Fermat se reghoekigedriehoekstelling: Verskil tussen weergawes

Gedurende sy leeftyd het Fermat verskeie ander wiskundiges uitgedaag om die nie-bestaan van 'n Pythagorese driehoek met vierkantige gebied te bewys, maar het nie die bewys self gepubliseer nie. Hy het egter 'n bewys in sy kopie van Bachet se Diophantus geskryf, wat sy seun postuum ontdek en gepubliseer het.

 

 

Veronderstel in meer detail dat x, y en z die heelgetalle van 'n regte driehoek met vierkantige oppervlakte is. Deur te verdeel deur enige algemene faktore, kan 'n mens aanvaar dat hierdie driehoek primitief is en uit die bekende vorm van alle primitiewe Pythagorea-driedubbels, kan mens x = 2pq, y = p ^ {2} -q ^ {2} stel en z = P ^ {2} + q ^ {2}, waardeur die probleem getransformeer word om relatief prima heelgetalle p en q te vind (een daarvan is ewe) sodat pq (p ^ {2} -q ^ {2}) is vierkante. Die vier lineêre faktore p, q, p + q, en p-q is relatief prima en moet dus self vierkante wees; Laat p + q = r ^ {2} en p-q = s ^ {2}. Beide r en s moet vreemd wees aangesien presies een van p of q is ewe en die ander een is vreemd. Daarom is beide (rs) en (r + s) selfs, waarvan een deelbaar is met 4. Uit hierdie twee getalle ontleen Fermat nog twee getalle u = (rs) / 2 en v = (r + s) / 2, Een daarvan is selfs in die vorige sin. Omdat u ^ {2} + v ^ {2} = p 'n vierkant is, is u en v die bene van 'n ander primitiewe Pythagoreaanse driehoek waarvan die area (uv) / 2 = q / 4. Aangesien q self 'n vierkant is en aangesien uv selfs is, is q / 4 'n vierkant. So, 'n Pythagorasiese driehoek met vierkantige area lei tot 'n kleiner Pythagoreaanse driehoek met vierkantige oppervlakte, wat die bewyse voltooi