Fibonacci-reeks

In wiskunde is die Fibonacci-reeks 'n reeks getalle waar elke getal die som van die twee voorafgaande getalle is. Getalle wat deel is van die Fibonacci-reeks staan as Fibonacci-getalle bekend, en word aangedui met die simbool $F n$ . In die natuur kan die Fibonacci-reeks waargeneem word in wat Biomatematika genoem word.

Definisie

Die Fibonacci-spiraal: 'n benadering van die goue spiraal wat geskep word deur sirkelboë te teken wat die teenoorgestelde hoeke van vierkante in die Fibonacci-teëlwerk verbind (sien vorige prent)

Die Fibonacci-getalle kan uitgedruk word soos volg: ^[1]

$F_{0}=0,\quad F_{1}=1,$

vir die eerste twee getalle in die reeks en daarna:

$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$

vir n>1.

Die reeks begin gewoonlik vanaf 0 en 1, alhoewel sommige skrywers die volgorde vanaf 1 en 1 begin, of soms (soos Fibonacci self) vanaf 1 en 2.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ....

Geskiedenis

'n Bladsy van Fibonacci se Liber Abaci. In die blok regs is die eerste 13 inskrywings van die Fibonacci-reeks: die indekse van maande van I tot XII waarin die konyne sou broei, as Romeinse syfers en die getalle (van konynpare) as Hindoe-Arabiese syfers wat begin met 1, 2, 3, 5 en eindig met 377.

Die Fibonacci-getalle is reeds in 200 vC in Indiese wiskunde beskryf in 'n werk deur Pingala oor moontlike getalpatrone in Sanskrit- poësie wat uit lettergrepe gevorm is. Die reeks is vernoem na die Italiaanse wiskundige Leonardo van Pisa, ook bekend as Fibonacci, wat dit aan Wes-Europese wiskunde bekend gestel het in sy 1202 boek Liber Abaci. ^[2]

Dit is verbasend hoe dikwels Fibonacci-getalle in wiskunde verskyn, soveel so dat daar 'n joernaal is wat aan die studie van die reekse gewy is, die Fibonacci Quarterly. Toepassings van Fibonacci-getalle sluit in rekenaar algoritmes soos die Fibonacci-soektegniek en grafieke genaamd Fibonacci-kubusse, wat gebruik word om verskeie stelsels met mekaar te verbind. Hulle verskyn ook in die natuur, soos vertakking in bome, die rangskikking van blare op 'n stam, op 'n pynappel, die blom van 'n artisjok, en die rangskikking van 'n dennebol se skutblare, alhoewel die reeks nie in alle spesies voorkom nie.

Die Fibonacci-reeks is nou verwant aan die goue verhouding: Binet se formule druk die $n$ -de Fibonacci-getal uit in terme van die goue verhouding en $n$ , en impliseer dus dat die verhouding van twee opeenvolgende Fibonacci-getalle neig na die goue verhouding. Fibonacci-getalle is ook verwant aan Lucas-getalle, wat dieselfde herhalingsverwantskap volg en met die Fibonacci-getalle 'n komplementêre paar Lucas-rye vorm.

Die Fibonacci-getalle is die somme van die hoeklyne (in rooi aangedui) van 'n links-gerigte Pascal driehoek .

Die Fibonacci-reeks is die eerste keer in die boek Liber Abaci (The Book of Calculation, 1202) deur Fibonacci^[2] opgeteken. Fibonacci het die groei van 'n hipotetiese (maar biologies onrealistiese) konynbevolking bedink met die veronderstelling dat 'n pasgebore paar konyne in 'n veld geplaas word. Elke broeipaar kan op die ouderdom van een maand paar en aan die einde van hul tweede maand produseer hulle altyd presies een paar konyne en daar is geen konyne wat sterf nie, maar gaan voort om vir ewig te broei. Fibonacci het toe die vraag ontleed: hoeveel pare sal daar na een jaar wees?^[2]

Aan die einde van die eerste maand paar hulle, maar daar is nog net 1 broeipaar.
Aan die einde van die tweede maand produseer die eerste paar 'n nuwe paar, so daar is 2 broeipare in die veld.
Aan die einde van die derde maand produseer die oorspronklike paar 'n tweede broeipaar, maar die tweede paar is nou eers gereed om vir die eerste keer te paar. Daar is dus altesaam 3 pare.
Aan die einde van die vierde maand het die oorspronklike paar nog 'n nuwe paar geproduseer, en die paar wat twee maande vantevore gebore is, produseer ook hul eerste paar, wat 'n totaal van 5 pare gee.

Aan die einde van die $n$ -de maand is die aantal pare konyne gelyk aan die aantal volwasse pare (dit wil sê die aantal pare in maand n–2–2 ) plus die aantal pare in die vorige maand (maand n–1–1 ). Die getal in die $n$ -de maand is die $n$ -de Fibonacci-getal.

Die konsep "Fibonacci-reeks" is vir die eerste keer deur die 19de-eeuse getalteoretikus Édouard Lucas gebruik. Die Fibonacci reeks is een van die eenvoudigste en vroegste reekse wat gedefinieer word deur 'n lineêre herhalingsverwantskap.

Fibonacci priemgetalle

'n Fibonacci-priemgetal is 'n Fibonacci-getal wat ook 'n priemgetal is. Die eerste paar is:

2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, ...

Fibonacci priemgetalle met duisende syfers is gevind, maar dit is nie duidelik of daar 'n oneindige hoeveelheid is nie. ^[3]

Geel kamille blom wat die rangskikking in 21 (blou) en 13 (sian) spirale wys. Sulke rangskikkings wat opeenvolgende Fibonacci-getalle insluit, verskyn in 'n wye verskeidenheid plante.

Verwysings

↑ Lucas 1891.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Sigler 2002.
↑ Diaconis, Persi (2018), "Probabilizing Fibonacci numbers", in Butler, Steve; Cooper, Joshua; Hurlbert, Glenn, Connections in Discrete Mathematics: A Celebration of the Work of Ron Graham, Cambridge University Press, pp. 1–12, ISBN 978-1-107-15398-1, https://statweb.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/probabilizing-fibonacci.pdf

Eksterne skakels

[FOOTNOTELucas1891-1] Lucas 1891.

[FOOTNOTESigler2002-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Sigler 2002.

[3] Diaconis, Persi (2018), "Probabilizing Fibonacci numbers", in Butler, Steve; Cooper, Joshua; Hurlbert, Glenn, Connections in Discrete Mathematics: A Celebration of the Work of Ron Graham, Cambridge University Press, pp. 1–12, ISBN 978-1-107-15398-1, https://statweb.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/probabilizing-fibonacci.pdf

[1]

[2]

[3]