Wiskunde en kuns

Wiskunde en kuns is op verskeie wyses aan mekaar verwant. Wiskunde is self al beskryf as ’n kunsvorm wat deur skoonheid gemotiveer is. Wiskunde kan in die volgende kunsvorms waargeneem word: musiek, dans, skilder, argitektuur, beeldhouwerk en tekstiele. Die artikel fokus egter op wiskunde in visuele kunste.

Wiskunde en kuns het ’n lang historiese verhouding. Kunstenaars gebruik reeds sedert die 4de eeu v.c., toe die Griekse beeldhouer Polykleitos sy Canon geskryf het van wiskunde gebruik. In die Canon skryf Polykleitos sekere proporsies, wat gebasseer is op die 1:√2 verhouding as die ideaal vir die naakte manlike liggaam voor. Die goue verhouding (Golden ratio) is ook deurlopend voorgehou as die ideale verhouding waarop kuns gebaseer moet word, hoewel daar geen konkrete bewyse hiervoor is nie. In die Italiaanse Renaissance het Luca Pacioli die invloedryke De Divina Proportione, wat deur Leonardo da Vinci geïllustreer is, gepubliseer. Hierdie verhandeling het die gebruik van die goue verhouding in kuns bespreek. Nog ’n Italiaanse skilder, Pierro della Francesca, het Euclid se idees oor perspektief wat in De Prosectiva Pinendi verskyn in sy skilderye ontwikkel. Die graveerder, Albrecht Dürer, het verskeie verwysings na wiskunde in sy werk, Melencolia I gemaak. In moderne tye het die grafiese kunstenaar M.C. Escher intensiewe gebruik van termalisasie en hiperboliese geometrie, met die hulp van die wiskundige H.S.M Coxeter, in sy werk gebruik. Die De Stijl-beweging is gelei deur Theo van Doesberg en Piet Mondrian. Hierdie beweging het eksplisiet geeometriese vorms aanvaar. Wiskunde het ook tekstiel-kunste soos kwiltwerk, breiwerk, kruissteek, hekel, borduurwerk, weefwerk en mat-wewery beïnvloed. In Islamitiese kuns kan simmetrie waargeneem word in onder meer die Persiese girih en die Marokkaanse zellige teëlwerk.

Wiskunde ook ’n direkte invloed op kuns uitgeoefen met konsepte soos lineêre perspektief, die analise van simmetrie en wiskundige objekte. Wiskundige konsepte soos herverskyning en logiese paradokse kan waargeneem word in die kunswerke van Rene Magritte en in die graveerwerk van M.C. Escher. Rekenaarkuns maak dikwels gebruik van fraktale en ondersoek soms ander wiskundige objekte soos sellulêre outomata.

Die Kunstenaar David Hockney het op ’n kontroversiële wyse geargumenteer dat die Renaissance kunstenaars van die camera obscura gebruik gemaak het om sodoende ’n presiese verteenwoordiging van tonele weer te gee; die argitek Philip Steadman het ook geargumenteer dat Vermeer van die camera obscura gebruik gemaak het om sy fyn-waargenome skildery te produseer.

Oorsprong: van Antieke Grieke tot die RenaissanceWysig

Polykleitos se Canon en SymmetriaWysig

Polykleitos die ouer (c. 450-420 v.c.) was ’n Griekse beeldhouer in die skool van Argos, en ’n tydgenoot van Phidias. Sy werke en beelde is meestal uit brons vervaardig en het atlete uitgebeeld. Volgens die filosoof en wiskundige Xenocrates, moet Polykleitos beskou word as een van die belangrikste beeldhouers in die klassiekte tydperk vir sy werk oor die Doryphorus en die standbeeld van Hera in die Heraion van Argos.[1][2] Terwyl sy beelde dalk nie so bekend mag wees soos die van Phidias nie, word hul nogtans hoog aangeslaan. In die Canon van Polykleitos poog hy om die “perfekte” anatomiese proporsies van die naakte manlike figuur te verskaf. Polykleitos verskaf met hierdie werk ’n wiskundige benadering tot die skepping van die menslike liggaam.[1]

Polykleitos maak gebruik van die mates van die vingerbeentjies as die basis om die proporsies van die menslike liggaam te bepaal.[3][4]

Die invloed van die Canon van Polykleitos kan veral waargeneem word in die klasieke Grieke, Romeinse en Renaissance beeldwerk. Verskeie kunstenaars het sy formule gevolg. Terwyl geen van Polykleitos se oorspronklike werk behoue gebly het nie, het daar wel Romeinse kopieë wat sy ideaal van fisiese perfeksie en wiskundige presiesheid uitbeeld behoue gebly. Sommige kenners argumenteer dat Pythagoras se idees Polykleitos se Canon beïnvloed het[5] omdat hierdie werk basiese Griekse wiskundige konsepte soos verhoudings, proporsies en simmetrie bespreek. Die Canon maak dan ook van hierdie konsepte gebruik om deur middel van ’n reeks geometriese prosesse die menslike vorm te bespreek en verduidelik.[3]

Perspektief en proporsieWysig

In klasieke tye het skilders, eerder as om verre figure kleiner te maak met lineêre perspektief, hul objekte en figure se grootte bepaal afhangende van hul tematiese belangrikheid. In die Middeleeue het sommige kunstenaars van omgeruilde perspektief gebruik gemaak om sodoende spesiale belangrikheid te beklemtoon. Die Moslem wiskundige, Alhazen beskryf die teorie van optika in sy Book of optics (1021),tog is hierdie teorie nooit op kuns toegepas nie.[6] Die Renaissance het die hergeboorte van die klasieke Griekse en Romeinse kulture en idees gesien gebeur. Deel hiervan was die studie van die wiskunde en om die natuur en die kunste beter te verstaan. Twee hoof dryfvere het kunstenaars in die laat Middeleeue genoop om van wiskunde gebruik te maak. Eerstens moes skilders uitvind hoe om drie-dimensionele figure op twee-dimensionele skilderdoeke te teken/verf. Tweedens was filosowe en kunstenaars oortuig daarvan dat wiskunde die essensie van die fisieke wêreld en die heelal (insluitende die kunste) dus in geometriese terme verduidelik kon word.[7]

Die oorsprong van perspektief word aangetref by Giotto (1266/7- 1337). Giotto het gepoog om in perspektief te teken deur gebruik te maak van ’n algebraïese metode om die plasing van die verste lyne te bepaal. In 1415 het die Italiaanse argitek, Filippo Brunelleschi en sy vriend Leon Battista Alberti, die geometriese metode om perspektief aan te dui in Florence gedemonstreer deur gebruik te maak van soortgelyke driehoeke as die wat deur Euclid geformuleer is om die waarskynlike hoogte van vêr objekte te bepaal.[8][9] Brunelleschi se eie perspektief skilderye het verlore geraak, maar Masaccio se skildery van die Heilige Drie Eenheid het behoue gebly, en wys hierdie prinsiepe in die praktyk.[6][10][11]

Die Italiaanse skilder, Paolo Uccello (1397–1475) was gefassineer met perspektief soos waargeneem kan word in sy skilderye van The Battle of San Romano (c. 1435–1460) waar gebreekte spiese gerieflik op die perspektief-lyne geskilder is.[12][13]

Die skilder Piero della Francesca (c. 1415–1492) was ’n uitstekende voorbeeld van die skuif in die denkwyses van die Italiaanse Renaissance. Hy was ’n uitstekende wiskundige en geometriese kenner en het boeke oor soliede geometrie, en perspektief geskryf insluitende De Prospectiva Pingendi (Oor perspektief in skilder), Trattato d’Abaco (Abakus werk) en De corporibus regularibus (Oor soliede stowwe).[14][15][16] Die historikus Vasari het in sy werk Lewens van skilders Pierro die “grootste geometriese kenner van sy tyd, of selfs dalk van alle tye” genoem.[17] Pierro se belangstelling in perspektief kan waargeneem word in sy skildery: die Polyptych van Perugia,[18] die San Agostino altaarstuk en die Flaggelation of Christ. Pierro se werk oor geometrie het verskeie ander wiskundiges en kunstenaars beïnvloed insluitend Luca Pacioli se De Divina Proportione en verskeie van Leonardo da Vinci se werke. Pierro het klassieke wiskunde en die werke van Archimedes bestudeer.[19] Hy het ook opleiding ontvang in kommersiële rekeningkunde in die “abakus skole”; sy skryfwerk is dan ook geformuleer soos die abakus skool-handboeke.[20] Net so, is die werke van Leonardo Pisano (Fibonacci) se Liber Abaci (c.1202) ook in hierdie formaat geskryf. Lineêre perspektief was ’n relatief nuwe konsep in die kunswêreld. Alberti het reeds in sy 1434 De pictura verduidelik dat “Ligstrale in reguit lyne van sekere fokus punte wat in die skildery waargeneem word na die oog beweeg. Hierdie beweging vorm ’n soort piramide met die oog.”[21]

In die De Prospectiva Pingendi Verander Pierro sy empiriese sienswyser oor die manier hoe aspekte van figure verander in konkrete wiskundige bewyse. Sy werk herinner aan die van Euclid en hy definieer ’n punt as: “Die kleinste moontlike ding wat deur die oog gesien kan word.” Hy gebruik ook deduktiewe logika om die leser met perspektief van hoe ’n drie-dimensionele liggaam voorgestel moet word, te lei.[22]

Die Kunstenaar David Hockney argumenteer in sy boek Secret Knowledge: Rediscovering the Lost Techniques of the Old Masters dat kunstenaars reeds in die 1420’s van ’n camera lucida begin gebruik maak het omdat daar in hierdie tydperk ’n vinnige en skielike vooruitgang was in die presisie en relisme van kunswerke. Hierdie praktyk is glo voortgesit deur ander groot name soos Ingres, Van Eyck, en Caaravaggio.[23] Kritici verskil egter of Hockney se aannames korrek is.[24][25] Die argitek Philip het egter soortgelyke argumente as die van Hockney gehad. Hy het op ’n kontroversiële wyse geargumenteer[26] dat Vermeer ’n ander toestel, die camera obscura gebruik het om hom te help om sy fyn waargenome skildery te skep.[27]

In 1509 het Luca Pacioli (1447–1517) sy De divina proportione wat gehandel het oor wiskundige en kunstige proporsies (insluitend die van die menslike gesig) gepubliseer. Leonardo da Vinci (1452–1519) het hierdie teks met die hulp van ’n houtsnee geïllustreer terwyl hy in die tydperk onder Pacioli gestudeer het. Hierdie sketse was die eerste van hul soort[28] wat perspektief gedemonstreer het deur elemente bo-oor mekaar te lê. Die werk bespreek ook perspektief in die werke van Piero della Francesca, Melozzo da Forli en Marco Palmezzano.[29] Da Vinci het Pacioli se Summa bestudeer waaruit hy tabelle oor proporsies gekopieer het.[30] In die Mona Lisa en Laaste Avondmaal het hy hierdie lineêre perspektief met ’n verdwyingspunt geïnkorporeer om die gevoel van diepte te skep.[30] Nog ’n voorbeeld hiervan is die Vitruvian Man, waar da Vinci die idees van die Romeinse argitek Vitruvius gebruik het om proporsies van die naakte manlike liggaam op ’n unieke wyse te toon.[31]

So vroeg as die 15de eeu is verdraaiingsperspektief in skildery aangetref. Kunstenaars wat daarin geïnteresseer was om beeld te verdraai het veral hiervan gebruik gemaak. Jan van Eyck se Arnolfini portret bevat ’n konvekse spieël met refleksies van mense in die spieël.[32] Terwyl Parmigianino se Self Portret in ’n Konvekse Spieël (1523–1524) die kunstenaar se grootliks verwronge gesig in die middel van die spieël met ’n sterk gebuigde agtergrond met die kunstenaar se hand op die kante van die skildery.[33]

Drie-dimensionele spasies kan suksesvol in kuns weergegee word. Tegniese tekeninge is ’n voorbeeld van hoe perspektief nie noodwendig benodig word om driedimensionele spasies/dinge weer te gee nie en dat ander tegnieke ook suksesvol gebruik kan word.

Goue verhoudingWysig

Die goue verhouding (rofweg gelykstaande aan 1.618) was reeds aan Euclid bekend.[34] In moderne tye is daar deurlopend aannames gemaak dat die Goue verhouding kuns en argitektuur van die antiekte samelewings (soos die Grieke en Egiptenare) gebruik is.[35][36][37][38] Tog is daar geen bewyse hiervoor nie.[39]  Hierdie aanname het moontlik sy oorsprong met die verwarring tussen die “goue reël” en die Goue verhouding. Vir die antieke Grieke het die gou reël beteken om “oormaat in enige rigting” te probeer vermy.[39] Die gebruik van die goue verhouding in die bou van die piramides word ook sedert die 19de eeu deur kenners ondersoek. Die Parthenon, ’n tempel in Athene wat in die 5de Eeu v.c. gebou is, het ook glo elemente van die goue verhouding in sy vloerplan en ontwerp,[40][41] tog het afmetings van die tempel bewys dat die aanname nie korrek is nie. Die Groot Moskee van Kairouan het klaarblyklik ook elemente van die goue verhouding in sy ontwerp,[42] maar die verhouding word egter nie in ouer dele van die Moskee aangetref nie.[43] Die historikus en argitek Frederik Macody Lund het in 1919 aangevoer dat die Katedraal van Chartres (12de eeu), die Notre-Dame van Laon (1157–1205) en die Parys Notre Dame (1160) volgens die goue verhouding ontwerp is.[44] Ander kenners verskil egter en glo dat die goue verhouding tot en met Pacioli se werk in 1509 onbekend in die kunswêreld was.[45] Byvoorbeeld, die hoogte en wydte van die voorkant van die Notre-Dame by Laon het ’n 8/5 verhouding of 1.6 nie ’n 1.618 verhouding nie. Na Pacioli se werk het die goue verhouding meer gereeld in kunswerke en argitektuur begin verskyn. (Byvoorbeeld die Mona Lisa).[46]

SimmetrieWysig

Simmetrie kan deur die eeue waargeneem word in kunswerke soos matte, hortjies, tekstiele en teëlwerk.[47][48][49]

Baie tradisionele matte (ongeag van die tipe) word verdeel in ’n middel met ’n raamwerk wat dit omring. Beide kan simmetrie bevat, maar in handgeweefde matte sluip daar dikwels klein verskille in (soos die variasies van patroon/kleur). Simmetrie vind deurlopend in matte plaas sonder enige bewyse dat die wewers bewus was van wiskunde.

Nog ’n uitstekende voorbeeld van simmetrie word aangetref in tekstielkunste soos kwiltwerk, breiwerk, kruissteek, hekel en borduurwerk.[50][51][52][53][54][55]

Teëlwerk deur die eeu wys ook ’n strewe tot simmetrie. ’n Goeie voorbeeld hiervan is die Marokkaanse argitektuur waar mosaïek teëltjies prominent en deurlopend aangetref word.[56][57]

Driedimensionele vormsWysig

Driedimensionele vorms is ’n deurlopende tema in Westerse kuns. ’n Goeie voorbeeld hiervan kan aangetref word in die mosaïekwerk op die vloer van die San Marco Basilika in Venesië; Leonardo da Vinci se diagramme wat gebruik is as illustrasies vir Luca Pacioli se The Divina Proportion (1509), in Jacopo de Barbari se portret van Pacioli (1495), in Albrech Dürer se Melencolia I en in Salvador Dali se Die Laaste Avondmaal waar Christus en sy dissipels binne ’n reuse driedimensionele vorm geteken is.[12]

’n Komplekse verhoudingWysig

Die sterrekundige Galileo Galilei skryf in sy II Saggiatore dat die “Heelal geskryf is in die taal van wiskunde en die karakters is driehoeke, sirkels en ander geometriese figure.” Volgens Galileo moet kunstenaars wat daarna streef om die natuur te verstaan eers wiskunde ten volle moet verstaan. Net so het wiskundiges deur die eeu daarna gestreef om kuns te interpreteer en analiseer deur die lens van rasionaliteit en geometrie. Die wiskundige Felipe Cucker stel voor dat wiskunde en veral geometrie ’n bron van reëls is wat kan lei tot ’n “reël gedrewe kunssinnige skepping”. Tog is daar baie elemente in die komplekse verhouding tussen kuns en wiskunde.[58]

Wiskunde as kunsWysig

Die wiskundige Jerry P. King beskryf wiskunde as ’n kuns en sê dat “Die sleutels tot wiskunde is skoonheid, elegansie en nie verveeldheid en tegniek nie.” Hy voer ook aan dat die skoonheid die dryfveer agter wiskundige navorsing is.[59] Die Hongaarse wiskundige Paul Erdös stem saam daarmee dat wiskunde oor skoonheid besit maar beskou die redes as nie verduidelikend nie[60] “Hoekom is nommers mooi? Dit is soos om te vra hoekom is Beethoven se 9de Simfonie mooi. As jy nie self kan sien hoekom nie, gaan niemand vir jou kan vertel nie. Ek weet net dat nommers mooi is.[61]

Wiskunde gereedskap vir kunsWysig

Soos reeds genoem kan wiskunde in verskeie vorms van kuns aangetref word: musiek, dans,[62] skilder, argitektuur en beeldhouwerk is maar net ’n paar voorbeelde. Wiskunde kan gevolglik dien as kunstenaars help om hul kunsvorms uit te voer. Die reëls van lineêre perspektief soos uiteengesit deur Brook Taylor en Johann Lambert, en die metodes van beskrywende geometrie is goeie voorbeelde hiervan. Reeds sedert die Middeleeue het kunstenaars soos Luca Pacioli en toe in die Renaissance, Leonardo da Vinci en Albrecht Dürer wiskundige idees gebruik en ontwikkel om te probeer om hul kunsvorms te verbeter. Die verhouding tussen kunstenaars en wiskundiges is simbioties van aard. Net soos kunstenaars wiskunde kan gebruik in hul kuns, kan kuns wiskundiges help om nuwe wiskundige konsepte en idees te ontwikkel en implementeer.[63][64][65]

Van Kuns na wiskundeWysig

Die wiskundige en teoretiese fisikus, Henri Poincarse Wiskunde en Hipotese is deur aanhangers van die Kubistiese-beweging gelees. Insluitend Pablo Picasso en Jean Metzinger. Poincaré se idees het ’n groot invloed op abstrakte kuns uitgeoefen. Veral die konsep dat kuns op ’n wiskundige wyse in kleur en vorm uitgedruk kan word, is een van die hoof dryfvere agter kubisme. Abstrakte kuns het deur die eeue ’n definitiewe merk op die kunslandskap gemaak, en word vandag steeds deur kunstenaars beoefen.

Illustrasie van wiksundeWysig

Modellering is nie die enigste manier om wiskundige konsepte te illustreer nie. Kunswerke kan ook gebruik word om ’n betrokke teorie op ’n praktiese wyse te illustreer. Byvoorbeeld: Salvador Dali se laaste skildery, The Swallow’s Tail wat geïnspireer is deur René Thom se Katastrofe-teorie. M.C. Escher is nog ’n kunstenaar wat op ’n unieke wyse wiskundige konsepte illustreer.[66][67]

Analise van kunsgeskiedenisWysig

Algoritmiese analise van kunswerke, byvoorbeeld die gebruik van X-strale kan inligting oor ‘ kunswerk verskaf. Sulke tegnieke kan beelde in die verflae toon wat deur die kunstenaar bedek is. Hierdie metodes kan historici help om kunswerke te visualiseer voor dit gekraak of verdof het, kan help om te bepaal of ’n kopie eg of ’n namaaksel is, onderskei tussen die verskillende tegnieke en metodes wat deur die kunstenaar gebruik is om die skildery te skep en kan bepaal of ’n betrokke kunswerk deur die kunstenaar self of deur van sy studente geskep is.[68][69]

Uit die aard van die saak speel wiksunde ’n belangrike rol in die analise van kunswerke. ’n Goeie voorbeeld hiervan is die Amerikaanse wiskundige George Birkhoff se Aesthetic Measure (1933) wat ’n kwantitatiewe maatstaf van die estetiese kwaliteit van ’n kunswerk voorstel. Dit poog nie om die konnotasies van die werk te meet nie (soos wat ’n skildery moontlik mag beteken nie), maar is beperk tot die “elemente van order”, Birkhoff se metode poog om die estetiese waarde van ’n skildery te bepaal deur die balans te meet tussen die plesier wat ’n objek verskaf wanneer ’n mens daarna kyk en die hoeveelheid moeite dit verg om daarna te kyk.[70]

Stimuli tot wiskundige navorsingWysig

Kuns het al in die verlede tot die ontwikkeling van sekere wiskundige konsepte gelei. Byvoorbeeld, toe Brunnelleschi se teorie oor perspektief in argitektuur en skilder gelei het tot navorsing wat weer gelei het tot die werk van Brook Taylor en Johann Heinrich Lambert oor die wiskundige fondasies van perspektief tekeninge en dan uiteindelik tot die wiskunde van projektiewe geometrie van Girard Desargues en Jean-Victor Poncelet.[71]

Die Japannese kunsvorm van Origami (vou van papier) is ook op ’n wiskundige wyse herwerk deur Tomoko Fusé wat tot verdere navorsing oor die wiskundige agter hierdie kunsvorm gelei het.[72][73][74][75]

Illusiekuns (optiese illusies)Wysig

Optiese illusies soos die Spiraal van Fraser demonstreer die limitasies tot die mens se visuele persepsie vermoë en skep wat kunshistorikus, Ernst Gombrich beskryf as ’n “Verbluffende toertjie”. Die swart en wit toue wat ooglopend spirale vorm is egter gekonsentreerde sirkels. Hierdie vorm van optiese illusie kuns skep die illusie van beweging/flitsende/ vibrerende patrone en kan waargeneem word in die werke van Bridget Riley, Spyros Horemis en Victor Vasarely.[76][77][78]

Heilige geometrieWysig

Heilige geometrie verwys na die geloof wat sedert die tyd van die Antieke Grieke bestaan dat God beskou moet word as die “wiskundige” van die heelal en dat geometrie van die heelal dus as heilig beskou moet word. Hierdie geloof, dat God die heelal geskep het volgens ’n geometriese plan het sy oorsprong in die antieke tye. Volgens Plutarch vind die teorie sy oorsprong in die denkwyses van Plato. Hierdie idee domineer ook reeds vir eeu lank die Westerse denkwyse. Daar word geglo dat alles in die heelal volgens nommer gerangskik is en dat God verantwoordelik is vir hierdie rangskikking.[79][80][81][82]

Eksterne skakelsWysig

VerwysingsWysig

  1. 1,0 1,1 Ziegler, Günter M. (3 December 2014). "Dürer's polyhedron: 5 theories that explain Melencolia's crazy cube". The Guardian. Retrieved 27 October 2015.
  2. Stewart, Andrew (November 1978). "Polykleitos of Argos," One Hundred Greek Sculptors: Their Careers and Extant Works". Journal of Hellenic Studies98: 122–131.
  3. 3,0 3,1 Tobin, Richard (Oktober 1975). "The Canon of Polykleitos". American Journal of Archaeology79 (4): 307–321. doi:10.2307/503064
  4. Lawton, Arthur J. (2013). "Pattern, Tradition and Innovation in Vernacular Architecture"Past36. Besoek op 25 Junie 2015. The base figure is a square the length and width of the distal phalange of the little finger. Its diagonals rotated to one side transform the square to a 1 : √2 root rectangle. In Figure 5 this rectangular figure marks the width and length of the adjacent medial phalange. Rotating the medial diagonal proportions the proximal phalange and similarly from there to the wrist, from wrist to elbow and from elbow to shoulder top. Each new step advances the diagonal's pivot point.
  5. Raven, J. E. (1951). "Polyclitus and Pythagoreanism". Classical Quarterly1 (3–4): 147–. doi:10.1017/s0009838800004122
  6. 6,0 6,1 O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (January 2003). "Mathematics and art – perspective". University of St Andrews. Retrieved 1 September 2015.
  7. Emmer, Michelle, ed. (2005). The Visual Mind II. MIT Press. ISBN 978-0-262-05048-7.
  8. Vasari, Giorgio (1550). Lives of the Artists. Torrentino. p. Chapter on Brunelleschi.
  9. Alberti, Leon Battista; Spencer, John R. (1956) [1435]. On Painting. Yale University Press.
  10. Field, J. V. (1997). The Invention of Infinity: Mathematics and Art in the Renaissance. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852394-9.
  11. Witcombe, Christopher L. C. E. "Art History Resources". Retrieved 5 September 2015.
  12. 12,0 12,1 Hart, George W. "Polyhedra in Art". Retrieved 24 June 2015.
  13. Cunningham, Lawrence; Reich, John; Fichner-Rathus, Lois (1 January 2014). Culture and Values: A Survey of the Western Humanities. Cengage Learning. p. 375. ISBN 978-1-285-44932-6which illustrate Uccello's fascination with perspective. The jousting combatants engage on a battlefield littered with broken lances that have fallen in a near-grid pattern and are aimed toward a vanishing point somewhere in the distance.
  14. della Francesca, Piero (1942) [c. 1474]. G. Nicco Fasola, ed. De Prospectiva Pingendi. Florence.
  15. della Francesca, Piero (1970) [Fifteenth century]. G. Arrighi, ed. Trattato d'Abaco. Pisa.
  16. della Francesca, Piero (1916). G. Mancini, ed. L'opera "De corporibus regularibus" di Pietro Franceschi detto della Francesca usurpata da Fra Luca Pacioli.
  17. Vasari, G. (1878). G. Milanesi, ed. Le Opere, volume 2. p. 490.
  18. Zuffi, Stefano (1991). Piero della Francesca. L'Unità – Mondadori Arte. p. 53.
  19. Heath, T.L. (1908). The Thirteen Books of Euclid's Elements. Cambridge University Press. p. 97.
  20. Grendler, P. (1995). M.A. Lavin, ed. What Piero Learned in School: Fifteenth-Century Vernacular EducationPiero della Francesca and His Legacy. University Press of New England. pp. 161–176.
  21. Alberti, Leon Battista; Grayson, Cecil (trans.) (1991). Kemp, Martin, ed. On Painting. Penguin Classics
  22. Peterson, Mark. "The Geometry of Piero della Francesca" Geargiveer 1 Julie 2016 op Wayback MachineIn Book I, after some elementary constructions to introduce the idea of the apparent size of an object being actually its angle subtended at the eye, and referring to Euclid's Elements Books I and VI, and Euclid's Optics, he turns, in Proposition 13, to the representation of a square lying flat on the ground in front of the viewer. What should the artist actually draw? After this, objects are constructed in the square (tilings, for example, to represent a tiled floor), and corresponding objects are constructed in perspective; in Book II prisms are erected over these planar objects, to represent houses, columns, etc.; but the basis of the method is the original square, from which everything else follows.
  23. Hockney, David (2006). Secret Knowledge: Rediscovering the Lost Techniques of the Old Masters. Thames and Hudson. ISBN 978-0-500-28638-8.
  24. Van Riper, Frank. "Hockney's 'Lucid' Bomb At the Art Establishment". The Washington Post. Retrieved 4 September 2015.
  25. Marr, Andrew (7 October 2001). "What the eye didn't see". The Guardian. Retrieved 4 September 2015.
  26. Janson, Jonathan (25 April 2003). "An Interview with Philip Steadman". Essential Vermeer. Retrieved 5 September 2015.
  27. Steadman, Philip (2002). Vermeer's Camera: Uncovering the Truth Behind the Masterpieces. Oxford. ISBN 978-0-19-280302-3.
  28. Hart, George"Luca Pacioli's Polyhedra". Retrieved 13 August 2009.
  29. Morris, Roderick Conway (27 January 2006). "Palmezzano's Renaissance:From shadows, painter emerges". New York Times. Retrieved 22 July 2015.
  30. 30,0 30,1 . Brizio, Anna Maria (1980). Leonardo the Artist. McGraw-Hill.
  31. Wolchover, Natalie (31 January 2012). "Did Leonardo da Vinci copy his famous 'Vitruvian Man'?". NBC News. Retrieved 27 October 2015.
  32. Criminisi, A.; Kempz, M.; Kang, S. B. (2004). "Reflections of Reality in Jan van Eyck and Robert Campin" (PDF). Historical Methods37 (3): 109–121. doi:10.3200/hmts.37.3.109-122
  33. Cucker, Felix (2013). Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics. Cambridge University Press. pp. 299–300, 306–307. ISBN 978-0-521-72876-8.
  34. Joyce, David E. (1996). "Euclid's Elements, Book II, Proposition 11". Clark University. Retrieved 24 September 2015.
  35. Seghers, M. J.; Longacre, J. J.; Destefano, G. A. (1964). "The Golden Proportion and Beauty". Plastic and Reconstructive Surgery34 (4): 382–386.
  36. Mainzer, Klaus (1996). Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science. Walter de Gruyter. p. 118.
  37. "Mathematical properties in ancient theatres and amphitheatres" Geargiveer 15 Julie 2017 op Wayback Machine. Retrieved 29 January 2014.
  38. "Architecture: Ellipse?". The-Colosseum.net. Retrieved 29 January 2014.
  39. 39,0 39,1 Markowsky, George (January 1992). "Misconceptions about the Golden Ratio" (PDF). The College Mathematics Journal23 (1): 2–19. doi:10.2307/2686193.
  40. Huntley, H.E. (1970). The Divine Proportion. Dover.
  41. Usvat, Liliana. "Mathematics of the Parthenon". Mathematics Magazine. Retrieved 24 June 2015.
  42. Boussora, Kenza; Mazouz, Said (Spring 2004). "The Use of the Golden Section in the Great Mosque of Kairouan" Geargiveer 4 Oktober 2008 op Wayback MachineNexus Network Journal6 (1): 7–16. doi:10.1007/s00004-004-0002-yThe geometric technique of construction of the golden section seems to have determined the major decisions of the spatial organisation. The golden section appears repeatedly in some part of the building measurements. It is found in the overall proportion of the plan and in the dimensioning of the prayer space, the court and the minaret. The existence of the golden section in some parts of Kairouan mosque indicates that the elements designed and generated with this principle may have been realised at the same period.
  43. Brinkworth, Peter; Scott, Paul (2001). "The Place of Mathematics". Australian Mathematics Teacher57 (3): 2.
  44. Chanfón Olmos, Carlos (1991). Curso sobre Proporción. Procedimientos reguladors en construcción. Convenio de intercambio Unam–Uady. México – Mérica.
  45. Livio, Mario (2002). The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. Broadway Books.
  46. McVeigh, Karen (28 December 2009). "Why golden ratio pleases the eye: US academic says he knows art secret". The Guardian. Retrieved 27 October 2015
  47. Cucker, Felix (2013). Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics. Cambridge University Press. pp. 89–102. ISBN 978-0-521-72876-8.
  48. Lerner, Martin (1984). The flame and the lotus : Indian and Southeast Asian art from the Kronos collections (Exhibition Catalogue ed.). Metropolitan Museum of Art.
  49. Castera, Jean Marc; Peuriot, Francoise (1999). Arabesques. Decorative Art in Morocco. Art Creation Realisation. ISBN 978-2-86770-124-5.
  50. Dye, Daniel S. (1974). Chinese Lattice Designs. Dover. pp. 30–39.
  51. belcastro, sarah-marie (2013). "Adventures in Mathematical Knitting"American Scientist101 (2): 124. doi:10.1511/2013.101.124.
  52. Taimina, Daina (2009). Crocheting Adventures with Hyperbolic Planes. A K Peters. ISBN 1-56881-452-6.
  53. Snook, Barbara. Florentine Embroidery. Scribner, Second edition 1967.
  54. Williams, Elsa S. Bargello: Florentine Canvas Work. Van Nostrand Reinhold, 1967.
  55. Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey C. (May 1980). "Satins and Twills: An Introduction to the Geometry of Fabrics". Mathematics Magazine53 (3): 139–161. doi:10.2307/2690105JSTOR 2690105.
  56. Lu, Peter J.; Steinhardt, Paul J. (2007). "Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture". Science315 (5815): 1106–1110. Bibcode:2007Sci...315.1106L.
  57. van den Hoeven, Saskia, van der Veen, Maartje. "Muqarnas-Mathematics in Islamic Arts" (PDF). Archived from the original (PDF) on 27 September 2013. Retrieved 15 January 2016.
  58. Cucker, Felix (2013). Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics. Cambridge University Press. p. 381. ISBN 978-0-521-72876-8.
  59. King, Jerry P. (1992). The Art of Mathematics. Fawcett Columbine. pp. 8–9. ISBN 0-449-90835-6.
  60. King, Jerry P. (1992). The Art of Mathematics. Fawcett Columbine. pp. 135–139. ISBN 0-449-90835-6.
  61. Devlin, Keith (2000). "Do Mathematicians Have Different Brains?". The Math Gene: How Mathematical Thinking Evolved And Why Numbers Are Like Gossip. Basic Books. p. 140. ISBN 978-0-465-01619-8.
  62. Wasilewska, Katarzyna (2012). "Mathematics in the World of Dance" (PDF). Bridges. Retrieved 1 September 2015.
  63. Malkevitch, Joseph. "Mathematics and Art". American Mathematical Society. Retrieved 1 September 2015.
  64. Malkevitch, Joseph. "Mathematics and Art. 2. Mathematical tools for artists". American Mathematical Society. Retrieved 1 September 2015.
  65. Math and Art: The Good, the Bad, and the Pretty". Mathematical Association of America. Retrieved 2 September 2015.
  66. Hofstadter, Douglas R. (1980). Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. Penguin. pp. 98–99, 690–717. ISBN 978-0-394-74502-2.
  67. Lenstra, Hendrik; De Smit, Bart. "Applying mathematics to Escher's Print Gallery" Geargiveer 14 Januarie 2018 op Wayback Machine. Leiden University. Retrieved 10 November 2015.
  68. Stanek, Becca (16 June 2014). "Van Gogh and the Algorithm: How Math Can Save Art". Time Magazine. Retrieved 4 September 2015.
  69. Sipics, Michelle (18 May 2009). "The Van Gogh Project: Art Meets Mathematics in Ongoing International Study" Geargiveer 7 September 2015 op Wayback Machine. Society for Industrial and Applied Mathematics. Retrieved 4 September 2015.
  70. Cucker, Felix (2013). Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics. Cambridge University Press. pp. 116–120. ISBN 978-0-521-72876-8.
  71. Gamwell, Lynn (2015). Mathematics and Art: A Cultural History. Princeton University Press. p. xviii. ISBN 978-0-691-16528-8.
  72. Malkevitch, Joseph. "Mathematics and Art. 6. Origami". American Mathematical Society. Retrieved 1 September 2015.
  73. Justin, J. (June 1986). "Mathematics of Origami, part 9". British Origami: 28–30.
  74. Alperin, Roger C.; Lang, Robert J. (2009). "One-, Two-, and Multi-Fold Origami Axioms" (PDF). 4OSME. A K Peters.
  75. The World of Geometric ToysOrigami Spring, August, 2007.
  76. Cucker, Felix (2013). Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics. Cambridge University Press. pp. 163–166. ISBN 978-0-521-72876-8.
  77. Gamwell, Lynn (2015). Mathematics and Art: A Cultural History. Princeton University Press. pp. 406–410. ISBN 978-0-691-16528-8.
  78. Ghyka, Matila (2003). The Geometry of Art and Life. Dover. pp. ix–xi. ISBN 978-0-486-23542-4.
  79. Lawlor, Robert (1982). Sacred Geometry: Philosophy and Practice. Thames & Hudson. ISBN 978-0-500-81030-9.
  80. Calter, Paul (1998). "Celestial Themes in Art & Architecture"[dooie skakel]. Dartmouth College. Retrieved 5 September 2015.
  81. The Thought of a Thought – Edgar Allan Poe". MathPages. Retrieved 5 September 2015.
  82. Livio, Mario"The golden ratio and aesthetics". Retrieved 26 June 2015.