Logaritme

'n Logaritme is 'n wiskundige funksie, gewoonlik afgekort tot log. Die logaritmiese funksie word gedefinieer as die inverse van 'n eksponensiële funksie ('n mag met vaste grondtal, as funksie van die eksponent). Om dit duidelik te spesifiseer word die grondtal benodig.

Grafiek van ln(x) en log₁₀(x)

Die volgende drie logaritmes word dikwels gebruik:

• Logaritmes met grondtal 10. Mens praat van 'n Briggse logaritme en noteer dit as log, log₁₀, lg of ¹⁰log.
• Logaritmes met grondtal e. Mens praat hier van 'n natuurlike logaritme, of Neperiaanse of Neperse logaritme, na die uitvinder John Napier. Die natuurlike logaritme word dikwels genoteer as ln, maar mense skryf ook soms log in vakgebiede waarby dit vanselfsprekend is dat die natuurlike logaritme bedoel word.
• Logaritmes met grondtal 2. Die tipe logaritmes kom algemeen in rekenaarwetenskap voor. Hulle word dikwels genoteer as log₂ of ²log, lb of kortweg log, as gesien in die konteks, die grondtal 2 vanselfsprekend is.

Definisie

Die logaritme vir die grondtal a van 'n getal x is die mag waartoe mens die grondtal a moet verhef om x as uitkoms te kry, dus:

$q=\log _{a}(x)\Longleftrightarrow a^{q}=x$.

Of anders geskryf:

$a^{\log _{a}(x)}=x$.

Sowel die grondtal a as die argument x moet groter as 0 wees; bowendien mag a nie gelyk aan 1 wees nie.

Die logaritme vir die grondtal a is dus die inverse van die eksponensiële funksie met a as grondtal. Wanneer mens die grafiek van die logaritme vir die grondtal a teken ten opsigte van die lyn y=x, kry mens die grafiek van die funksie x → a^x.

Die logaritme van 0 met 'n grondtal is nie gedefinieer nie, omdat daar geen mag bestaan met welke grondtal ook al wat nul is nie. Daarom het elke grafiek van 'n logaritme 'n asimptoot by nul.

Wanneer die grondtal a nie gespesifiseer word nie, dan is dit 10. Dus:

$\log x=\log _{10}x$

Definisies

	Logaritme	Natuurlike logaritme
1	$\log x=y\quad \Rightarrow \quad 10^{y}=x$	$\ln x=y\quad \Rightarrow \quad e^{y}=x$
2	$\log x^{y}=y\log x$	$\ln x^{y}=y\ln x$
3	$\log \left(a.b\right)=\log \left(a\right)+\log \left(b\right)$	$\ln \left(a.b\right)=\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)$
4	$\log _{b}n=\log _{a}n\times \log _{b}a$	$\log _{b}x={\frac {\ln x}{\ln b}}$

Voorbeeld

Logaritme	Natuurlike logaritme
$y=a.10^{bx}$ $\log y=\log \left(a.10^{bx}\right)$ $\log y=\log a+\log \left(10^{bx}\right)$ $\log y=\log a+bx.\log 10$ $\log y=\log a+bx$	$y=a.e^{bx}$ $\ln y=\ln \left(a.e^{bx}\right)$ $\ln y=\ln a+\ln \left(e^{bx}\right)$ $\ln y=\ln a+bx.\ln e$ $\ln y=\ln a+bx$

Logaritme vir grondtal a (log_ax)

Om die logaritme van 'n getal x te kry in grondtal a, kan dit soos volg gedoen word.

$y=\log _{a}(x)$

$a^{y}=x$

$\ln(a^{y})=\ln(x)$

Volgens die tweede definisie in die tabel hierbo kan die volgende gedoen word:

$y\times \ln(a)=\ln(x)$

Dan is:

$y={\frac {\ln(x)}{\ln(a)}}$

$\log _{a}x={\frac {\ln x}{\ln a}}$

Hierdie beginsel word gebruik in rekenaarprogramme wat slegs 'n natuurlike logaritme funksie het, soos Visual Basic.

Gewone of briggse logaritme

Die gewone of briggse logaritme, log, is die logaritme met die grondtal 10. Voor die koms van sakrekenaars is hierdie logaritme baie by berekeninge gebruik.

Natuurlike of neperiaanse logaritme

Die natuurlike logaritme, dikwels geskryf as ln, maar in wiskunde gewoonweg as log, is die logaritme met die grondtal e = 2,718281828... :

$\ln(x)={}^{e}\!\log(x)\,$

In plaas van log_a(x) word dit ook as ^alog(x) geskryf. By 'n n-tallige getalstelsel word die a in log_a(x) dikwels nie genoteerd wanneer hierdie gelyk is aan n nie. So word in die normale tientallige stelsel log(x) genoteer, waar log₁₀(x) bedoel word.

Grafiek van die logaritme met grondtal 10 as funksie van x. Let op: aan die linkerkant van die grafiek het die logaritme 'n asimptoot na oneindig soos x al klein word.

Voorbeelde

Log-log grafiek van 'n planeet se tydperk en sy afstand van die son

In die praktyk is log veral handig om oplossings vir x te vind in die volgende vergelyking:

$a^{x}=b$

Dus is:

$\log a^{x}=\log b$

$x\log a=\log b$

$x={\frac {\log b}{\log a}}$

Byvoorbeeld (sien log-log grafiek aan die regterkant), volgens teorie is die verband tussen die tydperk van 'n planeet se wentelbaan en sy afstand vanaf die son deur

$T\propto R^{3/2}$.

gegee. Aangesien die helling van die lyn op die grafiek 3/2 is, is die verwantskap gedemonstreer.

Kyk ook

• Magsverheffing