Parabool

Die parabool (uit Grieks: παραβολή) is 'n keëlsnit wat gegenereer word deur die snyding van 'n regtesirkelkeëloppervlak en 'n vlak parallel aan 'n generator lyn van die keël. 'n Parabool kan ook gedefinieer word as die lokus van punte in 'n vlak wat ewe ver van 'n gegewe punt (die brandpunt) en 'n gegewe lyn (die direktriks) is. 'n Parabool word beskryf deur 'n kwadratiese vergelyking.

'n Parabool

'n Besondere geval kom voor wanneer die vlak 'n raakvlak tot die keëlvlak is. In die geval is die snyding 'n ontaarde parabool wat bestaan uit 'n reguit lyn.

Definisies en oorsig

'n Grafiek wat die weerkaatsing eienskap vertoon, die direktriks (groen), en die lyne wat die brandpunt en die direktriks aan die parabool verbind (blou)

Analitiese meetkundige vergelykings

In Cartesiese koördinate het 'n parabool met 'n as parallel aan die y-as met toppunt (of onderpunt) (h, k), brandpunt (h, k + p), en direktriks y = k – p, waar p die afstand is van die toppunt (of onderpunt) na die brandpunt is, die vergelyking

$(x-h)^{2}=4p(y-k)\,$

of, alternatiewelik

$(y-k)={\frac {1}{4p}}(x-h)^{2}\,$

Meer algemeen is 'n parabool 'n kromme in die Cartesiese vlak gedefinieer deur 'n onverminderbare vergelyking van die vorm

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

sodat $B^{2}=4AC$, waar al die koëffisiënte reël is, waar A en/of C nie-nul is, en waar meer as een oplossing bestaan wat die punte paar (x, y) op die parabool definieer. Met die onverminderbaarheid van die vergelyking word bedoel dat dit nie na die produk van twee nie noodwendig verskillende lineêre faktore gefaktoriseer kan word nie.

Ander meetkundige definisies

'n Parabool kan ook gedefinieer word as 'n keëlsnit met eksentrisiteit 1. As gevolg hiervan is alle parabole soortgelyk. 'n Parabool kan ook verkry word as die limiet van 'n reeks ellipse waar een brandpunt by 'n vaste punt gehou word terwyl die ander toegelaat word om arbitrêr ver in een rigting te beweeg. In die sin kan 'n parabool beskou word as 'n ellips wat een brandpunt by oneindigheid het. Die parabool is 'n inverse transformasie van 'n kardioïed.

'n Parabool het 'n enkele as van reflektiewe simmetrie wat deur die brandpunt daarvan gaan en reghoekig tot die direktriks daarvan is. Die snydingspunt van die as en die parabool word die toppunt genoem. 'n Parabool wat in drie dimensies om die as gedraai word trek 'n vorm wat as 'n omwentelingsparaboloïed bekend staan af.

Die parabool kom in talle omstandighede in die fisiese wêreld voor.

Vergelykings

(met toppunt (h, k) en afstand p tussen die toppunt en die brandpunt – let wel dat indien die toppunt onder die brandpunt is, of ekwivalentsgewys bo die direktriks, is p positief, andersins is p is negatief; op soortgelyke manier is p met horisontale simmetrieas positief as die toppunt links van die brandpunt is of ekwivalentsgewys regs van die direktriks)

Cartesies

Vertikale simmetrieas

$(x-h)^{2}=4p(y-k)\,$

$y=a(x-h)^{2}+k\,$

$y=ax^{2}+bx+c\,$

${\mbox{waar }}a={\frac {1}{4p}};\ \ b={\frac {-h}{2p}};\ \ c={\frac {h^{2}}{4p}}+k;\ \$

$h={\frac {-b}{2a}};\ \ k={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$.

$x(t)=2pt+h;\ \ y(t)=pt^{2}+k\,$

Horisontale simmetrieas

$(y-k)^{2}=4p(x-h)\,$

$x=a(y-k)^{2}+h\,$

$x=ay^{2}+by+c\,$

${\mbox{waar }}a={\frac {1}{4p}};\ \ b={\frac {-k}{2p}};\ \ c={\frac {k^{2}}{4p}}+h;\ \$

$h={\frac {4ac-b^{2}}{4a}};\ \ k={\frac {-b}{2a}}$.

$x(t)=pt^{2}+h;\ \ y(t)=2pt+k\,$

Semi-latus rectum en poolkoördinate

In poolkoördinate word 'n parabool met brandpunt by die oorsprong en toppunt op die negatiewe x-as, gegee deur die vergelyking

$r(1-\cos \theta )=l\,$

waar l die semi-latus rectum is: die afstand van die brandpunt na die parabool self, gemeet langs 'n lyn loodreg tot die as. Let wel dat dit dubbel die afstand van die brandpunt tot by die toppunt van die parabool is of die reghoekige afstand van die brandpunt tot by die latus rectum.

Gauss-kaart vorm

'n Gauss-kaart vorm: $(\tan ^{2}\phi ,2\tan \phi )$ het die normaal $(\cos \phi ,\sin \phi )$.

Bepaling van die brandpunt

Gegee 'n parabool parallel aan die y-as met toppunt (0,0) en met vergelyking

$y=ax^{2},\qquad \qquad \qquad (1)$

Paraboliese kromme wat die Direktriks vertoon. Die vergelyking daarvan is: $x^{2}=8y$

dan is daar 'n punt (0,f) — die brandpunt — sodat enige punt P op die parabool ewe ver van beide die brandpunt en die en 'n lyn reghoekig tot simmetrie-as van die parabool (die linea directrix), in die geval parallel aan die x-as. Aangesien die toppunt een van die moontlike punte P is, volg dit dat die linea directrix deur die punt (0,-f) gaan. Dus vir enige punt P=(x,y), sal dit ewe ver van (0,f) en (x,-f) wees. Die probleem is om die waarde van f te vind wat die eienskap het.

Laat F die brandpunt aandui, en laat Qdie punt by (x,-f) aandui. Lyn FP het die selfde lengte as lyn QP.

$\|FP\|={\sqrt {x^{2}+(y-f)^{2}}},$

$\|QP\|=y+f.$

$\|FP\|=\|QP\|$

${\sqrt {x^{2}+(ax^{2}-f)^{2}}}=ax^{2}+f\qquad$

Kwadreer beide kante,

$x^{2}+(ax^{2}-f)^{2}=(ax^{2}+f)^{2}\qquad$

$=a^{2}x^{4}+f^{2}+2ax^{2}f\quad$

$x^{2}+a^{2}x^{4}+f^{2}-2ax^{2}f=a^{2}x^{4}+f^{2}+2ax^{2}f\quad$

Kanselleer terme aan beide kante,

$x^{2}-2ax^{2}f=2ax^{2}f,\quad$

$x^{2}=4ax^{2}f.\quad$

Kanselleer aan beide kante die x² uit (x is gewoonlik nie nul nie),

$1=4af\quad$

$f={1 \over 4a}$

Nou laat p=f en die vergelyking van die parabool word

$x^{2}=4py\quad$

Q.E.D.

Weerkaatsingseienskap van die raaklyn

Die raaklyn van die parabool beskryf deur vergelyking (1) het helling

${dy \over dx}=2ax={2y \over x}$

Die lyn sny die y-as by die punt (0,-y) = (0, - a x²), en die x-as by die punt (x/2,0). Laat die punt G genoem word. Punt G is ook die middelpunt van punte F en Q:

$F=(0,f),\quad$

$Q=(x,-f),\quad$

${F+Q \over 2}={(0,f)+(x,-f) \over 2}={(x,0) \over 2}=({x \over 2},0).$

Aangesien G die middelpunt van die lyn FQ is, beteken dit dat

$\|FG\|\cong \|GQ\|,$

en dit is reeds bekend dat P ewe ver van beide F en Q is:

$\|PF\|\cong \|PQ\|,$

en, derdens, lyn GP is gelyk aan ditself, daarom:

$\Delta FGP\cong \Delta QGP$

Dit volg dat $\angle FPG\cong \angle GPQ$.

Lyn QP kan verby P verleng word na 'n punt T, en lyn GP kan verleng word verby P na 'n punt R. Dan is $\angle RPT$ en $\angle GPQ$ vertikaal, dus is hulle gelyk (kongruent). Maar $\angle GPQ$ is gelyk aan $\angle FPG$. Daarom is $\angle RPT$ gelyk aan $\angle FPG$.

Die lyn RG is 'n raaklyn aan die parabool by P, dus sal enige ligstraal wat van punt P weerkaats word optree asof RG 'n spieël is en van die spieël weerkaats word.

Laat 'n ligstraal langs die vertikale lyn TP beweeg en van 'n punt P weerkaats word. Die straal se invalshoek op die spieël is $\angle RPT$, dus wanneer dit weerkaats word moet die invalshoek gelyk wees aan $\angle RPT$. Maar daar is reeds gewys dat $\angle FPG$ gelyk is aan $\angle RPT$. Daarom weerkaats die straal langs die lyn FP: direk in die na die brandpunt.

Gevolgtrekking: Enige ligstraal wat vertikaal afwaarts in die holte van die parabool beweeg (parallel aan die simmetrie-as) sal direk na die branpunt van die parabool af weerkaats word. (Kyk paraboliese weerkaatser.)

Parabole in die fisiese wêreld

In die natuur word benaderings van parabole en paraboloïede in 'n verskeidenheid van omstandighede aangetref. Die bekendste voorbeeld van die parabool in die geskiedenis van fisika is die trajek van 'n deeltjie of liggaam wat onder die invloed van 'n eenvormige gravitasie veld sonder lugweerstand beweeg (byvoorbeeld 'n krieketbal wat deur die lug trek as lugwrywing weggelaat word). Die paraboliese trajek van projektiele is in die begin van die 17de eeu eksperimenteel deur Galileo, wat eksperimente met die rol van balle op skuins vlakke uitgevoer het, ontdek. Die paraboliese vorm van projektielbeweging is later wiskundig deur Isaac Newton bewys. Vir voorwerpe wat oor ruimte uitgestrek is, soos 'n duiker wat van 'n duikplank af spring, volg die voorwerp self 'n ingewikkelde pad terwyl dit roteer, maar die massamiddelpunt van die voorwerp volg steeds 'n paraboliese pad. Soos in alle gevalle in die fisiese wêreld is die trajek altyd 'n benadering van 'n parabool. Die teenwoordigheid van lug vervorm byvoorbeeld altyd die pad. Teen lae snelhede is die vorm egter 'n goeie benadering van 'n parabool. Teen hoër snelhede soos in ballistiek, is die pad hoogs vervorm en lyk dit nie soos 'n parabool nie.

Paraboliese vorm gevorm deur die oppervlak van 'n vloeistof onder rotasie

'n Ander geval waar 'n parabool in die natuur kan voorkom is in twee-liggaam wentelbane, byvoorbeeld wanneer 'n klein planeetjie of ander voorwerp onder die invloed van die son beweeg. Sulke paraboliese wentelbane is spesiale gevalle wat selde in die natuur aangetref word. Wentelbane wat 'n hiperbool of 'n ellips vorm is baie meer algemeen. Om die waarheid te sê, die paraboliese wentelbaan is die grensgeval tussen die twee tipes bane.

Benaderings van parabole word ook aangetref in die vorm van kabels van hangbrûe. Vryhangende kabels beskryf nie parabole nie maar eerder kettinglyne. Onder die invloed van 'n eenvormige lading (soos 'n brugdek byvoorbeeld), word dit egter tot 'n parabool vervorm.

Paraboloïede word ook in verskeie fisiese omstandighede aangetref. Die bekendste hiervan is die paraboliese weerkaatser, wat 'n spieël of soortgelyke weerkaatsende toestel is wat lig of ander vorme van elektromagnetiese straling na 'n gemene brandpunt weerkaats. Die beginsel van 'n paraboliese weerkaatser is in die 3de eeu v.C. deur die meetkundige Archimedes ontdek. Volgens oorlewering het hy paraboliese spieëls gebruik om Syracuse teen die Romeinse vloot te verdedig deur die son se strale te konsentreer om die Romeinse skepe aan die brand te steek. Die beginsel is van die 17de eeu toegepas in teleskope. vandag word paraboliese weerkaatsers algemeen gebruik in mikrogolf antennes, satellietskottels ens. Dit word ook omgekeerd in beligting gebruik om 'n punt bron soos 'n gloeilamp se uitstraling in 'n nou bundel te fokus.

Paraboloïed word ook waargeneem in die oppervlak van 'n vloeistof beperk tot 'n houer en geroteer om 'n sentrale as. In die geval veroorsaak die middelpuntvlietende krag dat die vloeistof teen die wande van die houer op beweeg om 'n paraboliese oppervlak te vorm. Dit is die beginsel agter die vloeistofspieëlteleskoop.

Kyk ook

• Paraboloïed
• Ellips
• Hiperbool
• Keëlsnit
• Kettinglyn

Eksterne skakels

• Weisstein, Eric W., Parabola op MathWorld.
• Archimedes Triangle and Squaring of Parabola at cut-the-knot
• Two Tangents to Parabola at cut-the-knot
• Parabola As Envelope of Straight Lines at cut-the-knot
• Parabolic Mirror at cut-the-knot
• Three Parabola Tangents at cut-the-knot
• Two Tangents to Parabola at cut-the-knot
• Focal Properties of Parabola at cut-the-knot
• Parabola As Envelope II at cut-the-knot