Ewekansige veranderlike

'n Ewekansige veranderlike, (ook genoem ewekansige hoeveelheid, aleatoriese veranderlike, lukrake veranderlike, stogastiese veranderlike of toevalsveranderlike) is 'n wiskundige formalisering van 'n hoeveelheid of voorwerp wat van toevallige gebeure afhang.

Hierdie grafiek wys hoe ewekansige veranderlike 'n funksie is van alle moontlike uitkomste tot werklike waardes. Dit wys ook hoe ewekansige veranderlike gebruik word om waarskynlikheidsmassa-funksies te definieer.

In die waarskynlikheidsleer en statistiek, is 'n stogastiese veranderlike rofweg gesproke 'n veranderlike wie se waarde van die meting van een of ander lukrake (of toevalsgedrewe) proses spruit.

In baie toevalseksperimente, soos steekproeftrekkings, word uit 'n populasie per toeval 'n element, b.v. 'n willekeurige verbyganger, aangewys. Ons vra hierdie verbyganger oor sy leeftyd, inkomste, ens. Vooraf weet ons nie wat ons as antwoord sal kry nie, agteraf wel, maar by herhaling tref ons vermoedelik 'n ander verbyganger, met waarskynlik heel andere antwoorde. Om in die teorie oor 'die leeftyd van 'n willekeurige verbyganger' te kan praat is die begrip stogastiese veranderlike ingevoer. Die toeval wys 'n uitkoms aan – een of ander verbyganger – en aan hierdie uitkoms wys ons 'n getal toe – sy leeftyd. Hieruit blyk dat 'n 'stogastiese veranderlike' 'n afbeelding van die uitkomsruimte na die reële getalle is.

Formele definisie

'n Stogastiese veranderlike X is 'n (meetbare) reële funksie op die steekproefruimte (ook genoem uitkomsruimte, en in Engels Sample Space) aangedui met $\Omega$.

In 'n oneindige steekproefruimte, is nie elke deelversameling (in Engels subset) van $\Omega$ noodwendig 'n gebeurtenis nie, en dus is nie elke funksie op $\Omega$ noodwendig 'n stogastiese veranderlike nie. Daarom word geëis dat die funksie meetbaar (m.a.w van beperkte grootte) is.

So kan per toeval 'n proefpersoon $\omega$ aangewys word (as uitkoms van 'n toevalseksperiment) en stel X($\omega$) die gewig voor. Die waarde van die stogastiese veranderlike X vorm eintlik weer 'n nuwe steekproefruimte, met daarop 'n "kans" bepaal deur die kans op die oospronklike steekproefruimte. Hierdie "kans" heet die kansverdeling van X en gee vir die (meetbare) deelversameling B van $\mathbb {R}$ die kans dat X 'n waarde aanneem wat binne B lê.

Die waardebereik van 'n stogastiese veranderlike is dus 'n 'vertaling' van die steekproefruimte $\Omega$ by 'n toevalseksperiment; as $\Omega$ 'n deelversameling van $\mathbb {R}$ is, dan kan die waardebereik van die stogastiese veranderlike feitelik saamval met $\Omega$. As egter $\Omega$ bestaan uit kleure, vorme, name van perde by 'n perderesies, ens. dan sal daar by die definisie van die stogastiese veranderlike X 'n eenduidige verband gelê moet word tussen $\Omega$ en die waardebereik van X.

Die formele definisie van 'n stogastiese veranderlike maak dit moontlik om die begrip goed in te pas in die formele teorie, maar dit is nie wat ons veral interesseer nie. Ons stel veral belang in die kansverdeling van 'n stogastiese veranderlike, waarmee relevante kanse bepaal kan word.

Voorbeeld

Die uitkomsruimte van die gooi van twee dobbelstene, bestaan uit 6² = 36 moontlike permutasies:

$\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}\times \{1,2,3,4,5,6\}=\{(1,1),(1,2),\dots ,(1,6),(2,1),\dots ,(6,6)\}\,$

Ons wil graag die totale aantal moontlike uitkomste weet, daarom definieer ons die stogastiese veranderlike X deur:

$X(\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{1}+\omega _{2}\,=\{2,3,\dots ,12\}\,$.

Deur elke moontlike uitkoms in die versameling na te gaan, wat in so 'n eenvoudige situasie moontlik is, is daar geeen twyfel oor die meetbaarheid van X nie.

Notasie

Daar is verskillende notasiekonvensies vir stogastiese veranderlikes in gebruik. Twee van die mees gebruikte konvensies is: om die stogastiese veranderlike te onderstreep (${\underline {x}}$), en om die stogastiese veranderlike aan te gee met 'n hoofletter (X).

Sien Ook

• Stogastiese proses