Keël

'n Keël is 'n driedimensionele geometriese vorm wat deur twee parameters beskryf word. Dit kan vergelyk word met die vorm van 'n (afgeslote) heksehoed.

'n Keël met radius r, hoogte h en lengte van skuinssy l.

Oppervlak en Volume

Indien $r$ die straal van die sirkelvormige basis van die keël is, $h$ die hoogte is en $l$ die lengte van die skuinste van die punt van die keël tot die sirkelvormige rand, dan is:

${\text{Oppervlak kegel}}=\pi lr=\pi r{\sqrt {(r^{2}+h^{2})}}$

${\text{Oppervlak basis}}=\pi r^{2}$

${\text{Totale oppervlak}}=\pi lr+\pi r^{2}=\pi r\left(r+{\sqrt {(r^{2}+h^{2})}}\,\right)$

${\text{Volume}}={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$

Gedeeltelike volume

Keël.

Hier volg die oppervlak en volume van 'n keël.

Totale volume

${\text{Totale volume}}={\frac {1}{3}}\pi R^{2}H$

Gedeeltelike volume

• $R$, $H$: Radius en hoogte van groot keël
• $r$: Klein radius
• $h$: Afstand tussen groot en klein radius (sien skets)

In terme van R, H en h: ${\text{Gedeeltelike volume}}=\pi {\frac {h}{H}}R^{2}\left(H-h+{\frac {h^{2}}{3H}}\right)$

In terme van R, H en r: ${\text{Gedeeltelike volume}}={\frac {1}{3}}\pi R^{2}H\left(1-{\frac {r^{3}}{R^{3}}}\right)$

In terme van R, r en h: ${\text{Gedeeltelike volume}}={\frac {1}{3}}\pi R^{3}{\frac {h}{R-r}}\left(1-{\frac {r^{3}}{R^{3}}}\right)$

Afleiding van formule vir volume

Gestel keël se dimensies is:

• R = Radius
• H = hoogte

Kies 'n baie dun skyfie in die keël wat afstand h van die bopunt is met dikte dh.

Die radius van die dun skyfie, kan soos volg bepaal word:

${\frac {r}{R}}={\frac {h}{H}}$

$r={\frac {R}{H}}h$

Die volume van die dun skyfie is die volgende:

$dV=\pi r^{2}dh\quad =\quad \pi \left({\frac {R}{H}}h\right)^{2}dh\quad =\quad \pi \left({\frac {R}{H}}\right)^{2}h^{2}dh$

Integreer nou van 0 tot H:

$V=\pi \left({\frac {R}{H}}\right)^{2}\int _{0}^{H}h^{2}dh$

$V=\pi \left({\frac {R}{H}}\right)^{2}{\frac {1}{3}}\left[H^{2}-0^{2}\right]$

$V={\frac {1}{3}}\pi R^{2}H$

Afleiding van formule vir gedeeltelike volume

In terme van R, H en h

${\text{Gedeeltelike volume}}={\frac {1}{3}}\pi R^{2}H-{\frac {1}{3}}\pi r^{2}\left(H-h\right)$

$={\frac {1}{3}}\pi \left[R^{2}H-r^{2}\left(H-h\right)\right]$

$r$ kan soos volg geskryf word in terme van $R$, $H$ en $h$:

${\frac {r}{H-h}}={\frac {R}{H}}$

$r={\frac {R}{H}}\left(H-h\right)$

Hierdie kan weer terug vervang word in die oorspronklike formule:

${\text{Gedeeltelike volume}}={\frac {1}{3}}\pi \left[R^{2}H-{\frac {R^{2}}{H^{2}}}\left(H-h\right)^{3}\right]$

$\left(H-h\right)^{3}=H^{3}-3H^{2}h+3Hh^{2}-h^{3}$

Vervang weer terug in hoof formule:

${\text{Gedeeltelike volume}}={\frac {1}{3}}\pi R^{2}\left[H-{\frac {1}{H^{2}}}\left(H^{3}-3H^{2}h+3Hh^{2}-h^{3}\right)\right]$

$={\frac {1}{3}}\pi R^{2}\left[H-H+3h-3{\frac {h^{2}}{H}}+{\frac {h^{3}}{H^{2}}}\right]$

$={\frac {1}{3}}\pi hR^{2}\left[3-3{\frac {h}{H}}+{\frac {h^{2}}{H^{2}}}\right]$

$=\pi hR^{2}\left[1-{\frac {h}{H}}+{\frac {h^{2}}{3H^{2}}}\right]$

$=\pi {\frac {h}{H}}R^{2}\left[H-h+{\frac {h^{2}}{3H}}\right]$

In terme van R, H en r

${\text{Gedeeltelike volume}}={\text{groot kegel}}-{\text{klein kegel}}$

Stel:

• $x$ = hoogte van klein keël
• $r$ = radius van klein keël

${\text{Gedeeltelike volume}}={\frac {1}{3}}\pi R^{2}H-{\frac {1}{3}}\pi r^{2}x$

Die verhouding tussen $x$, $r$, $H$ en $R$ is:

${\frac {x}{r}}={\frac {H}{R}}\qquad \Rightarrow \qquad x={\frac {rH}{R}}$

Dus:

${\text{Gedeeltelike volume}}={\frac {1}{3}}\pi R^{2}H-{\frac {1}{3}}\pi {\frac {r^{3}H}{R}}$

$={\frac {1}{3}}\pi R^{2}H\left(1-{\frac {r^{3}}{R^{3}}}\right)$

In terme van R, r en h

Kry eers H in terme van R, r en h:

${\frac {H}{R}}={\frac {H-h}{r}}$

${\frac {H}{R}}={\frac {H}{r}}-{\frac {h}{r}}$

${\frac {H}{r}}-{\frac {H}{R}}={\frac {h}{r}}$

$H\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{R}}\right)={\frac {h}{r}}$

$H\left({\frac {R-r}{Rr}}\right)={\frac {h}{r}}$

$H={\frac {Rrh}{r\left(R-r\right)}}$

$H={\frac {Rh}{R-r}}$

Vervang hierdie nou in die formule wat in terme van R, H en r is:

${\text{Gedeeltelike volume}}={\frac {1}{3}}\pi R^{2}H\left(1-{\frac {r^{3}}{R^{3}}}\right)$

$={\frac {1}{3}}\pi R^{3}{\frac {h}{R-r}}\left(1-{\frac {r^{3}}{R^{3}}}\right)$

Kyk ook

• Omtrek, oppervlakte en volume

Eksterne skakels

• Wikiwoordeboek het 'n inskrywing vir keël.