'n Spiraal is 'n kurwe wat by 'n punt begin en as die kurwe om die beginpunt draai, beweeg dit verder weg. Spirale kan in twee of drie dimensies bestaan.

Spirale in twee dimensies

wysig

In twee dimensies kan spirale in poolkoördinate gedefinieer word deur die vergelyking:

  (waar   'n monototiese toenemende funksie is)

of in kartesiese koördinate deur

 

Die bekendste spirale sluit in:

Eienskappe

wysig

Die eiendomme wat hier beskryf word, is van toepassing op die meeste spirale van die vorm  , veral vir die gevalle   (Archimedesespiraal, hiperboliesespiraal, Fermatsespiraal, lituusspirale) en die logaritmiese spiraal  

 
Definisie van sektor (ligblou) en polêre hellinghoek  

Polêre hellinghoek

wysig

Die hoek   tussen die spiraal raaklyn en die ooreenstemmende poolsirkel (sien diagram) word die polêre hellinghoek genoem en   die poolhelling. Die formule vir die poolhelling  , wat afgelei kan word van vektoranalise in poolkoördinate is:

  waar   is  

In meeste gevalle is die poolhelling 'n funksie van  , maar in hierdie opsig is die logaritmiese spiraal spesiaal want sy poolhelling is 'n kontant:  

Kromming

wysig

Die kromming   van 'n kurwe met poolvergelyking   is[1]

 

Sektor oppervlak

wysig

Die oppervlak van 'n sektor van 'n kurwe (sien diagram) met poolvergelyking   is

 

Booglengte

wysig

Die booglengte van 'n spiraal met poolvergelyking   is:

 

Spirale in drie dimensies

wysig

In drie dimensies, is dit nodig om twee vergelykings te gebruik om 'n spiraal te beskryf. Dit is die gewoonte om silindriese poolkoördinate te gebruik om driedimensionele spirale te beskryf. Hierdie vergelykings is:

 
 
met die vereiste dat óf   óf   'n monototiese toenemende funksie is.
 
Silindriese spiraal, ook bekend as 'n spoel

Silindriese spiraal

wysig

Die silindriese spiraal (of spoel) is die eenvoudigste driedimensionele spiraal. Dit word beskryf deur die vergelykings:

 
 
waar   is die radius van die spoel en   is die spasiëring van opeenvolgende spoele.

Koniese spiraal

wysig
 
Conic spiral with Archimedean spiral as floor plan

Indien 'n spiraal in die x-y-vlak bestaan met die parametriese vergelykings

 

dan kan 'n derde koördinaat   sodanig ingebring word met die beperking:

 :

met die gevolg dat die kromme op 'n keël sal lê met die parametriese vergelykings

 

Sulke spirale kry die naam koniese spirale

Voorbeeld

wysig

As iemand met 'n archimedean spiral   kry hy 'n koniese spiraal van [2] (sien beeld regs):

 
 
Spherical spiral with  

Sferiese spirale

wysig

Die oppervlak van 'n sfeer, radius  , kan voorgestel word deur die volgende vergelykings:[3]:

 

Wanneer   voorgestel is deur die vergelyking  , kry 'n mens 'n sferiese kurwe met die naam sferiese spiraal. [4] met die parametriese voorstelling (  is gelyk aan twee mal die aantal draaie):

 

Verwysings

wysig
  1. Svirin, Alex. "Curvature and Radius of Curvature" (in English). Math24. Geargiveer vanaf die oorspronklike op 22 April 2021. Besoek op 23 Maart 2021.{{cite web}}: AS1-onderhoud: onerkende taal (link)
  2. Ferréol, Robert (2018). "Conical spiral of Pappus" (in English). mathcurve.com.{{cite web}}: AS1-onderhoud: onerkende taal (link)
  3. Ferréol, Robert; Mandonnet, Jacques (2018). "Clelia" (in English). mathcurve.com.{{cite web}}: AS1-onderhoud: onerkende taal (link)
  4. Kuno Fladt: Analytische Geometrie spezieller Flächen und Raumkurven, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3322853659, 9783322853653, S. 132