Niven se stelling

In wiskunde sê Niven se stelling (genoem na Ivan Niven) dat die enigste rasionale waardes van θ in the interval 0° ≤ θ ≤ 90° waarvoor die sinus van θ grade ook rasionaal is, die hoeke in die volgende drie gevalle is:

${\begin{aligned}\sin 0^{\circ }&=0,\\[10pt]\sin 30^{\circ }&={\frac {1}{2}},\\[10pt]\sin 90^{\circ }&=1.\end{aligned}}$

In radiale word vereis dat 0 ≤ x ≤ π/2, dat x/π rasionaal is, en dat sin x rasionaal is. Die stelling geld dus vir sin 0 = 0, sin π/6 = 1/2, en sin π/2 = 1.

Die stelling verskyn as Corollarium 3.12 in Niven se boek oor irrasionale getalle.

Die stelling kan ook na die ander trigonometriese funksies uitgebrei word. Vir rasionale waardes van θ is die enigste rasionale waardes van die sinus of kosinus 0, ±1/2, en ±1; die enigste rasionale waardes van die sekans of kosekans is ±1 en ±2, en die enigste rasionale waardes van die tangens of kotangens is 0 en ±1.

Sien ook

• Pythagorese drietalle vorm regte hoeke waar die trigonometriese funksies altyd rasionale waardes aanneem, alhoewel die skerphoeke nie rasionaal is nie
• Trigonometriese funksies
• Trigonometriese getal

Verdere leesstof

• Olmsted, J. M. H. (1945). "Rational values of trigonometric functions". Am. Math. Monthly. 52 (9): 507–508. JSTOR 2304540.
• Lehmer, Derik H. (1933). "A note on trigonometric algebraic numbers". Am. Math. Monthly. 40 (3): 165–166. JSTOR 2301023.

Eksterne skakels

• Weisstein, Eric W., Niven se stelling op MathWorld.
• Niven se stelling op ProofWiki