Archimedesspiraal

'n Archimedeanspiraal (ook rekenkundige spiraal), is 'n spiraal wat vernoem is na die 3de eeu v.C. Griekse wiskundige Archimedes; dit is die lokus van punte wat ooreenkom met die ligging oor tyd van 'n punt wat weg van 'n vaste punt beweeg teen 'n konstante spoed langs 'n lyn wat teen konstante hoeksnelheid roteer.

Drie 360° draaie van een arm van 'n Archimedesspiraal

Geskiedenis

In poolkoördinate (r, θ) kan die Archimedesspiraal beskryf word deur die vergelyking

$\,r=a+b\theta$

met reële getalle a en b. Verandering van die parameter a sal die spiraal draai, terwyl b die afstand tussen opeenvolgende draaie bepaal. Archimedes beskryf so 'n spiraal in sy boek Oor Spirale.

Hierdie Archimedesspiraal word onderskei van die logaritmiese spiraal deurdat opeenvolgende draaie van die spiraal 'n konstante afstand van mekaar is (gelyk aan 2πb as θ in radiale gemeet word), terwyl hierdie afstande in 'n logaritmiese spiraal meetkundige vermeerder.

Let daarop dat die Archimedese spiraal twee arms het, een vir θ > 0 en een vir θ < 0. Die twee arms is glad verbind by die oorsprong. Slegs een arm word op die meegaande grafiek vertoon. Die spieëlbeeld om die y-as sal die ander arm lewer.

Een metode vir die kwadratuur van die sirkel, deur die streng beperkings tot die gebruik van 'n liniaal en 'n passer te verslap, in antieke Griekse meetkundige bewyse, maak gebruik van 'n Archimedesspiraal.

Uitbreidings van Archimedesspiral

Soms word die term Archimedesspiraal vir die meer algemene groep spirale gebruik:

$r=a+b\theta ^{1\!/\!x}.$

Die normale Archimedesspiraal kom voor wanneer x = 1. Ander spirale wat in die groep val sluit die hiperboliese spiraal, Fermat se spiraal, en die lituus in. So te sê alle statiese spirale wat in die natuur voorkom is logaritmiese spirale, nie Archimedesspirale nie. baie dinamiese spirale (soos die Parkerspiraal van die solar wind, of die patroon wat deur 'n Catherine's wheel gemaak word is Archimedesspriraal.

• 
  Hiperboliese spiraal
• 
  Fermat se spiraal
• 
  lituus

Eienskappe

Definisie van sektor (ligblou) en polêre hellingshoek $\alpha$

Polêre hellingshoek

Die hoek $\alpha$ tussen die spiraal raaklyn en die ooreenstemmende poolsirkel (sien diagram) word die polêre hellingshoek genoem en $\tan \alpha$ die poolhelling. Die verwysing vir die polêre hellingshoek van die Archimedesspriaal word uitgedruk as:

$\;\tan \alpha ={\tfrac {1}{\theta }}\$

Oppervlak van 'n sektor

Die oppervlak van 'n sektor van 'n spiraal (sien diagram) van met vergelyking $r=r(\theta )$ is

$A={\frac {1}{2}}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}r(\theta )^{2}\;d\theta \ .$

In die geval van die Archimedesspriaal met die beskywing $r=a\theta$ is die vergelyking

$A={\frac {1}{2}}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}a^{2}\theta ^{2}\;d\theta ={\frac {a^{2}}{6}}{\big (}\theta _{2}^{3}-\theta _{1}^{3}{\big )}\$

Booglengte

Die lengte van 'n boog van 'n kurwe met poolvergelyking $r=r(\theta )$ is

$L=\int \limits _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\theta )\right)^{2}+r^{2}(\theta )}}\,\mathrm {d} \theta \ .$

Vir die Archimedesspriaal $r=a\theta \;$ is die lengte

$L=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\sqrt {{\frac {r^{2}}{\theta ^{2}}}+r^{2}}}\;d\theta =a\int \limits _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\sqrt {1+\theta ^{2}}}d\theta$

Toepassings

Meganisme van 'n krulpomp

Die Archimedesspiraal het 'n oorvloed van gebruike. 'n Rolkompressor (Engels: Scroll compressor) of pomp, gemaak uit twee tussengelaagde Archimedesspirale van dieselfde grootte, word gebruik vir die samepersing van vloeistowwe en gasse.

Die groewe van die eerste grammofoonplate het 'n Archimedesspiraal gevorm. Die hoeveelheid musiek wat op die plaat kon inpas is gemaksimeer deur die groewe daarvan eweredig te spasiëer (dit is later terwille van musiekkwaliteit verander).

Archimedesspirale word ook gebruik in die Digitale Ligprosessering van projeksiestelsels. Die "Reënboogeffek" hiervan word verminder deur dit te laat lyk of al die kleure gelyk vertoon word, al word rooi, groen en blou in werklikheid geweldig vinnig gewissel.

Eksterne skakels

• Weisstein, Eric W., Archimedes' Spiral op MathWorld.
• Page with Java application to interactively explore the Archimedean spiral and its related curves