Radiaal

Die radiaal, in wiskunde, is 'n eenheid van hoekmeting wat gelyk is aan 180/π grade, of ongeveer 57,2958 grade. Dit word voorgestel deur die simbool "rad" of, minder algemeen, deur die boskrif c (vir "circular measure"). 'n Hoek van 1,2 radiaal word geskryf as "1,2 rad" of "1,2^c". Aangesien die radiaal die standaard eenheid vir hoekmeting in wiskunde is word die simbool "rad" egter byna altyd weggelaat. In die afwesigheid van enige simbool word radiale aangeneem en word die simbool ° gebruik om aan te dui wanneer grade bedoel word.

Die radiaal was te vore 'n SI aanvullende eenheid, maar die kategorie is in 1995 afgeskaf en dit word nou as 'n SI afgeleide eenheid beskou. Die SI-eenheid vir 'n soliede hoekmeting is die steradiaal.

Definisie

Een radiaal is die hoek by die middelpunt van 'n sirkel onderspan deur 'n boog waarvan die lengte langs die omtrek gelyk is aan die lengte van die radius van die sirkel.

Meer algemeen, die grootte in radiaal van enige hoek onderspan deur twee strale, is gelyk aan die verhouding tussen die lengte van die ingeslote boog tot die radius van die sirkel; dit wil sê, θ = s /r, waar θ die onderspande boog in radiale is, s is die booglengte en r is die radius. Omgekeer, die lengte van die ingeslote boog is gelyk aan die radius vermenigvuldig met die grootte in radiale; dit wil sê, s = rθ.

Dit volg dat die grootte in radiale van een algehele omwenteling (360 grade) die lengte van die hele omtrek gedeel deur die radius, of 2πr /r, of te wel 2π is. Dus is 2π radiale gelyk aan 360 grade, en een radiaal is gelyk aan 180/π grade.

Geskiedenis

"n Paar algemene hoeke uitgedruk in radiale. Al die poligone is reguliere poligone.

Die begrip van radiale meting, teenoor die grade van 'n hoek, behoort waarskynlik aan Roger Cotes in 1714 toegeskryf word.^[1] Hy het die begrip van die radiaal in alle opsigte behalwe vir die naam daarvan ontwikkel en het die natuurlikheiod daarvan as 'n eenheid van hoekmeting besef.

Die Engelse term radian het vir die eerste keer in gedrukte vorm verskyn op 5 Junie 1873, in eksamen vrae wat deur James Thomson (broer van Lord Kelvin) by Queen's College, Belfast. Hy het die term so vroeg as 1871 gebruik terwyl Thomas Muir in 1869 toe by die Universiteit van Sint Andrews, gewik en weeg of hy rad, radial of radian moes gebruik. In 1874 het Muir na oorleg met James Thomson op radian besluit.^[2]^[3]^[4]

Omskakelings

Omskakeling tussen radiale en grade

Soos te vore gestel is een radiaal gelyk aan 180/π grade. Dus, om van radiale na grade om te skakel, verminigvuldig met 180/π. By voorbeeld:

1{\mbox{ rad}}=1\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57.2958^{\circ }

2.5{\mbox{ rad}}=2.5\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 143.2394^{\circ }

{\frac {\pi }{3}}{\mbox{ rad}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}=60^{\circ }

Omgekeerd, om van grade na radiale om te skakel, vermenigvuldig met π/180. Byvoorbeeld:

1^{\circ }=1\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0.0175{\mbox{ rad}}

23^{\circ }=23\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0.4014{\mbox{ rad}}

'n Mens kan ook radiale van omwentelings omskakel deur die radiaal waarde deur 2π te deel.

Die onderstaande tabel vertoon die omskakeling van 'n aantal algemene hoeke.

Grade	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Radiale	0	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{2}}$	$\pi \,$	${\frac {3\pi }{2}}$	$2\pi \,$

Omskakeling tussen radiale en desimale grade

2π radiale is gelyk aan een hele omwenteling wat 400^g is. Dus, om van radiale na desimale grade (gon) om te skakel, vermenigvuldig met 200/π, en om van gon na radiale om te skakel, vermenigvuldig met π/200. Byvoorbeeld:

1.2{\mbox{ rad}}=1.2\cdot {\frac {200^{\rm {g}}}{\pi }}\approx 76.3944^{\rm {g}}

50^{\rm {g}}=50\cdot {\frac {\pi }{200^{\rm {g}}}}\approx 0.7854{\mbox{ rad}}

Omskakelingstabel

Die onderstaande tabel vertoon die omskakeling tssen radiale, grade en desimale grade van 'n aantal algemene hoeke.

Hoeknaam	Waarde in radiaal	Waarde in desimale grade	Waarde in grade
nulhoek	0	0^g	0°
milliradiaal	0,001	0^g 6^c 36^cc 61^ccc	0°3′26″15‴
	${\frac {\pi }{6}}$	33,3^g	30°
	${\frac {\pi }{4}}$	50^g	45°
	${\frac {\pi }{3}}$	66,6^g	60°
radiaal	1	63^g 66^c 19^cc 77^ccc	57°17′44″48‴
regtehoek	${\frac {\pi }{2}}$	100^g	90°
	${\frac {3\pi }{4}}$	150^g	135°
plathoek	$\pi$	200^g	180°
	${\frac {5\pi }{4}}$	250^g	225°
	${\frac {3\pi }{2}}$	300^g	270°
	${\frac {7\pi }{4}}$	350^g	315°
omwenteling	$2\pi \,$	400^g	360°

Gebruik in Wiskunde en Fisika

In analise en meeste ander takke van wiskunde wat verder gaan as praktiese meetkunde, word hoeke altyd in radiale uitgedruk. 'n belangrike rede hiervoor is dat resultate in analise wat trigonometrie funksies betrek eenvoudig en "natuurlik" is wanneer die funksie se argumente in radiale is. Die gebruik van radiale lei byvoorbeeld tot die eenvoudige limiet formule

\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin h}{h}}=1

,

wat die grondslag is vir talle ander elegante identiteite in wiskunde, insluitend

{\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x=-\sin x

As gevolg van hierdie en ander eienskappe,verskyn die trigonometriese funksies in oplossings tot wiskundige probleme wat nie ooglopend verwant is aan die funksie se meetkundige betekenis nie (byvoorbeeld die oplossing van die differensiaalvergelyking d²y/dx² = −y, die evaluasie van die integraal ∫dx/(1 + x²), en so aan). In alle sulke gevalle word daar gevind dat die argumente van die funksies die natuurlikste in die vorm geskryf wat, in meetkundige kontekste, ooreenkom met die radiale meting van die hoeke.

Die trigonometriese funksies het ook eenvoudige en elegante reeks uitbreidings wanneer radiale gebruik word; byvoorbeeld, die volgende Taylor reeks vir sin x :

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .

As x in grade uitgedruk was, dan sou die reeks lastige faktore wat magte van π/180 behels moes insluit: as x die aantal grade is, is die radiale y = πx /180, so

\sin x\ (deg)=\sin y\ (rad)={\frac {\pi }{180}}x-({\frac {\pi }{180}})^{3}\ {\frac {x^{3}}{3!}}+({\frac {\pi }{180}})^{5}\ {\frac {x^{5}}{5!}}-({\frac {\pi }{180}})^{7}\ {\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .

Wiskundig belangrike verhoudings tussen die sinus en cosinus funksies en die eksponensiële funksie (sien byvoorbeeld Euler se formule) is weereens elegant en "natuurlik" as die funksies se argumente in radiale is.

Die rdaiaal word ook baie in fisika gebruik wanneer hoekmetings verlang word. Hoeksnelheid word byvoorbeeld tipies in radiale per sekonde (rad/s) gemeet. Een omwenteling per sekonde is gelyk aan 2π radiale per sekonde. Op soortgelyke wyse word hoekversnelling baie keer in radiale per sekonde per sekonde (rad/s²) gemeet.

Dimensionaliteit

Alhoewel die radiaal 'n maateenheid is, is dit 'n dimensielose hoeveelheid. Dit kan gesien word uit die definisie wat te vore gegee is: die hoek onderspan by die middelpunt van 'n sirkel, gemeet in radiale, is die verhouding van die lengthe van die ingeslote boog tot die lengte van die sirkel se radius. Aangesien die metingseenhede mekaar uit kanselleer is hierdie verhouding dimensieloos.

'n Ander manier waarop die dimensieloosheid van die radiaal gesien kan word is in die reeks voorstellings van die trigonometriese funksies, soos die Taylor reeks vir sin x wat te vore genoem is:

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .

As x eenhede gehad het, dan sou die som betekenisloos gewees het: die lineêre term x kan nie opgetel of afgetrek word van kwadratiese term $x^{3}/3!$ of die term $x^{5}/5!$ met vyfde magsverheffing, ens. Daarom moet x dimensieloos wees.

Veelvoude van radiale

Metrieke voorvoegsel word op beperkte skaal saam met rdaiale gebruik en nooit in wiskunde nie.

Die milliradiaal (0.001 rad, of 1 mrad) is word in artillerie en skerpskutwerk gebruik aangesien dit ooreenkom met 'n fout van 1 meter oor 'n afstand van 1000 m. Die divergensie van laserstrale word ook milliradiaal gemeet.

Kleiner eenhede soos mikroradiale (μrads) en nanoradiale (nrads) word in sterrekunde gebruik en kan ook gebruik word om die straalkwalitiet van lasers met ultra-lae divergensie te meet.

Die groter voorvoegsel het geen ooglopende nut vir radiale nie aangesien enige hoek groter as 2π radiaal weer dieselfde sirkel of omwentelingsiklus begin.

Radiaal vs Aksiaal

Verduideliking van radiaal vs aksiaal.

Verwysings

↑ Biography of Roger Cotes Geargiveer 19 Oktober 2012 op Wayback Machine, The MacTutor History of Mathematics
↑ Florian Cajori, 1929, History of Mathematical Notations, Vol. 2, pp. 147–148
↑ Nature, 1910, Vol. 83, pp. 156, 217, and 459–460
↑ "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics". Geargiveer vanaf die oorspronklike op 3 Oktober 1999. Besoek op 1 Maart 2008.

[1] Biography of Roger Cotes Geargiveer 19 Oktober 2012 op Wayback Machine, The MacTutor History of Mathematics

[2] Florian Cajori, 1929, History of Mathematical Notations, Vol. 2, pp. 147–148

[3] Nature, 1910, Vol. 83, pp. 156, 217, and 459–460

[4] "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics". Geargiveer vanaf die oorspronklike op 3 Oktober 1999. Besoek op 1 Maart 2008.

[1]

[2]

[3]

[4]