gewoonlik bepaal deur die aanvanklike toestande wat met die probleem geassosieer word.

Sagteware

• ExpressionsinBar
• Maple: dsolve
• SageMath
• Xcas: desolve(y'=k*y,y)

Eksterne skakels

• Polyanin, Andrei: EqWorld: The World of Mathematical Equations - 'n Werf wat fokus op gewone en parsiële differensiaalvergelykings, asook integraal- en ander wiskundige vergelykings.