Kongruum

In getalteorie is 'n kongruum (meervoud kongrua) die verskil tussen opeenvolgende vierkantgetalle in 'n rekenkundige progressie van drie blokkies. Dit is as x2, y2 en z2 (vir heelgetalle x, y en z) drie vierkante getalle is wat eweredig van mekaar geskei is, dan word die spasiëring tussen hulle, z2 – y2 = y2 – x2, 'n kongruum.

Die twee regte driehoeke met hul bene (7, 13) en skuinssye (13, 17) het elk 'n gelyke derde sy met die lengte √120. Die vierkant van hierdie sy, 120, is 'n kongruum: dit is die verskil tussen opeenvolgende waardes in die rekenkundige vordering van die blokkies 72, 132, 172. Anders gestel, die twee annuli tussen die drie geel sirkels het gelyke oppervlakte, met 'n waarde van π-keer die kongruum.

Die kongruumprobleem is die probleem om blokkies te vind in rekenkundige progressie en hul geassosieerde kongrua. Dit kan as 'n diofantiese vergelyking geformaliseer word: vind heelgetalle x, y en z soos dit

$y^{2}-x^{2}=z^{2}-y^{2}.$

Wanneer hierdie vergelyking bevredig word, is albei kante van die vergelyking gelyk aan die kongruum.

Fibonacci het die kongruumprobleem opgelos deur 'n formule met parameters te vind vir die opwekking van alle kongrua, tesame met hul gepaardgaande rekenkundige progressies. Volgens hierdie formule is elke kongruum vier keer die gebied van 'n Petagorasdriehoek.

Kongrua is ook nou verbind met kongruente getalle: elke kongruum is 'n kongruente getal, en elke kongruente getal is 'n kongruum vermenigvuldig met die vierkant van 'n rasionale getal.

Voorbeelde

Byvoorbeeld, die getal 96 is 'n kongruum, aangesien dit die verskil is tussen elke paar van die drie vierkante 4, 100 en 196 (die vierkante van 2, 10 en 14 onderskeidelik).

Die eerste paar kongrua is:

24, 96, 120, 216, 240, 336, 384, 480, 600, 720…ens.

Geskiedenis

Die kongruumprobleem is oorspronklik in die jaar 1225 gestel as deel van 'n wiskundige toernooi wat deur Frederik II, die Heilige Romeinse Keiser gehou is, en op daardie tydstip deur Fibonacci korrek beantwoord is. Hy het sy werk met hierdie probleem in sy boek van vierkante aangeteken.

Fibonacci was reeds bewus daarvan dat dit onmoontlik is vir 'n kongruum om self 'n vierkant te wees, maar het nie 'n bevredigende bewys van hierdie feit gegee nie. Geometries beteken dit dat dit nie moontlik is vir die paar bene van 'n Petagorasdriehoek die been en skuinssy van 'n ander Petagorasdriehoek nie. 'n Bewys is uiteindelik deur Pierre de Fermat gegee, en die resultaat staan nou bekend as Fermat se regtedriehoekstelling. Fermat het ook vermoed, en Leonhard Euler het dit bewys, dat daar geen volgorde van vier vierkante in rekenkundige progressie is nie.

Parameteriseerde oplossing

Die kongruumprobleem kan opgelos word deur twee afsonderlike positiewe heelgetalle m en n (met m> n) te kies; Dan is die getal 4mn (m2 -n2) 'n kongruum. Die middelste vierkant van die gepaardgaande rekenkundige vordering van vierkante is (m2 + n2) 2, en die ander twee blokkies kan gevind word deur die kongruum by te voeg of af te trek. Verder vermenigvuldig 'n kongruum met 'n vierkantige getal 'n ander kongruum, wie se vordering van vierkante vermenigvuldig word met dieselfde faktor. Alle oplossings ontstaan op een van hierdie twee maniere. Byvoorbeeld, die kongruum 96 kan met hierdie formules saamgestel word met m = 3 en n = 1, terwyl die kongruum 216 verkry word deur die kleiner kongruum 24 met die vierkant nommer 9 te vermenigvuldig

'n Ekwivalente formulering van hierdie oplossing, gestel deur Bernard Frénicle de Bessy, is dat vir die drie vierkante in rekenkundige vordering x2, y2 en z2, die middelgetal y die skuinssy van 'n Petagorasdriehoek is en die ander twee getalle x en z is die verskil en som onderskeidelik van die driehoeke se twee kante. Die kongruum self is vier keer die gebied van dieselfde Petagorasdriehoek. Die voorbeeld van 'n rekenkundige vordering met die kongruum 96 kan op hierdie wyse verkry word vanaf 'n regtedriehoek met sy- en skuinssyferlengtes 6, 8 en 10.

Verband met kongruente getalle

'n Kongruente getal word gedefinieer as die oppervlakte van 'n regtedriehoek met rasionele sye. Omdat elke kongruum (met behulp van die geparameteriseerde oplossing) as die gebied van 'n Petagorasdriehoek verkry kan word, volg dit dat elke kongruum kongruent is. Omgekeerd is elke kongruente getal 'n kongruum vermenigvuldig met die vierkant van 'n rasionale getal.

Om te toets of 'n getal 'n kongruum is, is egter baie makliker as om te toets of 'n getal kongruent is. Vir die kongruumprobleem, verminder die geparameteriseerde oplossing hierdie toetsprobleem om 'n eindige stel parameterwaardes te kontroleer. In teenstelling hiermee, vir die kongruente nommerprobleem, is 'n eindige toetsprosedure slegs bewustelik bekend, via Tunnell se stelling, onder die aanname dat die Birch- en Swinnerton-Dyer-veronderstelling waar is

Sien ook

• Spiraal van Theodorus, gevorm deur regtedriehoeke wat se (nie-heelgetalle) sye, wanneer dit kwadraat is, 'n oneindige rekenkundige progressie vorm.