Bernoulli-beginsel

In fisika, hidrolika en vloeidinamika verwys die Bernoulli-beginsel na die verskynsel dat vir die meeste onsaampersbare vloeiers waar geen werk op die vloeistof uitgeoefen word nie, 'n toename in die snelheid van die vloeistof gepaard gaan met 'n afname in die druk of 'n afname in die vloeistof se potensiële energie as gevolg van swaartekrag. die Bernoulli-beginsel is vernoem ter ere van Daniel Bernoulli.

Die Bernoulli-beginsel is ekwivalent aan die beginsel van energiebehoud. Die wet op energiebehoud bepaal dat alle vorme van meganiese energie in 'n vloeistof langs 'n stroomlyn dieselfde is vir al die punte op daardie stroomlyn. Dit vereis dat die som van die kinetiese energie en potensiële energie konstant moet bly. As 'n vloeier horisontaal langs 'n stroomlyn afvloei waar die snelheid toeneem kan dit slegs wees omdat die vloeistof op daardie deel beweeg het van 'n gebied met 'n hoër druk na 'n gebied met 'n laer druk en as die snelheid afneem kan dit slegs wees omdat die vloeistof beweeg het vanaf 'n gebied met 'n laer druk na een met 'n hoër druk. Gevolglik sal die hoogste snelheid voorkom waar die druk die laagste is en die laagste snelheid waar die druk die hoogste is, in 'n vloeier wat horisontaal vloei.

Vloeivergelyking vir onsaampersbare vloei

In die meeste gevalle kan die digtheid vloeistowwe benaderd as konstant beskou word ongeag van drukveranderinge. Om hierdie rede kan vloeistowwe as onsaampersbaar beskou word en die vloei van vloeistowwe as onsaampersbaar beskryf word.

${v^{2} \over 2}+gh+{P \over \rho }=\mathrm {konstant}$

waar:

$v\,$ die vloeistof se snelheid by 'n punt op 'n stroomlyn is.

$g\,$ die swaartekragversnelling is

$h\,$ die hoogte van 'n punt bo 'n verwysingsvlak is

$P\,$ die druk by die punt is

$\rho \,$ die digtheid van die vloeistof by alle punte in die vloeistof is

Die eenhede van al drie die terme van die Bernoullivergelyking is m²/s²:

${\frac {v^{2}}{2}}\quad \Rightarrow \quad \left({\frac {m}{s}}\right)^{2}={\frac {m^{2}}{s^{2}}}$

$gh\quad \Rightarrow \quad {\frac {m}{s^{2}}}\cdot m={\frac {m^{2}}{s^{2}}}$

${\frac {P}{\rho }}\quad \Rightarrow \quad Pa\cdot {\frac {m^{3}}{kg}}={\frac {N}{m^{2}}}\cdot {\frac {m^{3}}{kg}}={\frac {Nm}{kg}}={\frac {kg.m}{s^{2}}}\cdot {\frac {m}{kg}}={\frac {m^{2}}{s^{2}}}$

Die volgende aannames moet geld vir die vergelyking om toepaslik te wees:

• Die vloeier moet onsaampersbaar wees - selfs al wissel die druk, moet die digtheid konstant wees.
• Die stroomlyn moet nie die grenslaag binnegaan nie. (Bernoulli se vergelyking is nie toepaslik waar daar viskose kragte inwerk nie, soos in die geval van die grenslaag.)

Bostaande vergelyking kan herskryf word as:

${\rho v^{2} \over 2}+\rho gh+P=q+\rho gh+P=\mathrm {konstant}$

waar:

$q={\frac {\rho v^{2}}{2}}$ die dinamiese druk is in eenhede van ${\frac {kg}{m^{3}}}\cdot {\frac {m^{2}}{s^{2}}}={\frac {kg}{ms^{2}}}$

Die Bernoullivergelyking kan omskryf word om die volgende algemene formule te kry vir drukval deur 'n vernouer (kyk Bylaag A).

$Q=k\;{\sqrt {\frac {\Delta P}{\rho }}}$            of            $\Delta P=\rho \left({\frac {Q}{k}}\right)^{2}$

Toepassings van die Bernoulli-beginsel

• Pypvloei
• Vloeimeetskyf
• Pitotbuis
• Vliegtuig se vlerk
• Venturi-effek
• Spuitstuk
• Annubar

Bylae

Bylaag Aː Herskryf formule om te gebruik vir drukval deur 'n vernouer

Simbole:

Simbool	Beskrywing	Eenheid
$v$	Vloeistof se snelheid by 'n punt op 'n stroomlyn	m/s
$g$	Swaartekragversnelling	9.81 m/s2
$h\,$	Die hoogte van 'n punt bo 'n verwysingsvlak	m
$P\,$	Die druk by 'n punt	Pa
$\rho \,$	Die digtheid van die vloeistof	kg/m3
$Q\,$	Volumevloeitempo	m3/s
$A\,$	Deursnitarea van pyp (A = πd2/4)	m2

Volgens die Bernoulli-beginsel is:

${v^{2} \over 2}+gh+{P \over \rho }=\mathrm {konstant}$

Indien (1) voor die meetskyf is en (o) in die gaatjie van die meetskyf, dan is:

${v_{1}^{2} \over 2}+gh_{1}+{P_{1} \over \rho _{1}}\quad ={v_{o}^{2} \over 2}+gh_{o}+{P_{o} \over \rho _{o}}$

As       $v={\frac {Q}{A}}$

${\frac {1}{2}}\cdot \left({Q_{1} \over A_{1}}\right)^{2}+gh_{1}+{\frac {P_{1}}{\rho _{1}}}={\frac {1}{2}}\cdot \left({Q_{o} \over A_{o}}\right)^{2}+gh_{o}+{\frac {P_{o}}{\rho _{o}}}$

${\frac {1}{2}}\left({Q_{o}^{2} \over A_{o}^{2}}-{Q_{1}^{2} \over A_{1}^{2}}\right)=g\left(h_{1}-h_{o}\right)+\left({\frac {P_{1}}{\rho _{1}}}-{\frac {P_{o}}{\rho _{o}}}\right)$

As       $Q=Q_{1}=Q_{o}$       en       $\rho _{o}=\rho _{1}=\rho _{o}$

${\frac {Q^{2}}{2}}\left({1 \over A_{o}^{2}}-{1 \over A_{1}^{2}}\right)=g\Delta h+{\frac {\Delta P1}{\rho }}$

As       $\beta ={\frac {d_{o}}{d_{1}}}$       en       $A={\frac {\pi }{4}}d^{2}$       en       ${\frac {A_{o}}{A_{1}}}={\frac {d_{o}^{2}}{d_{1}^{2}}}\beta ^{2}$

En       $\left({\frac {1}{A_{o}^{2}}}-{\frac {1}{A_{1}^{2}}}\right)={\frac {1}{A_{o}^{2}}}\cdot \left(1-{\frac {A_{o}^{2}}{A_{1}^{2}}}\right)={\frac {1}{A_{o}^{2}}}\left(1-\beta ^{4}\right)$

${\frac {Q^{2}}{2}}\cdot {\frac {1}{A_{o}^{2}}}\cdot \left(1-\beta ^{4}\right)={\rho g\Delta h+\Delta P \over \rho }$

$Q^{2}=A_{o}^{2}\;{2\left(\rho g\Delta h+\Delta P\right) \over \rho \left(1-\beta ^{4}\right)}$

$Q=A_{o}\;{\sqrt {2\left(\rho g\Delta h+\Delta P\right) \over \rho \left(1-\beta ^{4}\right)}}$

Hierdie gee die drukval tussen die punt voor die meetskyf (1) en na die meetskyf (2). Wanneer ideale toestande geld, sal $P_{1}=P_{2}$ wees volgens die Bernoulli-beginsel. Maar as gevolg van energieverliese in die vorm van hitte en klank, herstel die druk nooit weer ten volle nie. Daarom is dit nodig om die dimensielose uitlaatvloeikoëffisiënt $C_{d}$ ($C_{d}>1$) by te voeg en daarom word die vergelyking:

$Q=C_{d}A_{o}\;{\sqrt {\frac {2\left(\Delta P+\rho g\Delta h\right)}{\rho \left(1-\beta ^{4}\right)}}}$            of            $\Delta P={\frac {1}{2}}\rho \left(1-\beta ^{4}\right)\left({Q \over C_{d}A_{o}}\right)^{2}-\rho g\Delta h$

Let wel, die eenhede moet so gekies word sodat al die eenhede uit kanselleer.

Gewoonlik is die term $\rho g\Delta h$ weglaatbaar klein.

Hieruit volg die algemene formule vir drukval deur 'n vernouer.

$Q=k\;{\sqrt {\frac {\Delta P}{\rho }}}$            of            $\Delta P=\rho \left({\frac {Q}{k}}\right)^{2}$