Bewys deur oneindige afkoms

In wiskunde is 'n bewys deur oneindige afkoms 'n bepaalde soort bewys deur teenstrydigheid wat op die minste heelgetalbeginsel staatmaak. Een tipiese toepassing is om aan te toon dat 'n gegewe vergelyking geen oplossings het nie.

Tipies toon 'n mens dat as daar 'n oplossing vir 'n probleem bestaan, wat in een of ander sin verband hou met een of meer natuurlike getalle, dit noodwendig impliseer dat 'n tweede oplossing bestaan wat verband hou met een of meer kleiner natuurlike getalle. Dit sal op sy beurt 'n derde oplossing in verband met kleiner natuurlike getalle beteken, wat 'n vierde oplossing beteken, dus 'n vyfde oplossing, ensovoorts. Daar kan egter nie 'n oneindigheid van steeds kleiner natuurgetalle wees nie, en dus deur wiskundige induksie (herhaal dieselfde stap) is die oorspronklike uitgangspunt – dat enige oplossing bestaan – onwaar: die korrektheid daarvan lewer 'n teenstrydigheid.

'n Alternatiewe manier om dit uit te druk, is om een of meer oplossings aan te neem of voorbeelde bestaan. Dan moet daar 'n klein oplossing of voorbeeld wees – 'n minimale teenvoorbeeld. Ons bewys dan dat as daar 'n klein oplossing bestaan, dit die bestaan van 'n kleiner oplossing (in sekere sin) moet impliseer – wat weer bewys dat die bestaan van enige oplossing sou lei tot 'n teenstrydigheid.

Die vroegste gebruike van die metode van oneindige afkoms verskyn in Euklides se Elemente. 'n Tipiese voorbeeld is Stelling 31 van Boek 7, waarin Euklides bewys dat elke saamgestelde heelgetal meetbaar is met 'n paar priemgetalle.

Die metode is baie later ontwikkel deur Fermat, wat dit dikwels vir diofantiese vergelykings gebruik het. Twee tipiese voorbeelde bewys die nie-oplosbaarheid van die diofantiese vergelyking r2 + s4 = t4 en bewys Fermat se stelling op somme van twee vierkante, wat verklaar dat 'n vreemde primêre p kan uitgedruk word as slegs som van twee blokkies wanneer p ≡ 1 ( Mod 4) (sien bewys). In sommige gevalle is sy "metode van oneindige afkoms" in die moderne oog 'n uitbuiting van die inversie van die verdubbelingsfunksie vir rasionale punte op 'n elliptiese kromme E. Die konteks is van 'n hipotetiese nie-triviale rasionele punt op E. Verdubbeling van 'n punt op E verdubbel die lengte van die getalle wat nodig is om dit te skryf (as aantal syfers), sodat 'n punt 'n halvering met 'n rasionele met kleiner terme gee. Aangesien die terme positief is, kan dit nie vir ewig verminder nie. Op hierdie manier kon Fermat die bestaan van oplossings in baie gevalle van diofantiese vergelykings van klassieke belang toon (byvoorbeeld die probleem van vier perfekte vierkante in rekenkundige progressie).

Getalteorie

In die getalleteorie van die 20ste eeu is die oneindige afkoms-metode weer opgeneem en gestoot tot 'n punt waar dit verband hou met die hoofdruk van algebraïese getalteorie en die studie van L-funksies. Die strukturele resultaat van Mordell, dat die rasionale punte op 'n elliptiese kurwe E 'n eindig-gegenereerde abelse groep vorm, gebruik 'n oneindige afkoms-argument gebaseer op E / 2E in Fermat se styl.

Om dit uit te brei na die geval van 'n abelse verskeidenheid A, moes André Weil meer eksplisiete die manier maak om die grootte van 'n oplossing te kwantifiseer deur middel van 'n hoogtefunksie – 'n konsep wat fundamenteel geword het. Om aan te dui dat A (Q) / 2A (Q) eindig is, wat beslis 'n noodsaaklike voorwaarde is vir die eindige generasie van die groep A (Q) van rasionale punte van A, moet 'n mens berekeninge doen wat later as Galois-kohomologie. Op hierdie manier word abstrak-gedefinieerde kohomologiegroepe in die teorie geïdentifiseer met afstande in die tradisie van Fermat. Die Mordell-Weil-stelling was aan die begin van wat later 'n baie uitgebreide teorie geword het.

Toepassings voorbeelde

Irrasionaliteit van die √2

Die bewys dat die vierkantswortel van 2 (√2) irrasioneel is (dit wil sê, dit kan nie uitgedruk word as 'n breuk van twee heelgetalle nie) is deur die antieke Grieke ontdek en is dalk die vroegste bekende voorbeeld van 'n bewys deur oneindige afkoms. Pythagoreërs het ontdek dat die diagonaal van 'n vierkant onmoontlik is met sy kant, of in moderne taal, dat die vierkantswortel van twee irrasioneel is. Min is bekend met sekerheid oor die tyd of omstandighede van hierdie ontdekking, maar die naam van Hippasus van Metapontum word dikwels genoem. Vir 'n rukkie het die Pythagoreërs as 'n amptelike geheim behandel die ontdekking dat die vierkantswortel van twee irrasioneel is, en volgens die legende is Hippasus vermoor omdat hy dit verkondig het. Die vierkantswortel van twee word af en toe "Pythagoras se getal" of "Pythagoras se konstante" genoem, byvoorbeeld in Conway & Guy (1996).^[1]

Die antieke Grieke, wat nie algebra gehad het nie, het 'n meetkundige bewys deur oneindige afkoms uitgewerk. John Horton Conway het 'n ander meetkundige bewys (nr. 8) aangebied deur oneindige afkoms wat meer toeganklik is. Die volgende is 'n algebraïese bewys langs dieselfde lyne:

Veronderstel dat √2 rasioneel was. Dan kan dit geskryf word as

{\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}

Vir twee natuurlike getalle, $p$ en $q$ . Dan sal kwadrate gee

2={\frac {p^{2}}{q^{2}}},

2q^{2}=p^{2},

So 2 moet p2 verdeel. Omdat 2 'n priemgetal is, moet dit ook p, deur Euklides se lemma, verdeel. So p = 2r, vir 'n paar heelgetalle r

Maar dan

2q^{2}=(2r)^{2}=4r^{2},

q^{2}=2r^{2},

Wat toon dat 2 ook q moet verdeel. Dus q = 2s vir sommige heelgetalle s.

Dit gee

{\frac {p}{q}}={\frac {2r}{2s}}={\frac {r}{s}}

.

Dus, as √2 as 'n rasionale getal geskryf kan word, kan dit altyd as 'n natuurlike getal met kleiner dele geskryf word, wat self met kleiner dele, ad infinitum, geskryf kan word. Maar dit is onmoontlik in die stel natuurlike getalle. Aangesien √2 'n reële getal is, wat rasioneel of irrasioneel kan wees, is die enigste opsie wat oorbly, √2 om irrasioneel te wees.

(Alternatiewelik bewys dit dat as √2 rasioneel was, sou geen "kleinste" voorstelling as 'n breuk kon bestaan nie, aangesien enige poging om 'n "kleinste" voorstelling te vind p / q sou beteken dat 'n kleiner een bestaan, wat 'n soortgelyke teenstrydigheid is).

Irrasionaliteit van √k as dit nie 'n heelgetal is nie

Vir positiewe heelgetal k, veronderstel dat √k nie 'n heelgetal is nie, maar is rasioneel en kan uitgedruk word as m / n vir natuurlike getalle m en n, en laat q die grootste getal wees wat nie groter is as √k nie. dan

{\begin{aligned}{\sqrt {k}}&={\frac {m}{n}}\\[8pt]&={\frac {m({\sqrt {k}}-q)}{n({\sqrt {k}}-q)}}\\[8pt]&={\frac {m{\sqrt {k}}-mq}{n{\sqrt {k}}-nq}}\\[8pt]&={\frac {(n{\sqrt {k}}){\sqrt {k}}-mq}{n({\frac {m}{n}})-nq}}\\[8pt]&={\frac {nk-mq}{m-nq}}\end{aligned}}

Die teller en noemer word elk vermenigvuldig met die uitdrukking (√k – q) – wat positief is maar minder as 1 – en dan onafhanklik vereenvoudig. So twee gevolglike produkte, sê m 'en n', is hulself heelgetalle, wat minder as m en n onderskeidelik is. Daarom maak nie saak watter natuurlike getalle m en n gebruik word om uit te druk nie. Daar bestaan kleiner natuurlike getalle m en 'n wat dieselfde verhouding het. Maar oneindige afkoms op die natuurlike getalle is onmoontlik, dus dis die oorspronklike aanname dat √k uitgedruk kan word as 'n verhouding van natuurlike getalle. ^[2]

Nie-oplosbaarheid van r² + s⁴ = t⁴

Die nie-oplosbaarheid van $r^{2}+s^{4}=t^{4}$ in heelgetalle is voldoende om die nie-oplosbaarheid van $q^{4}+s^{4}=t^{4}$ in heelgetalle te bewys. Laasgenoemde is 'n spesiale geval van Fermat se laaste stelling en die historiese bewyse van laasgenoemde het te werk gegaan deur meer algemeen te bewys dat die eersgenoemde die oneindige afkoms gebruik. Die volgende onlangser bewys toon albei hierdie onmoontlikhede deur nog meer breedvoerig te bewys dat 'n Pythagorese driehoek nie twee sye kan hê wat beide óf 'n vierkant óf twee keer 'n vierkant is nie, aangesien daar nie 'n kleinste sulke driehoek is nie:^[3]

Gestel daar bestaan so 'n Pythagorese driehoek. Dan kan dit geskaleer word om 'n primitiewe (dit wil sê, sonder gemeenskaplike faktore) Pythagorese driehoek met dieselfde eienskap te gee. Primitiewe Pythagorese driehoeke se sye kan geskryf word as $x=2ab,$ $y=a^{2}-b^{2},$ $z=a^{2}+b^{2}$ , met a en b relatief priem en met a+b onewe en dus y en z albei onewe. Die eienskap dat y en z beide onewe is, beteken dat nog y nog z tweemaal een kwadraat kan wees. Verder, indien x een kwadraat of tweemaal een kwadraat is, dan is sowel a as b een kwadraat of tweemaal een kwadraat. Daar is drie gevalle, afhangende van watter twee sy gepostuleer word om albei 'n kwadraat of twee keer 'n kwadraat te wees:

y en z: Nie y of z nie, kan twee keer 'n vierkant wees; As hulle albei vierkantig is, sal die regte driehoek met bene ${\sqrt {yz}}$ en $b^{2}$ en skuinssy $a^{2}$ ook heelgetalle hê, insluitend 'n vierkantige been ( $b^{2}$ ) en 'n vierkant Hipotese ( $a^{2}$ ), en sou 'n kleiner skuinssy hê ( $a^{2}$ in vergelyking met $z=a^{2}+b^{2}$ ).
y en x: As y 'n vierkant is en x is 'n vierkant of twee keer 'n vierkant, dan is elkeen van a en b 'n vierkant of twee keer 'n vierkant en die heelgetal regte driehoek met bene $b$ en ${\sqrt {y}}$ en skuinssy A sal twee kante hê (b en a) waarvan elkeen 'n vierkant of twee keer 'n vierkant is, met 'n kleiner skuinssyfer as die oorspronklike driehoek (a vergelyk met $z=a^{2}+b^{2}$ ).
y en x: As z 'n vierkant is en x is 'n vierkant of twee keer 'n vierkant, dan is elkeen van a en b 'n vierkant of twee keer 'n vierkant en die heelgetal regte driehoek met bene a en b en skuinssy ${\sqrt {z}}$ ook Sal twee kante hê (a en b), elkeen is 'n vierkant of twee keer 'n vierkant, en 'n kleiner skuinssy ( ${\sqrt {z}}$ in vergelyking met $z$ ).

In een van hierdie gevalle het een Pythagoreaanse driehoek met twee sye wat elk 'n vierkant of twee keer 'n vierkant het, tot 'n kleiner een gelei, wat op sy beurt tot 'n kleiner een sou lei. Aangesien so 'n ry nie oneindig kan voortgaan nie, moet die oorspronklike veronderstelling dat so 'n driehoek bestaan, verkeerd wees.

Dit impliseer dat die vergelykings

r^{2}+s^{4}=t^{4},

r^{4}+s^{2}=t^{4},

and

r^{4}+s^{4}=t^{2}

nie nie-triviale oplossings kan hê nie, aangesien nie-triviale oplossings Pythagorese driehoeke met twee kante sal gee.

Vir ander soortgelyke bewyse deur oneindige afkoms vir die n = 4 geval van Fermat se stelling, sien Fermat se reghoekigedriehoekstelling.^[4]

Sien ook

Vieta spring

Verwysings

↑ Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Copernicus, p. 25
↑ Sagher, Yoram (10 Februarie 1988), "What Pythagoras could have done", American Mathematical Monthly 95: 117, doi:10.2307/2323064
↑ Dolan, Stan, "Fermat's method of descente infinie", Mathematical Gazette 95, July 2011, 269–271.
↑ Barbara, Roy, "Fermat's last theorem in the case n = 4", Mathematical Gazette 91, July 2007, 260–262.

[1] Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Copernicus, p. 25

[2] Sagher, Yoram (10 Februarie 1988), "What Pythagoras could have done", American Mathematical Monthly 95: 117, doi:10.2307/2323064

[3] Dolan, Stan, "Fermat's method of descente infinie", Mathematical Gazette 95, July 2011, 269–271.

[4] Barbara, Roy, "Fermat's last theorem in the case n = 4", Mathematical Gazette 91, July 2007, 260–262.

[1]

[2]

[3]

[4]