Lemniskaat van Bernoulli

In wiskunde, is die Lemniskaat van Bernoulli 'n agtvormige algebraïese kromme wat deur die Cartesiese vergelyking met die onderstaande vrom beskryf word:

'n Lemniskaat van Bernoulli

$(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})\,$

'n Grafiek van die vergelyking lewer 'n kromme soortgelyk aan die $\infty$ simbool. The simbool self word soms 'n lemniskaat genoem. Die simbool se Unicode voorstelling is ∞ (∞).

Die lemniskaat is vir die eerstekeer in 1694 deur Jakob Bernoulli as 'n aanpassing van 'n ellips beskryf. 'n Ellips is die lokus van punte waarvan die som van die afstande na elk van twee vatse brandpunte 'n konstante is. 'n Lemniskaat is in teenstelling daarmee die lokus van punte waarvan die produk van die twee afstande konstant is. Bernoulli het dit die lemniscus genoem wat Latyn is vir 'hangertjielint'. Bernoulli was onbewus daarvan dat die kromme 'n spesiale geval is van die Cassini ovale wat in 1680 deur Cassini beskryf is.

Die lemniskaat kan verkry word as die inverse transformasie van 'n hiperbool, met die inversie sirkel se middelpunt by die middelpunt van die hiperbool (halfpad tussen die twee brandpunte).

Ander vergelykings

'n Lemniskaat kan ook deur die poolkoördinaatvergelyking voorgestel word:

$r^{2}=a^{2}\cos 2\theta \,$

of die bipolêre vergelyking

$rr'={\frac {a^{2}}{2}}$

Booglengte en elliptiese funksies

Die bepaling van die booglengte van leminskaatboë lei na die elliptiese integrale, soos in die agtiende eeu ontdek is. In omtrent 1800 is die elliptiese funksies wat die integrale omkeer deur C. F. Gauss bestudeer (dit het op daardie stadium grootliks ongepublisseer gebly, maar daar is daarna verwys in die aantekeninge vir sy Disquisitiones Arithmeticae). Die period lattices het 'n baie besondere vorm aangesien dit eweredig is aan die Gauss integers. Om die rede word die geval van elliptiese funksies met komplekse vermenigvuldiging met die vierkantswortel van minus een ook die lemniskatiese geval genoem.