Gebruiker:Martinvl/Fibonaccireeks

User talk:DangerousPanda

Spiraal

'n Spiraal is 'n kurwe wat by 'n punt begin en as die kurwe om die beginpunt draai, beweeg dit verder weg. Spirale kan in twee of drie dimensies bestaan.

Spirale in twee dimensies

In twee dimensies kan spirale in poolkoördinate gedefinieer word deur die vergelyking:

$r=f(\theta )$ (waar $f(\theta )$ 'n monototiese toenemende funksie is)

of in kartesiese koördinate deur

$x=f(\theta )\cos \theta ,\qquad y=f(\theta )\sin \theta .$

Die bekendste spirale sluit in:

• Die Archimedesspiraal: $r=a\theta$
• DIe Hiperboliese spiraal: $r=a/\theta$
• Fermat se spiraal: $r=a\theta ^{1/2}$
• Die lituus: $r=a\theta ^{-1/2}$
• Die logaritmiese spirale: $r=ae^{k\theta }$
• Die Klotoïde
• Die Fibonaccispiraal en die spiral
• Die Spiraal van Theodorus: 'n benaadering van die Archimedesspiraal - Dit is saamgestel uit aangrensende regte hoeke.
• Die evolvente van 'n sirkel, wat twee keer op elke tand van byna elke moderne rat gebruik word.

• 
  Archimedesspiraal
• 
  Hiperboliese spiraal
• 
  Fermat se spiraal
• 
  lituus
• 
  logaritmiese spiraal
• 
  Klotoïde
• 
  Spiraal van Theodorus
• 
  Fibonaccispiraal (goue spiraal)
• 
  Die evolvente van 'n sirkel(swart) is nie precies deselfde as die Archimedesspiraal (rooi).

Eineskappe

The following considerations are dealing with spirals, which can be described by a polar equation $r=r(\varphi )$, especially for the cases $r(\varphi )=a\varphi ^{n}$ (Archimedean, hyperbolic, Fermat's, lituus spirals) and the logarithmic spiral $r=ae^{k\varphi }$.

Definition of sector (light blue) and polar slope angle $\alpha$

Polêre hellinghoek

Die hoek $\alpha$ tussen die spiraal raaklyn en die ooreenstemmende poolsirkel (sien diagram) word die polêre hellinghoek genoem en $\tan \alpha$ die poolhelling. Die formule vir die poolhelling $\alpha$, wat afgelei kan word van vektoranalise in poolkoördinate is:

$\tan \alpha ={\frac {r'}{r}}\$ waar $r'$ is $dr/d\theta$

In meeste gevalle is die poolhelling 'n funksie van $\theta$, maar in hierdie opsig is die logaritmiese spiral spesiaal want sy poolhelling is 'n kontant: $\ \tan \alpha =k\$

Kromming

Die kromming $\kappa$ van 'n kurwe met poolvergelyking $r=r(\theta )$ is

$\kappa ={\frac {r^{2}+2(r')^{2}-r\;r''}{(r^{2}+(r')^{2})^{3/2}}}\ .$

Sektor oppervlak

The area of a sector of a curve (see diagram) with polar equation $r=r(\theta )$ is

$A={\frac {1}{2}}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}r(\theta )^{2}\;d\theta \ .$

For a spiral with equation $r=a\theta ^{n}\;$ one gets

Booglengte

Die booglengte van 'n spiraal met poolvergelyking $r=r(\theta )$ is:

$L=\int \limits _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\theta )\right)^{2}+r^{2}(\theta )}}\,\mathrm {d} \theta \ .$

Spirale in drie dimensies

In drie dimensies, is dit nodig om twee vergelykings te gebruik om 'n spiraal te beskryf. Dit is die gewoonte om silindriese poolkoördinate te gebruik om driedimensionele spirale te beskryf. Hierdie vergelykings is:

$r=f(\theta )$
$z=g(\theta )$
met die vereiste dat óf $f(\theta )$ óf $g(\theta )$ 'n monototiese toenemende funksie is.

Silindriese spiraal, ook bekend as 'n spoel

Silindriese spiraal

Die silindriese spiraal (of spoel) is die eenvoudigste driedimensionele spiraal. Dit word beskryf deur die vergelykings:

$r=\alpha ,\ \alpha >0\;$

$z=\beta \theta ,\ \beta >0$

waar $\alpha$ is die radius van die spoel en $2\pi \beta$ is die spasiëring van opeenvolgende spoele.

Koniese spiraal

Conic spiral with Archimedean spiral as floor plan

Indien 'n spiraal in die x-y-vlak bestaan met die parametriese vergelykings

$x=r(\theta )\cos \theta \ ,\qquad y=r(\theta )\sin \theta$

dan kan 'n derde koördinaat $z$ sodanig ingebring word met die beperking:

$\;m(x^{2}+y^{2})=(z-z_{0})^{2}\ ,\ m>0\;$:

met die gevolg dat die kromme op 'n keël sal lê met die parametriese vergelykings

$x=r(\theta )\cos \theta \ ,\qquad y=r(\theta )\sin \theta \ ,\qquad z=z_{0}+mr(\theta )\ .$

Sulke spirale kry die naam koniese spirale

Voorbeeld

As iemand met 'n archimedean spiral $\;r(\theta )=a\theta \;$ kry hy 'n koniese spiraal van (sien beeld regs):

$x=a\theta \cos \theta \ ,\qquad y=a\theta \sin \theta \ ,\qquad z=z_{0}+ma\theta \ ,\quad \theta \geq 0\ .$

Spherical spiral with $c=8$

Sferiese spirale

Die oppervlak van 'n sfeer, radius $r$, kan voorgestel word deur die volgende vergelykings::

${\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi \\y&=&r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\z&=&r\cdot \cos \theta \end{array}}$

Waneer $\varphi$ voorgestel is deur die vergelyking $\;\varphi =c\theta ,\;c>2\;,$, kry 'n mens 'n sferiese kurwe met die naam sferiese spiraal. met die parametriese voorstelling ($c$ is gelyk aan twee mal die aantal draaie):

${\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \sin \theta \cdot \cos c\theta \\y&=&r\cdot \sin \theta \cdot \sin c\theta \\z&=&r\cdot \cos \theta \qquad \qquad 0\leq \theta \leq \pi \ .\end{array}}$

Spherical spirals were known to Pappus, too.

Eineskappe

The following considerations are dealing with spirals, which can be described by a polar equation $r=r(\varphi )$, especially for the cases $r(\varphi )=a\varphi ^{n}$ (Archimedean, hyperbolic, Fermat's, lituus spirals) and the logarithmic spiral $r=ae^{k\varphi }$.

Definition of sector (light blue) and polar slope angle $\alpha$

Polêre hellinghoek

Die hoek $\alpha$ tussen die spiraal raaklyn en die ooreenstemmende poolsirkel (sien diagram) word die polêre hellinghoek genoem en $\tan \alpha$ die poolhelling.

Vektoranalise in poolkoördinate gee die formule

$\tan \alpha ={\frac {r'}{r}}\ .$

Dus is die helling van die spiraal $\;r=a\theta ^{n}\;$ is

• $\tan \alpha ={\frac {n}{\theta }}\ .$

In die geval van 'n Archimedeanspiraal ($n=1$) is die poolhelling $\;\tan \alpha ={\tfrac {1}{\theta }}\ .$

The logarithmic spiral is a special case, because of $\ \tan \alpha =k\$ constant !

Kromming

Die kromming $\kappa$ van 'n kurwe met poolvergelyking $r=r(\theta )$ is

$\kappa ={\frac {r^{2}+2(r')^{2}-r\;r''}{(r^{2}+(r')^{2})^{3/2}}}\ .$

In die geval van 'n spiraal wat deur $r=a\theta ^{n}$ gedefinieer is, is die krommingvergelyking

• $\kappa =\dotsb ={\frac {1}{a\theta ^{n-1}}}{\frac {\theta ^{2}+n^{2}+n}{(\theta ^{2}+n^{2})^{3/2}}}\ .$

Waneer $n=1$ (Archimedean spiral) $\kappa ={\tfrac {\theta ^{2}+2}{a(\theta ^{2}+1)^{3/2}}}$.

Die kroming van 'n logarithmic spiral $\;r=ae^{k\theta }\;$ is $\;\kappa ={\tfrac {1}{r{\sqrt {1+k^{2}}}}}\;.$

Sector area

The area of a sector of a curve (see diagram) with polar equation $r=r(\theta )$ is

$A={\frac {1}{2}}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}r(\theta )^{2}\;d\theta \ .$

For a spiral with equation $r=a\theta ^{n}\;$ one gets

• $A={\frac {1}{2}}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}a^{2}\theta ^{2n}\;d\theta ={\frac {a^{2}}{2(2n+1)}}{\big (}\theta _{2}^{2n+1}-\theta _{1}^{2n+1}{\big )}\ ,\quad {\text{if}}\quad n\neq -{\frac {1}{2}},$

$A={\frac {1}{2}}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\frac {a^{2}}{\theta }}\;d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}(\ln \theta _{2}-\ln \theta _{1})\ ,\quad {\text{if}}\quad n=-{\frac {1}{2}}\ .$

The formula for a logarithmic spiral $\;r=ae^{k\theta }\;$ is $\ A={\tfrac {r(\theta _{2})^{2}-r(\theta _{1})^{2})}{4k}}\ .$

Arc length

The length of an arc of a curve with polar equation $r=r(\theta )$ is

$L=\int \limits _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\theta )\right)^{2}+r^{2}(\theta )}}\,\mathrm {d} \theta \ .$

For the spiral $r=a\theta ^{n}\;$ the length is

• $L=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}r^{2}}{\theta ^{2}}}+r^{2}}}\;d\theta =a\int \limits _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\theta ^{n-1}{\sqrt {n^{2}+\theta ^{2}}}d\theta \ .$

Not all these integrals can be solved by a suitable table. In case of a Fermat's spiral the integral can be expressed by elliptic integrals only.

The arc length of a logarithmic spiral $\;r=ae^{k\theta }\;$ is $\ L={\tfrac {\sqrt {k^{2}+1}}{k}}{\big (}r(\theta _{2})-r(\theta _{1}){\big )}\ .$

Fibonaccireeks

'n Teëlwerk met vierkante waarvan die sylengte opeenvolgende Fibonacci-getalle is: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 en 21.

In wiskunde vorm die Fibonacci-getalle, wat gewoonlik $F_{n}$ aangedui word, 'n ry, wat as die Fibonacci-reeks bekend is, waar elke getal die som van die twee voorafgaande getalle is. Die erste twee getalle is 0 en 1. Die wiskundige notasie is

$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$

waar

$F_{0}=0,\quad F_{1}=1,$

en

n > 1.

Die begin van die reeks is dus:

$0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\;\ldots$

Geskiedenis

Illustrasie van die Fibonacci-konynvoorstel

Die reeks wat die Fibonacci-reeks genoem word, is eers deur Hindoe-wiskundiges baie jare voor Fibonacci se geboorte beskryf. Skrywers wat na so 'n reeks of 'n meer algemene weergawe van die reeks beskryf, sluit in Virahanka (tussen 600 en 800 n.C.), Gopala (voor 1135 n.C.) en Hemacandra (ongeveer 1150 n.C.).

In 1202 beskryf Fibonacci sy konkynvoorstel. Veronderstel dat daar is 'n konynkolonie. Gedurende die eerste maand is daar net een paar baba-konyne - een mannetjie en een wyfie. Gedurende die tweede maand twee is hierdie hase was adolessente en nie in staat om te teel nie. In die derde maand is hierdie hase volwasse en het hulle 'n paar baba-konyne voortgebring wat altesaam twee pare konyne maak. In die vierde maand produseer die eerste paar konyne nog 'n paar baba-konyne, terwyl die tweede paar tot tieners gegroei het, wat altesaam drie pare konyne maak. Dit het so voortgegaan. Toe hulle een maand oud is, word elke paar baba-konyne adolessent en die volgende maand, nadat hulle volwassen is, produseer hulle elke maand nog 'n paar baba-konyne. (Sien die beeld regs).

Eineskappe

Die Fibonacci-reeks het heelwat wiskundige eienskappe waarvan die "goue getal" oplossing en die Fibonacci-spiraal die twee mees bekende is.

Goue getal oplossing

As ons namatige Fibonacci-getalle toeneem, neig die verhouding tussen opeenvolgende getalle na 'n konstante naamlik die "goue getal".

Goue getal is die oplosing van $\phi ={\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}$

Bewys

$F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}$)

As ons deur $F_{n}$ deel, kry ons

${\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=1+{\frac {F_{n-1}}{F_{n}}}$

Veronderstel dat $\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\alpha$ dan kry ons

$\alpha =1+{\frac {1}{\alpha }}$

Die "goue getal" is deur $\psi ={\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}$ gedefineer (Sien regs).

Vereenvoudiging gee ons $1+{\frac {b}{a}}={\frac {a}{b}}$.

Van die definisie van die "gouwe getal" kry on $1+{\frac {1}{\psi }}={\psi }$.

Dus is $\alpha =\psi$.

Die oplossing van hierdie vergelyking is $\psi =1,618...,-0,618...$.

Algemene eienskappe

Die Fibonacci-reeks het heelwat eienskappe.

• 'n Ewe getal $x$ is 'n Fibonacci getal waneer $5x^{2}+4$ of $5x^{2}-4$ is 'n perfekte vierkantige getal.
• Daar is 'n familie van identiteite wat die som van die Fibonacci-getalle insluit. Hulle sluit in

• $\sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1$
• $\sum _{i=1}^{n}{F_{i}}^{2}=F_{n}F_{n+1},$

Logaritmiese spirale

Konstrukie van die Fibonacci-spiraal

'n Logaritmiese spiraalvorm is 'n geometriese vorm wat in poolkoördinate beskryf is deur die vergelyking:

$\;r=ae^{k\theta }$ ($\theta$ is in radiale.)

of in kartesiese koördinate deur

$x=ae^{k\theta }\cos \theta ,\qquad y=ae^{k\theta }\sin \theta .$

Die goue spiraal is 'n spesiale logaritmiese spiraal wat na buite groei met 'n faktor van die goue verhouding vir elke 90 grade rotasie. Dit kan benader word deur 'n "Fibonacci-spiraal" (sien regs), gemaak van 'n reeks kwartsirkels met radiusse eweredig aan Fibonacci-getalle. Die voorwaarde dat 'n logaritmiese spiraal 'n goue spiraal word, is:

$k={\frac {2\ln \phi }{\pi }}$ waar $\phi$ die goue verhouding (ongeveer 1,618...) is.

Rotating the spiral by angle $\psi$ yields the spiral

$r=ae^{-k\psi }e^{k\theta }$,

which is the original spiral uniformly scaled (at the origin) by $e^{-k\psi }$. If $\psi$ is chosen such that $\psi =2n\pi$ $(n=\pm 1,\pm 2,\pm 3...$),then each of the curves is identical

Scaling by {\displaystyle \;e^{kn2\pi }\;,n=\pm 1,\pm 2,...,\;}{\displaystyle \;e^{kn2\pi }\;,n=\pm 1,\pm 2,...,\;} gives the same curve.

See en:Logarithmic_spiral

In die natuur

8 spirial in a Aeonium

13 spirals

dual spirals

Aloe with 5 spirals

Pineapple

Pineapple - clockwise spiral

Pineapple - anti-clockwise spiral