Spiraal

'n Spiraal is 'n kurwe wat by 'n punt begin en as die kurwe om die beginpunt draai, beweeg dit verder weg. Spirale kan in twee of drie dimensies bestaan.

Spirale in twee dimensies

In twee dimensies kan spirale in poolkoördinate gedefinieer word deur die vergelyking:

$r=f(\theta )$ (waar $f(\theta )$ 'n monototiese toenemende funksie is)

of in kartesiese koördinate deur

$x=f(\theta )\cos \theta ,\qquad y=f(\theta )\sin \theta .$

Die bekendste spirale sluit in:

• Die Archimedesspiraal: $r=a\theta$
• DIe Hiperboliese spiraal: $r=a/\theta$
• Fermat se spiraal: $r=a\theta ^{1/2}$
• Die lituus: $r=a\theta ^{-1/2}$
• Die logaritmiese spirale: $r=ae^{k\theta }$
• Die Klotoïde
• Die Fibonaccispiraal en die spiral
• Die Spiraal van Theodorus: 'n benaadering van die Archimedesspiraal - Dit is saamgestel uit aangrensende regte hoeke.
• Die evolvente van 'n sirkel, wat twee keer op elke tand van byna elke moderne rat gebruik word.

• 

  Archimedesspiraal

• 

  Hiperboliese spiraal

• 

  Fermat se spiraal

• 

  lituus

• 

  logaritmiese spiraal

• 

  Klotoïde

• 

  Spiraal van Theodorus

• 

  Fibonaccispiraal (goue spiraal)

• 

  Die evolvente van 'n sirkel(swart) is nie precies deselfde as die Archimedesspiraal (rooi).

Eienskappe

Die eiendomme wat hier beskryf word, is van toepassing op die meeste spirale van die vorm $r=f(\theta )$, veral vir die gevalle $r=a\theta ^{n}$ (Archimedesespiraal, hiperboliesespiraal, Fermatsespiraal, lituusspirale) en die logaritmiese spiraal $r=ae^{k\theta }$

Definisie van sektor (ligblou) en polêre hellinghoek $\alpha$

Polêre hellinghoek

Die hoek $\alpha$ tussen die spiraal raaklyn en die ooreenstemmende poolsirkel (sien diagram) word die polêre hellinghoek genoem en $\tan \alpha$ die poolhelling. Die formule vir die poolhelling $\alpha$, wat afgelei kan word van vektoranalise in poolkoördinate is:

$\tan \alpha ={\frac {r'}{r}}\$ waar $r'$ is $dr/d\theta$

In meeste gevalle is die poolhelling 'n funksie van $\theta$, maar in hierdie opsig is die logaritmiese spiraal spesiaal want sy poolhelling is 'n kontant: $\ \tan \alpha =k\$

Kromming

Die kromming $\kappa$ van 'n kurwe met poolvergelyking $r=r(\theta )$ is

$\kappa ={\frac {r^{2}+2(r')^{2}-r\;r''}{(r^{2}+(r')^{2})^{3/2}}}\ .$

Sektor oppervlak

Die oppervlak van 'n sektor van 'n kurwe (sien diagram) met poolvergelyking $r=r(\theta )$ is

$A={\frac {1}{2}}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}(r(\theta ))^{2}\;d\theta \ .$

Booglengte

Die booglengte van 'n spiraal met poolvergelyking $r=r(\theta )$ is:

$L=\int \limits _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\theta )\right)^{2}+r^{2}(\theta )}}\,\mathrm {d} \theta \ .$

Spirale in drie dimensies

In drie dimensies, is dit nodig om twee vergelykings te gebruik om 'n spiraal te beskryf. Dit is die gewoonte om silindriese poolkoördinate te gebruik om driedimensionele spirale te beskryf. Hierdie vergelykings is:

$r=f(\theta )$
$z=g(\theta )$
met die vereiste dat óf $f(\theta )$ óf $g(\theta )$ 'n monototiese toenemende funksie is.

Silindriese spiraal, ook bekend as 'n spoel

Silindriese spiraal

Die silindriese spiraal (of spoel) is die eenvoudigste driedimensionele spiraal. Dit word beskryf deur die vergelykings:

$r=\alpha ,\ \alpha >0\;$

$z=\beta \theta ,\ \beta >0$

waar $\alpha$ is die radius van die spoel en $2\pi \beta$ is die spasiëring van opeenvolgende spoele.

Koniese spiraal

Conic spiral with Archimedean spiral as floor plan

Indien 'n spiraal in die x-y-vlak bestaan met die parametriese vergelykings

$x=r(\theta )\cos \theta \ ,\qquad y=r(\theta )\sin \theta$

dan kan 'n derde koördinaat $z$ sodanig ingebring word met die beperking:

$\;m(x^{2}+y^{2})=(z-z_{0})^{2}\ ,\ m>0\;$:

met die gevolg dat die kromme op 'n keël sal lê met die parametriese vergelykings

$x=r(\theta )\cos \theta \ ,\qquad y=r(\theta )\sin \theta \ ,\qquad z=z_{0}+mr(\theta )\ .$

Sulke spirale kry die naam koniese spirale

Voorbeeld

As iemand met 'n archimedean spiral $\;r(\theta )=a\theta \;$ kry hy 'n koniese spiraal van (sien beeld regs):

$x=a\theta \cos \theta \ ,\qquad y=a\theta \sin \theta \ ,\qquad z=z_{0}+ma\theta \ ,\quad \theta \geq 0\ .$

Spherical spiral with $c=8$

Sferiese spirale

Die oppervlak van 'n sfeer, radius $r$, kan voorgestel word deur die volgende vergelykings::

${\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi \\y&=&r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\z&=&r\cdot \cos \theta \end{array}}$

Wanneer $\varphi$ voorgestel is deur die vergelyking $\;\varphi =c\theta ,\;c>2\;,$, kry 'n mens 'n sferiese kurwe met die naam sferiese spiraal. met die parametriese voorstelling ($c$ is gelyk aan twee mal die aantal draaie):

${\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \sin \theta \cdot \cos c\theta \\y&=&r\cdot \sin \theta \cdot \sin c\theta \\z&=&r\cdot \cos \theta \qquad \qquad 0\leq \theta \leq \pi \ .\end{array}}$