Geheueloosheid

In waarskynlikheidsleer is geheueloosheid 'n eienskap van sekere waarskynlikheidsverspreidings: die eksponensiële verspreidings en die meetkundige verspreidings.

Diskrete geheueloosheid

Veronderstel X is 'n diskrete willekeurige veranderlike met 'n waarde in die versameling { 0, 1, 2, ... } of in die versameling { 1, 2, 3, ... }. Die waarskynlikheidsverspreiding van X is geheueloos as vir enige x, y in { 0, 1, 2, ... } of in { 1, 2, 3, ... }, (soos die geval mag wees), ons

$\Pr(X>x+y\mid X>x)=P(X>y)$ het.

Hier dui Pr(X > x + y | X > x) die voorwaardelike waarskynlikheid dat die waarde van X groter as x + y is gegee dat dit groter as x is.

Dit kan geredelik aangetoon word dat die enigste waarskynlikheidsverspreidings met diskrete geheueloosheid meetkundigeverspreidings is. Dit is die verspreidings van die aantal onafhanklike Bernoulli eksperimente nodig om een "sukses" te kry met 'n vaste waarskynlikheid van sukses, p, vir elke poging.

Voorbeelde en motivering vir die naam geheueloosheid

Byvoorbeeld, veronderstel 'n dobbelsteen word soveel keer gegooi as wat dit vat om 'n "1" te kry, sodat die waarskynlikheid van "sukses" vir elke poging 1/6 is, en die willekeurige veranderlike X die aantal kere is wat die dobbelsteen gegooi moet word. Dan het X 'n meetkundigeverspreiding, en die voorwaardelike waarskynlikheid dat die dobbelsteen ten minste nog vier keer gegooi moet word om 'n "1" te kry, gegee dat dit reeds 10 keer gegooi is sonder dat 'n "1" waargeneem is, geensins verskillend van die oorspronklike waarskynlikheid dat die dobbelsteen ten minste vier keer gegooi moet word nie. Die willekeurige proses onthou as't ware nie hoeveel pogings tot dusver gefaal het nie.

'n Algemene misverstand

Geheueloosheid word baie keer verkeerd verstaan deur waarskynlikheidsleerstudente: die feit dat Pr(X > 13 | X > 10) = Pr(X > 3) beteken nie dat die gebeurtenisse X > 13 en X > 10 onafhanklik is nie; i.e., dit beteken nie dat Pr(X > 13 | X > 10) = Pr(X > 13). Om op te som: "geheueloosheid" van die waarskynlikheidsverspreiding van die aantal pogings X tot die eerste sukses beteken

$\mathrm {(Right)} \ \Pr(X>13\mid X>10)=\Pr(X>3).\,$

Die beteken nie

$\mathrm {(Wrong)} \ \Pr(X>13\mid X>10)=\Pr(X>13).\,$ nie

(Dit sou onafhanklikheid wees - hierdie twee gebeurtenisse is nie onafhanklik nie).

Kontinue geheueloosheid

Veronderstel dat eerder as om die diskrete aantal pogings tot die eerste sukses te beskou, ons die kontinue wagtyd T tot die aankoms van die eerste telefoon oproep na 'n skakelbord beskou. Om te sê dat die waarskynlikheidsverspreiding van T geheueloos is, beteken dat vir enige positiewe reële getalle s en t

$\Pr(T>t+s\mid T>t)=\Pr(T>s).\,$

Die enigste verskil tussen hierdie weergawe en die diskrete weergawe is dat in plaas daarvan dat vereis word dat s en t positiewe (of, in sommige gevalle nie-negatiewe) heelgetalle moet wees, om diskreetheid te bereik, laat ons hulle toe om reële getalle te wees wat nie noodwendig heelgetalle is nie.

Karakterisering deur geheueloosheid

Geheueloosheid karakteriseer die eksponensialeverspredings geheel en al., i.e. die enigste waarskynlikheidsverspreidings wat (kontinue) geheueloosheid geniet is eksponensialeverspreidings.

Om dit te sien, laat

$G(t)=\Pr(X>t).\,$

Dan volg uit basies wette van waarksynlikheidsleer dat G(t) kleiner word soos t groter word. Uit die relasie

$\Pr(X>t+s|X>t)=\Pr(X>s)\,$

en die definisie van voorwaardelike waarskynlikheid, kry ons

${\Pr(X>t+s) \over \Pr(X>t)}=\Pr(X>s).$

Dus het ons die funksionele vergelyking

$G(t+s)=G(t)G(s)\,$

en G is 'n monotone verminderende funksie.

Die funksionele vergelyking alleen sal impliseer dat G beperk is tot rasionale veelvoude van enige besondere getal 'n eksponensiale funksie is. Gekombineer met die feit dat G monotone is, impliseer dit dat G oor sy hele domein 'n eksponensiale funksie is.