Kwadratiese vergelyking

'n Kwadratiese vergelyking (of vierkantsvergelyking) is 'n wiskundige vergelyking in die vorm:

Grafieke van die reële waardes van die kwadratiese vergelyking ax² + bx + c (parabool)

$y=ax^{2}+bx+c$

'n Kwadratiese vergelyking gee 'n parabool op 'n grafiek.

Oplossing van 'n kwadratiese vergelyking

'n Kwadratiese vergelyking kan op drie maniere opgelos word:

1. Faktorisering
2. Kwadratiese formule
3. Iteratiewe metode

Faktorisering van 'n kwadratiese vergelyking

Standaard vorme:

$1)\quad ax^{2}-b=\left({\sqrt {a}}x-{\sqrt {b}}\right)^{2}$

$2)\quad x^{2}+2ax+a^{2}=\left(x+a\right)^{2}$            of            $x^{2}+Ax+\left({\frac {A}{2}}\right)^{2}=\left(x+{\frac {A}{2}}\right)^{2}$

$3)\quad a^{2}x^{2}+2abx+b^{2}=\left(ax+b\right)^{2}$

Voorbeeld 1

$x^{2}+x-6=0$       kan ook soos volg geskryf word:

$(x+3)(x-2)=0$

Dus is       $x+3=0$       of       $x-2=0$

Dus is       $x=-3$       of       $x=2$

Voorbeeld 2

$4x^{2}-9=0$ kan ook soos volg geskryf word:

$\left({\sqrt {4}}x-{\sqrt {9}}\right)^{2}=(2x-3)^{2}=0$

Dus is       $2x-3=0\qquad \Rightarrow \qquad x={\frac {3}{2}}$

Kwadratiese formule

Om die kwadratiese formule af te lei, kyk ons na die volgende voorbeeld:

$1)\ 2x^{2}+4x-4=0$

Deel elke term nou met 2:

$2)\ x^{2}+2x-2=0$

$3)\ x^{2}+2x=2$

$4)\ x^{2}+2x+1=2+1$

$5)\ \left(x+1\right)^{2}=3$

$6)\ x+1=\pm {\sqrt {3}}$

$7)\ x=-1\pm {\sqrt {3}}$

Doen nou dieselfde vir die algemene vergelyking:

$1)\ ax^{2}+bx+c=0$

Deel elke term nou met a:

$2)\ x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$

$3)\ x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}$

As                 $x^{2}+Ax+\left({\frac {A}{2}}\right)^{2}=\left(x+{\frac {A}{2}}\right)^{2}$       (kyk standaard vorme), skryf dan die formule soos volg:

$4)\ x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}$

$5)\ \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$

$6)\ x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$

$7)\ x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$

Kyk ook

• Vergelyking (wiskunde)
• Polinoom
• Lineêre vergelyking
• Derdegraadse vergelyking